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集合1.3


第三节

量词、逻辑联结词

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三年11考

高考指数:★★★

1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

2.理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

1.带有逻

辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的判断和其 否定的判断,全称命题、特称命题的否定及判断是考查的重点.

2.多与其他知识结合以选择题、填空题的形式出现,在知识的交
汇处命题,都是低档题.

1.量词及其命题
(1)全称量词与全称命题 ①全称量词:在指定范围内,表示整体或全部的含义的词.例 所有 任何 每一个 任意一条 如“_____”、“_______”、“_____”、“_________”、 一切 “_____”. 全称量词 ②全称命题:含有_________的命题.

(2)存在量词与特称命题
有些 ①存在量词:表示个别或一部分的含义的词.例如“_____”、 至少有一个 有一个 存在 “___________”、“_______”、“_____”.

存在量词 ②特称命题:含有_________的命题.

【即时应用】 (1)判断下列说法是否正确.(在括号里填“√”或“×”) ①“所有的偶数都是合数”是特称命题 ( )

②“任何一个x∈Z,x2-2x+3都是正整数”是全称命题,且为真
命题 ( )

③“对任意角α 都有tanα =
为角α 终边上一点)

y ”是全称命题且为假命题(P(x,y) x

( (

) )

④“至少有一个x使x2+2x+1=0成立”是全称命题

(2)判断下列命题的真假(填“真”或“假”). ①存在x∈R,lgx=0 ②存在x∈R,tanx=1 ( ( ) )

③任意x∈R,x2>0
④任意x∈R,2x>0

(
(

)
)

【解析】(1)根据全称命题和特称命题的定义及命题真假判断 知,①④错误,②③正确. (2)∵lg1=0,tan =1,∴命题①②是真命题, ∵当x=0时,x2=0,∴命题③是假命题. ∵2x>0对x∈R恒成立,∴命题④是真命题.
? 4

综上知,命题③是假命题,其余均是真命题.
答案:(1)①〓 ②√ ③√ ④〓

(2)①真

②真

③假

④真

2.全称命题与特称命题的否定 一个反例 (1)要说明一个全称命题是错误的,只需找出_________,即要 否定 特称 说明这个全称命题的_____是正确的.全称命题的否定是_____

命题.
(2)要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错 所有的对象 误的,就要说明___________都不满足这一性质.实际上是要说

否定 明这个特称命题的____是正确的,特称命题的否定是全称命题.

【即时应用】

(1)命题任意x∈R,x2-x+3>0的否定是______.
(2)命题存在x∈(0,1),log 1 x>log 1 x 的否定是_______.
2 3

【解析】(1)给的是全称命题,则它的否定就是特称命题,
故此命题的否定是“存在x∈R,x2-x+3≤0”. (2)特称命题的否定是全称命题,故此命题的否定是“任意 x∈(0,1), log 1 x ? log 1 x ”.
2 3

答案:(1)存在x∈R,x2-x+3≤0 (2)任意x∈(0,1), log 1 x ? log 1 x
2 3

3.逻辑联结词 非 或 且 (1)逻辑联结词通常是指“___”、“___”、“___”. (2)命题p且q,p或q,﹁p的真假判断

p 真 真 假

q 真 假 真

p且q

p或q

﹁p

真 假
假 假

真 真
真 假

假 假
真 真





【即时应用】

(1)已知命题p:3≥3,q:3>4,判断下列命题的真假.(在括号
中填写“真”或“假”) ①p或q ②p且q ③﹁p ( ( ( ) ) )

(2)如果命题“(﹁p)或(﹁q)”是假命题,判断下列命题的真

假.(在括号中填写“真”或“假”)
①命题“p且q” ②命题“p或q” ③命题“(﹁p)或q” ④命题“p且(﹁q)” ( ( ( ( ) ) ) )

【解析】(1)命题p是真命题,命题q是假命题,从而﹁p为假,

p或q为真,p且q为假,∴①为真,②③为假.
(2)由已知得﹁p,﹁q是假命题,从而p,q为真命题.故命题“p 且q”为真命题,“p或q”为真命题,“(﹁p)或q”为真命题, “p且(﹁q)”为假命题. 答案:(1)①真 (2)①真 ②真 ②假 ③真 ③假 ④假

含有逻辑联结词的命题的真假判断
【方法点睛】“p且q”、“p或q”、“﹁p”形式命题的真假

判断步骤
(1)准确判断简单命题p、q的真假. (2)判断“p且q”、“p或q”、“﹁p”命题的真假. 其判断规律是: ①p或q:p、q中有一个为真,则p或q为真,即一真全真;

②p且q:p、q中有一个为假,则p且q为假,即一假即假;
③﹁p:与p的真假相反,即一真一假,真假相反.

【例1】已知命题: p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数

p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数
则在命题q1:“p1或p2”,q2:“p1且p2”,q3:“(﹁p1)或p2”和

q4:“p1且(﹁p2)”中,真命题是(
(A)q1,q3 (C)q1,q4 (B)q2,q3 (D)q2,q4

)

【解题指南】先判断命题p1,p2的真假,从而确定﹁p1,﹁p2的 真假,最后确定命题q1、q2、q3、q4的真假. 【规范解答】选C.命题p1为真命题,p2为假命题,

则﹁p1为假命题,﹁p2为真命题,
从而q1,q4为真命题,q2,q3为假命题.故选C.

【反思·感悟】1.求解本题时,易由于对命题p1,p2的真假判断

不正确,从而造成解题失误.
2.当一个命题,从字面上看不一定有“或”、“且”、“非” 字样时,需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词 “或”、“且”、“非”的关系,如“或者”、“x=〒1”、 “≤”的含义为“或”;“并且”、“ “不是”、“ ”的含义为“非”. ”的含义为“且”;

全称命题、特称命题的真假判断 【方法点睛】1.全称命题真假的判断方法 (1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每 一个元素x,验证p(x)成立. (2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个 特殊值x=x0,使p(x0)不成立即可.

2.特称命题真假的判断方法

要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M中,至少
能找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这一特称命题就是假 命题.

【例2】(1)下列命题中,真命题是(

)

(A)存在m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数

(B)存在m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数
(C)任意m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 (D)任意m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数

(2)已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若m满足关于x的方程 2ax+b=0,则下列选项中的命题为假命题的是( (A)存在x∈R,f(x)≤f(m) (B)存在x∈R,f(x)≥f(m) (C)任意x∈R,f(x)≤f(m) (D)任意x∈R,f(x)≥f(m) )

【解题指南】(1)根据y=x2是偶函数,令m=0,1进行判断真假. (2)m= ? b 为函数f(x)=ax2+bx+c的顶点横坐标,从而可知f(x)
2a

与f(m) 的关系.

【规范解答】(1)选A.当m=0时,f(x)=x2是偶函数,故选A.当 m=1时,f(x)=x2+x是非奇非偶函数,故C、D错误;又y=x2是偶 函数,则f(x)=x2+mx不可能是奇函数,故B错. (2)选C.由2am+b=0,得m= ?
b , 2a

又a>0,∴f(m)是函数f(x)的最小值, 即任意x∈R,有f(x)≥f(m),故选C.

【反思·感悟】1.解答本例(1)时要善于运用特殊化的思想, 求解本例(2)时,易对“m满足关于x的方程2ax+b=0”不理解, 致使无法求解. 2.要注意区分全称命题与特称命题,在判断真假时采用不同的

思考方法.

含有一个量词的命题的否定
【方法点睛】对全(特)称命题进行否定的方法 (1)找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上 量词,再按下表进行否定. 原语句 是 都是 > 至少有 一个 一个都 至多有 一个 至少有 两个 对任意x∈A 使p(x)真 存在x0∈A 使p(x0)假

否定 形式

不是 不都是 ≤

没有

(2)找到p(x)并否定.

【提醒】要判断“﹁p”的真假,可直接判断,也可以先判断 “p”的真假,从而可知“﹁p”的真假.

【例3】(1)(2011·辽宁高考)已知命题p:存在n∈N,2n> 1 000,则﹁p为( )

(A)任意n∈N,2n≤1 000 (B)任意n∈N,2n>1 000

(C)存在n∈N,2n≤1 000
(D)存在n∈N,2n<1 000

(2)写出下列命题的否定,并判断真假. ①所有的矩形都是平行四边形; ②每一个素数都是奇数; ③有些实数的绝对值是正数; ④某些平行四边形是菱形.

【解题指南】首先弄清命题是全称命题还是特称命题,再针对 不同的形式加以否定.

【规范解答】(1)选A.命题p:存在n∈N,2n>1 000,是特称

命题,其否定为任意n∈N,2n≤1 000.
(2)①存在一个矩形不是平行四边形,假命题; ②存在一个素数不是奇数,真命题; ③所有的实数的绝对值都不是正数,假命题; ④每一个平行四边形都不是菱形,假命题.

【反思·感悟】对于全(特)称命题,在写出其否定时,都要从两 个方面进行:一是对量词或量词符号进行改写,二是对命题的结

论进行否定,二者缺一不可.

【易错误区】对全称命题的否定理解不到位致误 【典例】(2011·安徽高考)命题“所有能被2整除的整数都是 偶数”的否定是( )

(A)所有不能被2整除的整数都是偶数 (B)所有能被2整除的整数都不是偶数

(C)存在一个不能被2整除的整数是偶数
(D)存在一个能被2整除的整数不是偶数

【解题指南】此命题为全称命题,其否定为特称命题. 【规范解答】选D.全称命题的否定为特称命题,即将“所有” 变为“存在”,并且将结论进行否定.该命题的否定为“存在 一个能被2整除的整数不是偶数”.

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷分析与总结,我们得到以下

误区警示及备考建议:
(1)本题易误选C,错选的原因是改错了条件,且未 对结论进行否定. (2)本题还可能得到错误结论:“存在一个不能被2 整




警 示

除的整数不是偶数”.



解决对含有一个量词的命题进行否定的问题时,有 以下几点请关注: (1)正确理解含有一个量词的命题的否定的含义,从 整体上把握,明确其否定的实质.


建 议

(2)记住一些常用的词语的否定形式及其规律.

1.(2011·北京高考改编)若p是真命题,q是假命题,则(

)

(A)p且q是真命题
(C)﹁p是真命题

(B)p或q是假命题
(D)﹁q是真命题

【解析】选D.p且q为假,p或q为真,﹁p为假,﹁q为真.

2.(2012·宿州模拟)命题“对任意x>0,ex>x+1”的否定是(
(A)存在x≤0,ex≤x+1 (B)存在x>0,ex≤x+1

)

(C)存在x≤0,ex>x+1

(D)任意x>0,ex≤x+1

【解析】选B.所给命题是全称命题,其否定为存在x>0, ex≤x+1.

3.(2011·怀化模拟)已知命题“存在x∈R,2x2+(a-1)x+ 是假命题,则实数a的取值范围是( (A)(-∞,-1) (B)(-1,3) )

1 ≤0” 2

(C)(-3,+∞)

(D)(-3,1)
1 >0” 2

【解析】选B.由已知得命题“任意x∈R,2x2+(a-1)x+

是真命题,从而Δ=(a-1)2-4<0,
∴-1<a<3.

4.(2012·西安模拟)已知命题p:抛物线y=2x2的准线方程为 y= ? ; 命题q:若函数f(x+1)为偶函数,则f(x)关于x=1对称, 则下列命题是真命题的是( (A)p且q (C)(﹁p)且(﹁q) )
1 2

(B)p或(﹁q) (D)p或q

【解析】选D.∵抛物线方程为x2= ∴准线方程为y= ? 1 , ∴p假.
8

1 y, 2

又∵f(x+1)为偶函数, ∴f(-x+1)=f(x+1),

∴f(x)关于x=1对称,∴q真,∴p或q真.


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