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江西省上高二中2014届高三第一次月考数学文试题(解析版)


2013-2014 学年江西省宜春市上高二中高三(上)第一次月考数学试卷(文 科) 参考答案与试题解析
一、选择题 1. 分)已知函数 f(x)=lg(﹣x)的定义域为 M,函数 y= (3 则?RM∩N=( ) 函数的定义域为 N,

A.[0,1)

B.(2,+∞)

C.(0,+∞)

/>D.[0, ∪ 1) (2, +∞)

考点:交、并、补集的混合运算. 专题:计算题. 分析:先﹣x>0 求出 M,再由分段函数定义及解析式表示法求出 N,再进行计算. 解答:解:由﹣x>0 的 x<0,所以函数 f(x)的定义域为 M=(﹣∞,0) , 由分段函数定义及解析式表示法,N={x|x>2 或 x<1} 所以?RM=[0,+∞) RM∩N=[0,1)∪(2,+∞) ,? 故选 D 点评:本题考查了函数定义域求解,集合的基本运算,属于基础题. 2. 分)下列各组函数是同一函数的是( (3 ①f(x)= 与 g(x)= ; ; )

②f(x)=|x|与 g(x)= ③f(x)=(x﹣1) 与
0



④f(x)= A.①②

与 g(t)= B.②④

. C.②③④ D.①②④

考点:判断两个函数是否为同一函数. 分析:分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可. 解答: 解:①两个函数的定义域相同,都为{x|x≤0}, g(x)的对应法则不相同,所以①不是同一函数,排除 AD. ②组函数的定义域和对应法则都相同,满足条件. ③组函数的定义域和对应法则都相同,满足条件. ④组函数的定义域和对应法则都相同,满足条件.



故选 C. 点评:本题主要考查函数是否为同一函数的应用,判断的主要标准是判断两个函数的定义域和对应 法则是否相同,只要有一个不相同,则不能为同一函数. 3. 分)设 A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},下列图形表示集合 A 到集合 B 的函数的图象的是( (3 A. B. C. D. )

考点:函数的图象. 专题:数形结合. 分析:仔细观察图形,正确选取中 x 的取值范围必须是[0,2],y 的取值范围必须是[1,2],由此进 行选取. 解答:解:A 和 B 中 y 的取值范围不是[1,2],不合题意,故 A 和 B 都不成立; C 中 x 的取值范围不是[0,2],y 的取值范围不是[1,2],不合题意,故 C 不成立; D 中,0≤x≤2,1≤y≤2,符合题意, 故选 D. 点评:本题考查函数的图象和性质,解题时要认真审题,仔细求解. 4. 分)已知 f(x)是定义在实数集 R 上的增函数,且 f(1)=0,函数 g(x)在(﹣∞,1]上为 (3 增函数,在[1,+∞)上为减函数,且 g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}=( ) A.{x|x≤0 或 1≤x≤4} B.{x|0≤x≤4} C.{x|x≤4} D.{x|0≤x≤1 或 x≥4} 考点:函数单调性的性质. 专题:综合题;不等式的解法及应用. 分析:将不等式等价变形,利用函数的单调性与零点,转化为具体不等式,即可求得结论. 解答: 解:由题意,f(x)g(x)≥0 等价于 或 ∵f(x)是定义在实数集 R 上的增函数,且 f(1)=0,函数 g(x)在(﹣∞,1]上为增函数, 在[1,+∞)上为减函数,且 g(4)=g(0)=0, ∴ 或

∴1≤x≤4 或 x≤0 故选 A. 点评:本题考查解不等式,考查函数的性质,考查分类讨论的数学思想,属于中档题. 5. 分) (3 (2012?鹰潭一模)不等式 ax ﹣2x+1<0 的解集非空的一个必要而不充分条件是( A.a<1 B.a<0 C.0<a<1 D.a≤1
2



考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:计算题. 分析:通过对二次项系数分类讨论求出不等式 ax2﹣2x+1<0 的解集非空的充要条件, 必要而不充分 条件的 a 的范围应该比 a<1 的范围大;得到选项. 2 解答:解:要使不等式 ax ﹣2x+1<0 的解集非空 当 a=0 时,不等式为﹣2x+1<0,其解集为 x> ; 当 a>0 时,△ =4﹣4a>0 即 0<a<1; 当 a<0 时,满足不等式 ax ﹣2x+1<0 的解集非空; 2 所以不等式 ax ﹣2x+1<0 的解集非空的充要条件为 a<1; 2 所以不等式 ax ﹣2x+1<0 的解集非空的一个必要而不充分条件应该比 a<1 的范围大; 故选 D. 点评:解决二次不等式的问题,应该注意二次项系数为字母时,应该对其分类讨论,是高考常考的 题型,属于中档题. 6. 分)给出下列说法: (3 ①命题“若 α= ,则 sin α= ”的否命题是假命题;
2

②命题 p:“?x0∈R,使 sin x?>1”,则?p:“?x∈R,sin x≤1”; ③“φ= +2kπ(k∈Z)”是“函数 y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件; ) ,使 sin x+cos x= ”,命题 q:“在△ ABC 中,若 sin A>sin B,则 A>B”,

④命题 p:“?x∈(0,

那么命题¬p∧q 为真命题. 其中正确结论的个数是( ) A.4 B.3

C.2

D.1

考点:命题的真假判断与应用;四种命题间的逆否关系;特称命题;必要条件、充分条件与充要条 件的判断. 专题:探究型. 分析:①先求出否命题,然后去判断.②利用特称命题和全称命题否定之间的关系判断.③利用充 分必要条件的关系判断.④利用复合命题的与简单命题之间的关系进行判断. 解答: 解:①原命题的否命题为“若 α≠ ,则 sin α≠ ”,当 α= 时,满足 α≠ ,但 sin α= ,所 以原命题的否命题是假命题,所以①的判断正确. ②特称命题的否定是全称命题,所以?p:“?x∈R,sin x≤1,所以②正确. ③若函数 y=sin(2x+φ)为偶函数,则 φ= +kπ(k∈Z) ,所以 φ= +2kπ(k∈Z)不是“函数

y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件,所以③错误. ④因为 ,当 x∈(0, )时, ,此时

,所以命题 p 为假命题.

在△ ABC 中,若 sin A>sin B,由正弦定理得 a>b,根据大边对大角关系可得,A>B,所以 命题 q 为真,所以¬p 为真,所以命题¬p∧q 为真命题,所以④正确. 故选 B. 点评: 在④中,y=sinx+cosx= 是我们求三角函数值域时,最常用的公式,本题中 对 x 的范围有限制,故要结合自变量的取值范围,进行判断,命题 q 要用到正弦定理和三角 形中的边角关系. 7. 分) (3 (2011?湖南)已知函数 f(x)=e ﹣1,g(x)=﹣x +4x﹣3,若有 f(a)=g(b) ,则 b 的 取值范围为( ) A. B.(2﹣ ,2+ ) C.[1,3] D.(1,3) 考点:函数的零点与方程根的关系. 专题:计算题;压轴题. 分析:利用 f(a)=g(b) ,整理等式,利用指数函数的性质建立不等式求解即可. 解答:解:∵f(a)=g(b) , a 2 ∴e ﹣1=﹣b +4b﹣3 2 a ∴﹣b +4b﹣2=e >0 2 即 b ﹣4b+2<0,求得 2﹣ <b<2+ 故选 B 点评:本题主要考查了函数的零点与方程根的关系.
x 2

8. 分)已知函数 f(x)= (3 数 a 的取值范围是( A.a<2 ) B.a<4

,若存在 x1,x2∈R 且 f(x1)=f(x2)成立,则实

C.2≤a<4

D.a>2

考点:二次函数的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:已知函数 f(x)的解析式,存在 x1,x2∈R 且 f(x1)=f(x2)成立,根据函数的对称轴和二 次函数的图象进行求解; 解答:解:当 x≤1 时,f(x)=﹣x2+ax,开口向下,对称轴为 x=﹣ = , x>1 时,一次函数 y=2ax﹣5 恒过点(0,﹣5) ,是一条直线,与 x 轴的交点( 根据存在 x1,x2∈R 且 f(x1)=f(x2)成立, 当﹣ 0) , 此时 > ,如下图: <1 时, a<2, 即 对称轴小于 1, 开口向下, 此时直线 y=2ax﹣5, x 轴的交点 与 ( , ,0) ,

肯定存在 x1,x2∈R 且 f(x1)=f(x2)成立, 满足条件;即 a<2; 当 a≥2 时,对称轴大于 1,存在 x1,x2∈R 且 f(x1)=f(x2)成立,

如下图: 直线 y=2ax﹣5 在直线 l 处肯定不行,在 m 处可以, 2 此时需要:二次函数 y=﹣x +ax,在 x=1 处的函数值,大于等于一次函 y=2ax﹣5 数在 x=1 处 的函数值, 可得在 x=1 处有 1+a>2a﹣5,即 2≤a<4, 综上得 a<4; 故选 B; 点评:此题主要考查二次函数的性质及其图象,考查的知识点比较全面,用到了分类讨论的思想, 是一道基础题;

9. 分) (3 (2013?成都一模)定义在(﹣1,1)上的函数

;当 x∈

(﹣1,0)时,f(x)>0,若 小关系为( A.R>Q>P ) B.R>P>Q



,则 P,Q,R 的大

C.P>R>Q

D.Q>P>R

考点:不等关系与不等式. 专题:新定义. 分析: 在已知等式中取 x=y=0,可求得 f(0)=0,取﹣1<x<y<1,能说明



所以说明

,从而说明函数 f(x)在(﹣1,1)上为减函数,再由已知等式



化为一个数的函数值,则三个数的大小即可比较.

解答:解:取 x=y=0,则 f(0)﹣f(0)=f(0) ,所以,f(0)=0, 设 x<y,则 ,所以

所以 f(x)>f(y) ,所以函数 f(x)在(﹣1,1)上为减函数, 由 ,得:

取 y= ,

,则 x= ,

所以 因为 0< ,所以



所以 R>P>Q. 故选 B. 点评:本题考查了不等关系与不等式,考查了特值思想,解答此题的关键是能够运用已知的等式证 出函数是给定区间上的减函数,同时需要借助于已知等式把 P 化为一个数的函数值,是中等 难度题. 10. 分)已知函数 f(x)在定义域(0.+∞)上是单调函数,若对于任意 x∈(0,+∞) (3 ,都有 f (f(x)﹣ )=2,则 f( )的值是( A.5 B.6 ) C.7 D.8

考点:函数的值. 专题:计算题. 分析: 由函数 f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,且 f(f(x)﹣ )=2,知 f(x)﹣ 为一 个常数,令这个常数为 n,则有 f(x)﹣ =n,f(n)=2,所以 出 f( )=6. =2,解得 n=1,由此能求

解答:解:∵函数 f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数, 且 f(f(x)﹣ )=2, ∴f(x)﹣ 为一个常数, 令这个常数为 n,则有 f(x)﹣ =n,① f(n)=2,② 由①得 f(x)=n+ ,③ ②代入③,得 解得 n=1, 因此 f(x)=1+ , 所以 f( )=6. 故选 B. 点评:本题考查函数值的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转 化. 二、填空题 11. 分)已知函数 y=f(x)的定义域为[0,1],则函数 y=f(x﹣1)的定义域为 [1,2] . (3 考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用. 分析:题目给出了函数 y=f(x)的定义域,只要让 x﹣1 在函数 f(x)的定义域内,求解 x 的范围 即可. 解答:解:因为函数 y=f(x)的定义域为[0,1],由 0≤x﹣1≤1,得:1≤x≤2, 所以函数 y=f(x﹣1)的定义域为[1,2]. 故答案为[1,2]. 点评:本题考查了函数的定义域及其求法,给出了函数 f(x)的定义域为[a,b],求函数 f[g(x)] 的定义域,只要用 g(x)∈[a,b],求解 x 的范围即可,此题是基础题. 12. 分) (3 (2010?闸北区一模)若不等式 ax +bx+c>0 的解集为{x|﹣1<x<2},则不等式 的解集为 .
2

=2,

考点:一元二次不等式的解法. 专题:计算题;分类讨论. 分析:根据不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|﹣1<x<2},得到﹣1 和 2 为 ax2+bx+c=0 的两个根,且 得到 a 小于 0,根据韦达定理表示出两根之和和两根之积,用 a 表示出 b 和 c,把表示出的 b 和 c 代入所求的不等式中,根据 a 小于 0,化简后得到关于 x 的不等式,然后分 x 大于 0 和 x 小于 0 两种情况考虑,当 x 小于 0 时,根据负数的绝对值等于它的相反数化简不等式中的绝

对值,在不等式两边都乘以负数 x,得到一个一元二次不等式,求出不等式的解集与 x 小于 0 求出交集即为原不等式的解集;当 x 大于 0 时,根据正数的绝对值等于本身化简绝对值,在 不等式两边都乘以正数 x,得到一个一元二次不等式,化简后得到此不等式无解,综上,得 到原不等式的解集. 解答:解:由不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|﹣1<x<2}, 2 得到 ax +bx+c=0 的两解为﹣1 和 2,且 a<0, 根据韦达定理得:﹣ =﹣1+2=1, =﹣2,即 b=﹣a,c=﹣2a, 则不等式 可化为: ﹣2a>﹣a|x|,即 ﹣2+|x|<0,

当 x<0 时,不等式化为: ﹣2﹣x<0, 去分母得:x +2x﹣1<0,即(x+1﹣ ) (x+1+ 解得:﹣1﹣ <x<﹣1+ , 则原不等式的解集为:﹣1﹣ <x<0; 当 x>0 时,不等式化为: ﹣2+x<0, 去分母得:x ﹣2x+1<0,即(x﹣1) <0,无解, 综上,原不等式的解集为{x|﹣1﹣ <x<0}. 故答案为:{x|﹣1﹣ <x<0} 点评:此题考查学生灵活运用韦达定理化简求值,考查了分类讨论的数学思想,是一道中档题.
* 2 2 2

)<0,

13. 分)若关于 x 的不等式 (3 λ 的取值范围是 (﹣∞,﹣1] . 考点:函数恒成立问题. 专题:综合题;压轴题. 分析: 关于 x 的不等式 ≥

≥0 对任意 n∈N 在 x∈(﹣∞,λ]恒成立,则实常数

≥0 对任意 n∈N 在 x∈(﹣∞,λ]恒成立,等价于 对任意 n∈N 在 x∈ (﹣∞, λ]恒成立, 由
*

*

= , 知

对 x∈(﹣∞,λ]恒成立.由此能求出 λ 的范围. 解答: * 解:关于 x 的不等式 ≥0 对任意 n∈N 在 x∈(﹣∞,λ]恒成立, 等价于 ∵ ∴ 设 ≥ = , 对 x∈(﹣∞,λ]恒成立. ,它的图象是开口向上,对称轴为 x=﹣ 的抛物线, 对任意 n∈N 在 x∈(﹣∞,λ]恒成立,
*

∴当 x≤﹣ 时,左边是单调减的,所以要使不等式恒成立,则 λ + 解得 λ≤﹣1,或 (舍)

2



当 x>﹣ ,左边的最小值就是在 x=﹣ 时取到, 达到最小值时, = ,不满足不等式.

因此 λ 的范围就是 λ≤﹣1. 故答案为: (﹣∞,﹣1]. 点评:本题考查函数恒成立问题的应用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地 进行等价转化. 14. 分)若 a>b>c 且 a+b+c=0,则: (3 ①a >ab, 2 ②b >bc, 2 ③bc<c , ④ 的取值范围是( ,1) , ) .
2

⑤ 的取值范围是(﹣2,

上述结论中正确的是 ①③④⑤ . 考点:命题的真假判断与应用;不等关系与不等式. 专题:计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:由题意证出 a>0 且 c<0,结合不等式的性质进行等价变形,可得 a2>ab 且 bc<c2 成立,得 ①③正确;通过举出反例,得到②不正确;将 b=﹣a﹣c 代入 b>c,进行等价变形证出 >﹣ ,同理证出 >﹣2,由此即可得到④⑤都是真命题. 解答:解:∵a>b>c 且 a+b+c=0, ∴a>0 且 c<0 2 因此,在 a>b 的两边都乘以正数 a,得 a >ab,故①正确; 2 若 b=0,a>0 且 c<0,可得 b >bc 不成立,故②不正确; 2 在 b>c 的两边都乘以负数 c,得 bc<c ,故③正确; ∵b=﹣a﹣c,∴ = =﹣1﹣

由于 b>c,即﹣a﹣c>c,可得 a<﹣2c,所以 >﹣ 同理,由﹣a﹣c<a,得﹣c<2a,所以 >﹣2 综上可得﹣ < <﹣2,所以 =﹣1﹣ ∈( ,1) ,得④正确;

由④的分析,可得 的取值范围是(﹣2,

) ,⑤也正确

综上所述,正确的命题的序号为①③④⑤ 故答案为:①③④⑤ 点评:本题给出不等式满足的条件,判断几个结论的正确性.着重考查了不等式的基本性质、不等 式等价变形的原则和命题真假的判断等知识,属于中档题. 15.3 分) ( 在整数集 Z 中, 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”, 被 记为[k], 即[k]={5n+k|n∈Z}, k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2011∈[1]; ②﹣3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a,b 属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”. 其中,正确结论的是 ①③④ . 考点:命题的真假判断与应用. 专题:压轴题;新定义. 分析:对各个选项进行分析:①∵2011÷5=402…1;②∵﹣3÷5=﹣1…2,③整数集中的数被 5 除的数 可以且只可以分成五类,故 Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④从正反两个方面考虑即可得答案. 解答:解:①∵2011÷5=402…1,∴2011∈[1],故①正确; ②∵﹣3=5×(﹣1)+2,∴﹣3?[3],故②错误; ③因为整数集中的数被 5 除的数可以且只可以分成五类,故 Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],故③ 正确; ④∵整数 a,b 属于同一“类”,∴整数 a,b 被 5 除的余数相同,从而 a﹣b 被 5 除的余数为 0, 反之也成立,故“整数 a,b 属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”.故④正确. 故答案为:①③④ 点评:本题为同余的性质的考查,具有一定的创新,关键是对题中“类”的题解,属基础题. 三、解答题 16. (12 分)已知集合 A={x|x ﹣ax+a ﹣19=0},集合 B={x|x ﹣5x+6=0},是否存在实数 a,使得集 合 A,B 能同时满足下列三个条件:①A≠B;②A∪B=B;③??(A∩B)?若存在,求出实数 a 的 值或取值范围;若不存在,请说明理由. 考点:交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用. 专题:计算题. 分析:对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在实数 a,使得集合 A,B 能同时满足下列三个条 件,再利用 A 不可以为空集,那么 A={2}或 A={3},求出 a 的值,若出现矛盾,则说明假设 不成立,即不存在;否则存在. 解答:解:要同时满足①A≠B②A∪B=B③空集真包含于(A∩B)则 A 不可以为空集. 假设存在这样的实数 a,那么 A={2}或 A={3} ①A={2}时 2 由韦达定理有 2+2=a,2×2=a ﹣19 故 a 无解 ②A={3}时
2 2 2

由韦达定理有 3+3=a,3×3=a ﹣19 故 a 无解. 综上:不存在实数 a,使得集合 A,B 能同时满足三个条件 点评:本小题主要考查交、并、补集的混合运算、集合的包含关系判断及应用等基础知识,考查运 算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题. 17. (12 分)已知命题 p:函数 f(x)=x ﹣4mx+4m +2 在区间[﹣1,3]上的最小值等于 2;命题 q: 2 不等式 x+|x﹣m|>1 对于任意 x∈R 恒成立;命题 r:{x|m≤x≤2m+1}?{x|x ≥1}.如果上述三个命题中 有且仅有一个真命题,试求实数 m 的取值范围. 考点:命题的真假判断与应用. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据二次函数的图象与性质,算出当 p 为真命题时,可得﹣1≤2m≤3 即﹣ ≤m≤ ;根据绝对 值的意义求出 y=x+|x﹣m|的最小值,得当 q 为真命题时 m>1;根据集合的概念与运算,可得 当 r 为真命题时 m≥1 或 m≤﹣1.再根据它们 有且仅有一个真命题,分三种情况加以讨论,最后综合可得本题答案. 解答:解:若命题 p 为真命题 则函数 f(x)=x ﹣4mx+4m +2 在区间[﹣1,3]上的最小值等于 2, 恰好为 f(2m)是二次函数在 R 上是最小值 ∴﹣1≤2m≤3 即﹣ ≤m≤ …(2 分) 若命题 q 为真命题 则有?x∈R,x+|x﹣m|>1,即函数 y=x+|x﹣m|的最小值 m>1 …(5 分) 若命题 r 为真命题 2 则:{x|m≤x≤2m+1}?{x|x ≥1}成立 ∴m>2m+1 或 1≤m≤2m+1 或 m≤2m+1≤﹣1, 解之得 m<﹣1 或 m≥1 或 m=﹣1,即 m≥1 或 m≤﹣1 …(8 分) ①若 p 真 q、r 假,则﹣ ≤m<1 …(9 分) ②若 q 真 p、r 假,则不存在 m 的值满足条件 …(10 分) ③若 r 真 p、q 假,则 m≤﹣1 …(11 分) 综上所述,实数 m 的取值范围是 m≤﹣1 或﹣ ≤m<1. …(12 分)
2 2 2 2

2

点评:本题给出三个命题当中有且仅有一个为真命题,求参数 m 的范围.着重考查了二次函数的图 象与性质、集合的概念与运算和绝对值的意义等知识,属于中档题.

18. (12 分)已知函数



(1)当 x∈[2,4]时.求该函数的值域; (2)若 f(x)≥mlog2x 对于 x∈[4,16]恒成立,求 m 的取值范围. 考点:函数恒成立问题;二次函数在闭区间上的最值. 专题:函数的性质及应用.

分析:(1)令 t=log4x,则可将函数在 x∈[2,4]时的值域问题转化为二次函数在定区间上的值域问 题,利用二次函数的图象分析出函数的最值,即可得到函数的值域; (2)令 t=log4x,则可将已知问题转化为 2t ﹣3t+1≥2mt 对 t∈[1,2]恒成立,即 对 t∈[1,2]恒成立,求出不等号右边式子的最小值即可得到答案. 解答: 解: (1) ,
2

此时, 当 t= 时,y 取最小值 ,



当 t= 或 1 时,y 取最大值 0, ∴ (2)若 f(x)≥mlog2x 对于 x∈[4,16]恒成立, 令 t=log4x, 2 即 2t ﹣3t+1≥2mt 对 t∈[1,2]恒成立, ∴ 易知 对 t∈[1,2]恒成立 在 t∈[1,2]上单调递增

∴g(t)min=g(1)=0, ∴m≤0. 点评:本题考查的知识点是对数函数的性质,二次函数在闭区间上的最值问题,函数恒成立问题, 函数的最值,是函数图象和性质的简单综合应用,难度中档

19. (12 分)已知函数

(a 为常数) .

(1)若常数 a<2 且 a≠0,求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在区间(2,4)上是减函数,求 a 的取值范围. 考点:对数函数的定义域;函数单调性的性质. 专题:计算题;综合题. 分析:(1)由对数函数的性质知其真数必须大于 0,对字母 a 进行分类讨论:当 0<a<2 时,当 a <0 时,即可求得求 f(x)的定义域; (2)由题意知函数 f(x)是由 y= 和 复合而来,由复合函数单调性结论,只

要 u(x)在区间在(2,4)上为增且为正即可.

解答: 解: (1)由 当 a<0 时,解得

,当 0<a<2 时,解得 x<1 或 . }



故当 0<a<2 时,f(x)的定义域为{x|x<1 或 当 a<0 时,f(x)的定义域为{x| (2)令 ,因为 }.

为减函数,

故要使 f(x)在(2,4)上是减函数, 则 在(2,4)上为增且为正.

故有



故 a∈[1,2) . 点评:本题主要考查对数函数的定义域、复合函数的单调性和一元二次方程根的分布,整体思想是 解决本类问题的根本. 20. (13 分)某公司有价值 a 万元的一条生产流水线,要提高该生产流水线的生产能力,就要对其 进行技术改造,改造就需要投入资金,相应就要提高生产产品的售价.假设售价 y 万元与技术改造 投入 x 万元之间的关系满足: ①y 与 a﹣x 和 x 的乘积成正比;② ③ y=a ;
2

其中 t 为常数,且 t∈[0,1].

(1)设 y=f(x) ,试求出 f(x)的表达式,并求出 y=f(x)的定义域; (2)求出售价 y 的最大值,并求出此时的技术改造投入的 x 的值. 考点:基本不等式. 分析:(1)f(x)的表达式好列,再求函数的定义域时,要注意条件③的限制性. (2)本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值,结合二次函数的图象及单调性解决,注 意分类讨论. 解答: 解: (1)设 ,可得 k=4,∴y=4(a﹣x)x∴定义域为 ,t 为常数,t∈[0,1] (2) 当



< 时,即 0≤t< 时,y=4(a﹣x)在[0,

]上为增函数,
2

则 万元; 当 时,投入 时,售价 y 最大为

时,投入

时,售价 y 最大为 a

万元.

点评:本题考查函数的应用问题,函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想,牵扯字母太多, 容易出错. 21. (14 分)定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log23 且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x) +f(y) . (1)求证 f(x)为奇函数; (2)若 f(k?3 )+f(3 ﹣9 ﹣2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 考点:抽象函数及其应用;函数单调性的性质;函数奇偶性的判断. 专题:计算题;证明题. 分析:(1)欲证 f(x)为奇函数即要证对任意 x 都有 f(﹣x)=﹣f(x)成立.在式子 f(x+y)=f (x)+f(y)中,令 y=﹣x 可得 f(0)=f(x)+f(﹣x)于是又提出新的问题,求 f(0)的 值.令 x=y=0 可得 f(0)=f(0)+f(0)即 f(0)=0,f(x)是奇函数得到证明. x x x x x x (2)先将不等关系 f(k?3 )+f(3 ﹣9 ﹣2)<0 转化成 f(k?3 )<f(﹣3 +9 +2) ,再结合 函数的单调性去掉“f”符号,转化为整式不等关系,最后利用分离系数法即可求实数 k 的取值 范围. 解答:解: (1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R) ,① 令 x=y=0,代入①式,得 f(0+0)=f(0)+f(0) ,即 f(0)=0. 令 y=﹣x,代入①式,得 f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x) ,又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(﹣x) .即 f(﹣x)=﹣f(x)对任意 x∈R 成立,所以 f(x)是奇函数. (2)解:f(3)=log23>0,即 f(3)>f(0) , 又 f(x)在 R 上是单调函数, 所以 f(x)在 R 上是增函数, 又由(1)f(x)是奇函数. x x x x x f(k?3 )<﹣f(3 ﹣9 ﹣2)=f(﹣3 +9 +2) , x x x k?3 <﹣3 +9 +2, 令 t=3 >0,分离系数得: 问题等价于 ∵
x x x x



,对任意 t>0 恒成立. ,

∴ . 点评:本题主要考查了抽象函数及其应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中档题.说明: 问题(2)本题解法:是根据函数的性质.f(x)是奇函数且在 x∈R 上是增函数,把问题转化

成二次函数 f(t)=t ﹣(1+k)t+2 对于任意 t>0 恒成立.对二次函数 f(t)进行研究求解.

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