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吉林省吉林大学附属中学2014届高三上学期第一次摸底考试数学


“鹰隼三朝展羽翼,蛟龙一跃上九天”
2013-2014 学年上学期高三年级 第一次摸底考试 数学 学科试卷(理科)
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 命题人:吴普林 审题人:林逸凡

注意事项: 1.本次考试使用条形码粘贴,学生需认真核对条形码粘贴上的信息,确认无误后粘到答题卡上指定 位置; 2.客观题填涂必须使用 2B 铅笔,

且按要求填满填涂点; 3.答题内容必须全部书写在答题卡题目规定的答题区域内(每题的答题区域以方框为界) ; 4.必须保持答题卡的卷面整洁、平整,不得揉、搓或折叠,以免影响扫描效果.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合 A ? {1 ,2} , B ? {x ? N | 0 ? x ? 5} ,若 A ? C ? B ,则满足条件的集合 C 的个数为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1

(2)函数 f ( x) ? lg( x ? 2) ? 2 ? 2 x 的定义域为 (A) (?2 ,0) ? (0 ,? ?) (C) (?2 , 1] (B) (?2 ,? ?) (D) (1 ,? ?)

(3)若 sin 2 ? ? 2cos ? ? ?2 ,则 cos ? ? 1 1 (A)1 (B) (C) ? (D)-1 2 2 (4)在一次跳高比赛前, 乙两名运动员各试跳了一次. 甲、 设命题 p 表示“甲的试跳成绩超过 2 米”, 命 题 q 表示“乙的试跳成绩超过 2 米”,则命题 (?p) ? (?q) 表示 (A)甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过 2 米 (B)甲、乙两人的试跳成绩都没有超过 2 米 (C)甲、乙至少有一人的试跳成绩超过 2 米 (D)甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过 2 米 (5)方程 1? | x | ? 1 ? y 表示 (A)两条直线 (C)两条线段 (B)两条射线 (D)一条射线和一条线段

(6)已知函数 f ( x) ? 3 sin x-cos x ,x∈R,若 f ( x) ≥1,则 x 的取值范围为 ? ? (A) {x | k? ? ≤x≤k? ? ? ,k ? Z} (B) {x | 2k? ? ≤x≤2k? ? ? ,k ? Z} 3 3 ? 5 ? 5 (C) {x | k? ? ≤x≤k? ? ? ,k ? Z} (D) {x | 2k? ? ≤x≤2k? ? ? ,k ? Z} 6 6 6 6 (7) △ ABC 的三个内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c , a sin A sin B ? b cos 2 A ? 2a ,则 (A) 2 3 (B) 2 2 (C) 3 (D) 2
b ? a

(8)函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? 2)( x ? 1) 的两个零点分别位于区间 (A) (?1 , 和 (1 ,2) 内 1) (C) (1 ,2) 和 (2 ,? ?) 内 (B) (?? ,? 1) 和 (?1 , 内 1) (D) (?? ,? 1) 和 (2 ,? ?) 内

(9)曲线 y ?

sin x ? 1 在点 M ( , ) 处的切线的斜率为 sin x ? cos x 4 2 2 1 1 (A) ? (B) (C) ? 2 2 2

(D)

2 2

(10) “ a ? 0 ”是“函数 f ( x) ?| ax 2 ? x | 在区间 (0 ,? ?) 上单调递增”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(11)已知函数 f ( x) 的图象如图所示,则函数 y ? f (1 ? x) 的大致图象是
y y
y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

O 1

x

(B) (C) (D) y ? f ( x) x 1 (12)已知函数 f ( x) ? sin ,x ? R ,将函数 y ? f ( x) 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐不 2 2 变) ,得到函数 g ( x) 的图象,则关于 f ( x) ? g ( x) 有下列命题,其中真命题的个数是 ①函数 y ? f ( x) ? g ( x) 是奇函数; ②函数 y ? f ( x) ? g ( x) 不是周期函数; ③函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图像关于点(π,0)中心对称; (A) ④函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最大值为 (A)1 (B)2
3 . 3

(C)3

(D)4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做答. 22 题~ 第 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 1 1 A . (13)已知幂函数 f ( x) ? x a 的图象过点 ( , ) ,则 log a 8 ? 2 4 (14)如图, △ ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 AC ? 2 ,BC ? 2.5 , . AD ? 1 ,BD ? 0.5 ,则 AB 的长为 B D C 5 10 (15)已知 ? ,? 均为锐角,且 cos(? ? ? )= ,则 2? = . ,sin(? ? ? ) ? 5 10 a2 ?7. (16)设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? x 若“ ?x ? [0 ,? ?) , f ( x) ? a ? 1 ”是假命题,则 a 的取值范围为 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分)

已知 p : |x ? 3 |? 2 , q : ( x-m+1)( x-m-1) ≤0 ,若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. (18)(本小题满分 12 分) ? 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ,x ? R (? ? 0 ,0 ? ? ? ) ,的部分图象 如图所示. 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间. (19)(本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,设 S 为 △ ABC 的面积,满足
3 2 2 2 (a +b -c ). 4 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值. (20)(本小题满分 12 分) 已 知 真 命 题 :“ 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 关 于 点 P(a ,b) 成 中 心 对 称 图 形 ” 的 充 要 条 件 为 “ 函 数 y ? f ( x ? a ) ? b 是奇函数”. ? ? ? (Ⅰ)将函数 g ( x) ? sin( x ? ) ? x ? 2 ? ,x ? R 的图像向左平移 个单位,再向上平移 2 个单位,求 4 4 4 此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数 g ( x) 图像对称中心的坐标; 2? x (Ⅱ)求函数 h( x) ? log 2 图像对称中心的坐标; 2x (Ⅲ) 已知命题: “函数 y ? f ( x) 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数 a 和 b , 使得函数 y ? f ( x ? a ) ? b 是偶函数”.判断该命题的真假,如果是真命题,请给予证明;如果是假命题, S?

请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明). (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)e ? x,x ? R ,其中 e 是自然对数的底数. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 对任意 x 满足 g ( x) ? f (4 ? x) ,求证:当 x ? 2 时, f ( x) ? g ( x) ; (Ⅲ)若 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证: x1 ? x2 ? 4.

请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,锐角 △ ABC 的内心为 D ,过点 A 作直线 BD 的垂线,垂足为 F ,点 E 为内切圆 D 与边 AC 的 A 切点. (Ⅰ)求证: A ,D ,F ,E 四点共圆; E (Ⅱ)若 ?C ? 50? ,求 ?DEF 的度数. F D
B C

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 ? x ? cos ? 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数),曲线 C2 的参数方程为 ? y ? sin ?
? x ? a cos ? ( a ? b ? 0 , 为参数). 在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线 l:? ? ? 与 C1 , ? ? ? y ? b sin ? ? C2 各有一个交点.当 ? ? 0 时,这两个交点间的距离为 2 ,当 ? ? 时,这两个交点重合. 2 (Ⅰ)分别说明 C1 , C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值;

4 求四边形 A1 A2 B2 B1 的面积.

(Ⅱ) 设当 ? ?

?

时, 与 C1 , 2 的交点分别为 A1 ,B1 , ? ? ? 当 l C

?
4

时, 与 C1 , 2 的交点分别为 A2 ,B2 , l C

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | . (Ⅰ)若不等式 f ( x) ≤ 3 的解集为 {x | ?1 ≤ x ≤ 5} ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ≥ m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2013-2014 学年上学期高三年级第一次模拟考试 参考答案及评分标准(理科数学)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (A) (C) (D) (D) (C) (B) (D) (A) (B) (A) (D) (A) 提示: x x x (12)解析: h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? sin sin x ? 2 cos sin 2 , 2 2 2 ①错误, h( x) 是偶函数;②错误, 4? 即为 h( x) 的一个周期; ③正确,可以验证 h( x) ? h(2? ? x) ? 0 恒成立,故(π,0)是 y ? h( x) 的图像的一个对称中心;
3 x ,t∈[-1,1],则 m(t)=2t (1-t2)=2( t-t3),令 m′(t)=2( 1-3t2)=0,得 t = ? . 3 2 3 4 3 3 4 3 当 t=± 时,函数值为 0;当 t ? ? 1 时,函数值为 ? ;当 t ? 时,函数值为 . 3 9 3 9 4 3 4 3 ∴m (t)max= ,即 h( x) 的最大值为 . 9 9 二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分. 6 ? 8 (13)3 (14) (15) (16) a≤ ? 2 4 7 提示: ? a2 ? 7 ,x ? 0 , ?9 x ? x ? ? (16)解析: y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,故可求解析式为 f ( x) ? ?0 ,x ? 0 , , ? 2 ?9 x ? a ? 7 ,x ? 0 ? x ? 又“ ?x≥0 , f ( x) ? a ? 1 ”是假命题,则 ?x≥0 , f ( x)≥a ? 1 是真命题,

④错误,令 t=cos

当 x ? 0 时, 0≥a ? 1 ,解得 a≤ ? 1 ,① a2 8 8 ? 7 ≥a ? 1 ,结合均值不等式有 6 | a | ?7 ≥a ? 1 ,得 a≥ 或 a≤ ? ,② 当 x ? 0 时, 9 x ? x 5 7 8 ①②取交集得 a 的取值范围是 a≤ ? . 7 三.解答题:本大题共 6 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 解析:由题意 p : x ? 5 或 x ? 1 , q : m-1≤x≤m+1 , 设 A ? {x | x ? 5或x ? 1} , B ? {x | m-1≤x≤m+1} , ??6 分 ?A, ∵ p 是 q 的必要不充分条件,∴ B ? ??10 分 ∴ m-1 ? 5 或 m+1 ? 1 ,∴ m ? 6 或 m ? 0 , ∴实数 m 的取值范围 (6 ,? ?) ? (?? ,0) . ??12 分 (18) (本小题满分 12 分) 11π 5π 2π 解析: (Ⅰ)由题设图象知,周期 T ? 2( ??2 分 ? ) ? π ,所以 ? ? ? 2, 12 12 T 5π 5π 5π 因为点( ,0)在函数图象上,所以 Asin(2× +φ)=0,即 sin( +φ)=0. 12 12 6 π 5π 5π 4π 5π π 又因为 0<φ< ,所以 ,从而 +φ=π,即 ? ? . ??4 分 ? ?? ? 2 6 6 3 6 6 π 又点(0,1)在函数图象上,所以 Asin ? 1 ,得 A=2, ??6 分 6

故函数 f (x)的解析式为 f (x)=2sin(2x+
π π π (Ⅱ)由 2kπ ? ≤2x ? ≤2kπ ? , 2 6 2 π π 得 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ,k∈Z, 3 6

π ). 6

??8 分 ??10 分
π π ,kπ ? ] (k∈Z). 3 6

所以函数 g(x)的单调递增区间是 [kπ ?

??12 分

(19) (本小题满分 12 分) 3 1 解析: (Ⅰ)由题意可知 absinC= · 2abcosC, ??3 分 4 2 所以 tanC= 3 . ??4 分 π 因为 0<C<π,所以 C= . ??6 分 3 3 2π 1 (Ⅱ)由已知 sinA+sinB=sinA+sin( -A)=sinA+ cosA+ sinA 2 3 2 π = 3 sin(A+ ). ??9 分 6 2π π π 5π π π π ∵0<A< ,∴ <A+ < ,∴当 A+ = 即 A= 时, ??11 分 3 6 6 6 6 2 3 sinA+sinB 的最大值是 3 . ??12 分 (20) (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)平移后图像对应的函数解析式为 g1 ( x) ? sin x ? x ,x ? R , ??2 分 ∵ ?x ? R , g1 (? x) ? ? g1 ( x) ,∴ g1 ( x) 是奇函数, ? 又由题设真命题知,函数 g ( x) 图像对称中心的坐标是 ( ,? 2) . ??4 分 4 2? x (Ⅱ)设 h( x) ? log 2 的对称中心为 P(a ,b) ,由题设知函数 h( x ? a ) ? b 是奇函数. 2x 2 ? ( x ? a) ?b, 设 f ( x) ? h( x ? a ) ? b , 则 f ( x) ? log 2 2( x ? a) 2 ? ( x ? a) ? 0 的解集 {x | ?a ? x ? ?(a ? 2)} 关于原点对称,得 a ? 1 . 由不等式 ??6 分 2( x ? a) 1? x ? b , x ? (?1 , . 1) 此时 f ( x) ? log 2 2( x ? 1) 任取 x ? (?1 , ,由 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,得 b ? ?1 , ??8 分 1) 2? x 所以函数 h( x) ? log 2 图像对称中心的坐标是 (1 ,? 1) . 2x (Ⅲ)此命题是假命题. 举反例说明:函数 f ( x) ? x 的图像关于直线 y ? ? x 成轴对称图像,但是对任意实数 a 和 b ,函数 ??10 分 y ? f ( x ? a ) ? b ,即 y ? x ? a ? b 总不是偶函数. 修改后的真命题: “ 函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 成 轴对称图像”的充要条 件是“函数 y ? f ( x ? a ) 是偶函 数”. ??12 分 (21) (本小题满分 12 分) x ?1 2? x 解析:(Ⅰ)∵ f ( x) = x ,∴ f ?( x) = x . ??2 分 e e 令 f ?( x) =0,解得 x ? 2 .

x

(??, 2)

- 1 f ( x) 极大值 2 ↗ ↘ e ∴ f ( x) 在 (??, 2) 内是增函数,在 (2, ??) 内是减函数. 1 ∴当 x ? 2 时, f ( x) 取得极大值 f (2) = 2 . e 3? x x ?1 3 ? x (Ⅱ)证明: g ( x) ? f (4 ? x) ? 4 ? x , 令F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? 4 ? x , e e e 2 ? x 2 ? x (2 ? x)(e 4 ? e 2 x ) ∴ F ?( x) = x ? 4 ? x ? . e e ex?4 当 x ? 2 时, 2 ? x <0, 2x >4,从而 e4 ? e2 x <0, ∴ F ?( x) >0, F ( x) 在 (2, ??) 是增函数. 1 1 ? F ( x) ? F (2) ? 2 ? 2 ? 0, 故当x ? 2时,f ( x) ? g ( x)成立. e e (Ⅲ)证明:∵ f ( x) 在 (??, 2) 内是增函数,在 (2, ??) 内是减函数. ∴当 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , x1 , x2 不可能在同一单调区间内. 不妨设 x1 ? 2 ? x2 ,由(Ⅱ)可知 f ( x2 ) ? g ( x2 ) , 又 g ( x2 ) ? f (4 ? x2 ) ,∴ f ( x2 ) ? f (4 ? x2 ) . ∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x1 ) ? f (4 ? x2 ) . ∵ x2 ? 2, 4 ? x2 ? 2, x1 ? 2 ,且 f ( x) 在区间 (??, 2) 内为增函数, ∴ x1 ? 4 ? x2 ,即 x1 ? x2 ? 4. (22) (本小题满分 10 分) 证明: (Ⅰ)由圆 D 与边 AC 相切于点 E,得 ?AED ? 90? , ∵ DF ? AF ,得 ?AFD ? 90? , ∴ A ,D ,F ,E 四点共圆. (Ⅱ)由(Ⅰ)知四点 A ,D ,F ,E 共圆,得∠DEF =∠DAF, 1 1 1 ?ADF ? ?ABD ? ?BAD ? (?ABC ? ?BAC ) ? (180? ? ?C ) ? 90? ? ?C , 2 2 2 1 1 结合 BF⊥AF,得∠DEF =∠DAF = 90? ? ∠ADF= ?C ,∴ ?DEF ? ?C . 2 2 由 ?C ? 50? 得∠DEF= 25? . A
E D B F

f ?( x)



2 0

(2, ??)

??3 分 ??4 分

??6 分

??8 分

??12 分

??5 分

??10 分

C (23) (本小题满分 10 分) 解析: (Ⅰ)C1 是圆,C2 是椭圆. 当 ? ? 0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为 2,所以 a=3. ? 当 ? ? 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所以 b= 2 1. ??5 分 2 x (Ⅱ)C1,C2 在平面直角标系下的方程分别为 x 2 ? y 2 ? 1和 ? y 2 ? 1. 9 2 3 10 ? 当 ? ? 时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x ? ,与 C2 交点 B1 的横坐标为 x? ? . 2 10 4

当? ? ? 为梯形.

?
4

时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因此四边形 A1A2B2B1
(2 x? ? 2 x)( x? ? x) 2 ? . 2 5

故四边形 A1A2B2B1 的面积为

??10 分

(24) (本小题满分 10 分) 解析: (Ⅰ)由 f(x)≤3,得|x-a|≤3,解得 a-3≤x≤a+3. ?a-3 ? -1, 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},∴ ? 解得 a=2. ?a ? 3 ? 5, (Ⅱ) (解法一)当 a=2 时,f(x)=|x-2|. ?-2 x-1 ,x ? -3, ? 设 g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|= ?5 ,-3≤x≤2, ?2 x ? 1 ,x ? 2. ?

??5 分

所以当 x<-3 时,g(x)>5;当-3≤x≤2 时,g(x)=5;当 x>2 时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为 5. ??10 分 从而,若 f(x)+f(x+5)≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为(-∞,5]. (解法二)当 a=2 时,f(x)=|x-2|, 由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2 时等号成立)得, ∵f(x)+f(x+5)≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,∴ m≤5 , ∴m 的取值范围为(-∞,5]. ??10 分


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