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1.3简单的逻辑联结词


高中数学选修 2-1 第一章常用逻辑用语教案

1.3 简单的逻辑联结词
(约 1 课时)

三维目标:
【知识与技能】
1.了解含有“且” “或” “非”的命题的含义; 2.理解由“且” “或” “非”构成的复合命题与集合的“交” “并” “补”之间的关系。

【过程与方法】
1

.通过学习常用逻辑用语的基础知识,体会逻辑用语在表述和论证中的作用。 2.通过学习,体会从特殊到一般的探究性学习方法。

【情感态度与价值观】
通过本节课的学习,体会探索的乐趣,培养学生创新意识,提高学生的逻辑判断能力 和逻辑思维能力。

重点与难点:
【重点】通过实例,使学生了解含有“且” “或” “非”的命题的含义,能正确的表述
相关的数学内容.

【难点】复合命题的真假判断,正确的用“且” “或” “非”表述新命题。

教学方法:启发引导,分析讲解,练习领会。 教具准备:POWERPOINT 教学过程:
一.引入新课
【师】复习提问充分条件、必要条件、充要条件的概念和判断方法并举例之后,让学生 思考 问题一:下列三个命题之间什么关系 (1)12 能被 3 整除; (2)12 能被 4 整除; (3)12 能被 3 整除且能被 4 整除。 问题二:下列三个命题之间什么关系 (1)27 是 7 的倍数; (2)27 是 9 的倍数;
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(3)27 是 7 的倍数或是 9 的倍数。 问题三:下列两个命题之间什么关系 (1)35 能被 5 整除; (2)35 不能被 5 整除。 【生】问题一中的(3)是(1) (2)之间用词“且”联结起来的;问题二中的(3)是 (1) (2)之间用词“或”联结起来的;问题三中的(2)是(1)的否定。 【师】像“且” “或”等词在逻辑学中叫什么,数学中这样的词有哪些?点题,板书课 题。

二.新课讲解
1.逻辑联结词: “或” 、 “且” 、 “非”这些词叫做逻辑联结词(logical connectives) . 不含逻辑联结词,是简单命题;由简单命题与逻辑联结词构成,是复合命题. (了解) 我们常用小写拉丁字母 p , q , r , ? 表示命题. 问题一中的命题(3)的构成形式为: p 且 q ;记做 p ? q 问题二中的命题(3)的构成形式为: p 或 q ;记做 p ? q 问题三中的命题(2)构成形式为:非 p .记做 ?p 。 2. “且” “或” “非”的含义(通过学生讨论总结如下) “且”——表示“既?又?” ,二者要“兼备” 。我们可以从串联电路理解联结词“且” 的含义,若开关 p, q 的闭合与断开分别对应命题 p, q 的真假,则整个电路的接通与断开分别 对应命题 p ? q 的真与假(图略) 。 “或”——表示“可以是?也可以是?” 。 我们可以从并联电路理解联结词“或”的 含义, 若开关 p, q 的闭合与断开分别对应命题 p, q 的真假, 则整个电路的接通与断开分别对 应命题 p ? q 的真与假(图略) 。 “非”—— 表示“对一个命题的全盘否定” 3. “且” “或” “非”与“交” “并” “补”之间的关系 ①对 “且” 的理解: “且” 的含义可以联想到交集的概念. ,A ? B ? ?x | x ? A且x ? B? ,

A ? B 中的“且”是指“ x ? A ” “ x ? B ”两个条件都要满足的意思.
②对“或”的理解:逻辑联结词的“或”与一般连词之间是有区别的.例如:在“ 6 是

2 或 3 的倍数” 中, “或”是一般连词;而“ 6 是 2 的倍数或 6 是 3 的倍数”中, “或”是
逻辑联结词,是两者至少选一个的意思,这与并集中的“或”有相同之
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处. A ? B ? x | x ? A或x ? B

?

?

③对“非”的理解:非的含义是否定.非 p 也称为命题 p 的否定.由“非”可以联想 到补集的概念. CU A ? ?x ?U且x ? A? . 4. “且” “或” “非”构成命题的真假判断方法(复合命题真假判断表) ①非 p 形式复合命题的真假可以用下表表示:

p
真 假

非p 假 真

② p 且 q 形式复合命题的真假可以用下表表示:

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p 且q
真 假 假 假

③ p 或 q 形式复合命题的真假可以用下表表示:

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p 或q
真 真 真 假

5.判断一个复合命题的真假,一般有三个步骤: ①确定复合命题的构成形式及其中简单命题的内容; ②判断各简单命题的真假; ③利用真值表判断复合命题的真假. 6.常见的一些词语的否定词如下表: 原词语 否定词语 是 不是 都是 不都是 完全 不完全 负数 非负数 所有的 至少一个不

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原词语 否定词语 原词语 否定词语

任意的 某个 等于( ? )

任意两个 某两个 大于( ? )

所有的 某些 小于( ? )

能 不能 至少一个 一个也没有

至多 n 个 至少 n ? 1 个 至多一个 至少两个

不等于( ? ) 不大于( ? ) 不小于( ? )

7.否定与否命题的关系 “否命题”是对原命题的条件和结论同时否定,而“命题的否定”只是否定命题的结论.

三.练习领会
师生共同解答下列各例 【例 1】分别指出下列命题的形式: ⑴8 ? 7 ; ⑵ 2 是偶数且 2 是质数; ⑶ ? 不是整数. 解:⑴这个命题是“ p 或 q ”的形式,其中, p : 8 ? 7 , q : 8 ? 7 . ⑵这个命题是“ p 且 q ”的形式,其中, p : 2 是偶数, q : 2 是质数. ⑶这个命题是“非 p ”的形式,其中, p : ? 不是整数. 【例 2】分别写出由下列命题构成的“ p ? q ” 、 “p?q” 、 “ ? p ”的形式. (1) p : ? 是无理数, q : e 不是无理数;
2 2 (2) p :方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 有两个相等的实数根, q :方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 两根的

绝对值相等; (3) p :三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和, q :三角形的外角大于与它 不相邻的任何一个内角. 解: (1) “ p?q” : ? 是无理数且 e 不是无理数, “ p?q” : ? 是无理数或 e 不是无理数, “﹁ p ” : ? 不是无理数.
2 2 (2) “ p?q” :方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 有两个相等的实数根或方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 两根

的绝对值相等;
2 2 “ p?q” : 方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 有两个相等的实数根且方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 两根的

绝对值相等;
2 “﹁ p ” : 方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 没有两个相等的实数根.

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(3) “ p?q” : 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或三角形的外角大于与 它不相邻的任何一个内角; “ p?q” : 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且三角形的外角大于与它不 相邻的任何一个内角; “﹁ p ” : 三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和. 【例 3】写出由下列各组命题构成的“ p 或 q ” 、 “ p 且q ” 、 “非 p ”形式的命题,并 判断他们的真假: ⑴ p : 3 是质数, q : 3 是偶数;
2 2 ⑵ p :方程 x ? x ? 2 ? 0 的解是 x ? ?2 , q :方程 x ? x ? 2 ? 0 的解是 x ? 1 .

解:⑴“ p 或 q ” : 3 是质数或 3 是偶数; “ p 且q ” : 3 是质数且 3 是偶数; “ 非 p” : 3 不是质数. 因为 p 真, q 假,所以“ p 或 q ”为真, “ p 且 q ”为假, “非 p ”为假.
2 2 ⑵“ p 或 q ” :方程 x ? x ? 2 ? 0 的解是 x ? ?2 或方程 x ? x ? 2 ? 0 的解是 x ? 1 ; 2 2 “ p 且q ” :方程 x ? x ? 2 ? 0 的解是 x ? ?2 且方程 x ? x ? 2 ? 0 的解是 x ? 1 ;

2 “ 非 p” :方程 x ? x ? 2 ? 0 的解不是 x ? ?2 .

因为 p 假, q 假,所以“ p 或 q ”为假, “ p 且 q ”为假, “非 p ”为真.
2 【例 4】已知 p :关于 x 的方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的负实根; q :关于 x 的

2 方程 4x ? 4 ? m ? 2? x ?1 ? 0 无实根,如果复合命题“ p 或 q ”为真, “ p 且 q ”为假,求

出满足要求的 m 的取值范围. 分析:先由“ p 或 q ”为真, “ p 且 q ”为假得出 p 、 q 的真假,然后再求出 m 的取 值范围. 解: 若方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的负实根,
2

?? ? m2 ? 4 ? 0, ? 则 ? x1 ? x2 ? ?m ? 0, ? x ?x ? 1 ? 0, ? 1 2
2

解得 m ? 2 ,即 p : m ? 2 ;

若方程 4x ? 4 ? m ? 2? x ?1 ? 0 无实根, 则 ? ? 16 ? m ? 2 ? ? 16 ? 16 m ? 4m ? 3 ? 0 解得 1 ? m ? 3 ,即 q : 1 ? m ? 3 .
2 2

?

?

因“ p 或 q ”为真,所以 p 、 q 至少有一个为真,又“ p 且 q ”为假,所以 p 、 q 至

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少有一个为假,因此这两个命题应是一真一假. 当“ p 为真, q 为假”时, ?

? m ? 2, ? m ? 1或m ? 3,

解得 m ? 3 ;

当“ p 为假, q 为真”时, ? 综上得 m ? 3 或 1 ? m ? 2 .

?m ? 2, 解得 1 ? m ? 2 ; ?1 ? m ? 3,

四.课堂反馈
学生作课本第 18 页练习和习题 1.3 A

五.课内小结
1.逻辑联结词; 2.复合命题的真假判断.

六.课外作业
课本第 18 页习题 1.3 B 组 备选习题: 1.命题“方程 x ? 4 ? 0 的解是 x ? ?2 ”中,使用的逻辑联结词的情况是(
2



A、没有使用联结词 C、使用了逻辑联结词“且”

B、使用了逻辑联结词“或” D、使用了逻辑联结词“非”

分析:注意到 x ? ?2 是 x ? 2 或 x ? ?2 .答:选 B. 2. 命题 “非空集合 A ? B 中的元素既是 A 中的元素也是 B 中元素” 是________形式. 命 题“非空集合 A ? B 中的元素是 A 的元素或是 B 的元素”是________形式. 分析: x ? A ? B 则 x ? A 且 x ? B ,填 p 且 q . x ? A ? B 则 x ? A 或 x ? B ,填 p 或

q .答:填 p 且 q ; p 或 q .
说明 本题是集合问题与命题概念的结合. 3. p :菱形的对角线互相垂直. q :菱形的对角线互相平分.求下列复合命题: (1) p 或 q ; (2) p 且 q ; (3)非 p .

分析:一般的问题都是“拆”复合命题,这儿是“造”复合命题,关键在于“合” . 解:(1)菱形的对角线互相垂直或平分; 形的对角线互相不垂直. 4.以下判断正确的是( ) (2)菱形的对角线互相垂直且平分; (3)菱

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A、若 p 是真命题,则“ p 且 q ”一定是真命题 B、命题“ p 且 q ”是真命题,则命题 p 一定是真命题 C、命题“ p 且 q ”是假命题时,命题 p 一定是假命题 D、命题 p 是假命题时,命题“ p 且 q ”不一定是假命题 解:根据真值表,选 B. 说明 在记忆真值表的时候,要体会它的合理性. 5.如果命题“ p 或 q ”与命题“非 p ”都是真命题,那么( A、命题 p 不一定是假命题 C、命题 q 不一定是真命题 分析: p 为假,从而 q 为真. 解:选 B. 6.若 p 、 q 是两个简单命题,且“ p 或 q ”的否定是真命题,则必有( A、 p 真 q 真 B、 p 假 q 假 C、 p 真 q 假 D、 p 假 q 真 ) )

B、命题 p 一定是真命题 D、命 p 与命题 q 的真值相同

分析 利用逆否命题与原命题的等价性,结合真值表确定结论. 解:∵“ p 或 q ”的否定是“非 p 且非 q ” ,这是一个真命题,所以由真值表.非 p 、 非 q 都是真命题,那么 p 假 q 假.选 B. 7.如果命题“ p 或 q ”是真命题, “非 p ”是假命题,那么 ( A、命题 p 一定是假命题 C、命题 q 一定是真命题 分析:利用真值表回推. 答:选 D. 说明:解题过程中注意发挥逆向思维的作用. B、命题 q 一定是假命题 D、命题 q 是真命题或者假命题 )

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