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常熟市王淦昌中学自主检测试卷


常熟市王淦昌中学自主检测试卷(高二数学 )2014 年 1 月 25 日
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 方程 x 2 ? y 2 ? x ? y ? m ? 0 表示一个圆,则 m 的范围是_____▲________ 2.命题“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 ”的否定是 3. 离心率为 ▲ ▲ 条件.(选填“充分

1 ,长轴长为 4,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 2


4. 设 p : x ? 1 , q : x ? 1 ,则 q 是 p 的________

不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”) 5. 双曲线

y2 ? x2 ? 1 ? 0 的离心率是 3



.

x2 y2 ? ? 1 ,长轴在 y 轴上.若焦距为 2,则 m 等于 ▲ 10 ? m m ? 2 7. 若 “x ?? 2,5? 或 x ?{x ? 1或x ? 4} ”是假命题,则实数 x 的取值范围是 ▲
6. 已知椭圆 8. 已知 F1、F2 为椭圆

__

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点 25 9

若 F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB =______▲________ 9. 平面上有两定点 A(?2, 0), B(2, 0) ,动点 M 满足 MA ? MB ? 4 ,则动点 M 的轨迹方 程为 ▲
2

10. 已知点 P 在抛物线 y ? 4 x 上,那么点 P 到点 Q(2, ?1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距 离之和取得最小值时,点 P 的坐标为_____▲_____ 11. 设椭圆 C1 的离心率为

5 , 焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两 13

个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为_____▲_____

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A, 12. 双曲线 右焦点为 F. 过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线 9 16
与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为 13. P 为椭圆 ▲

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,M、N 分别是圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 和 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 上 4 3


的点,则|PM | + |PN |的最大值为

14.我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题:如果与一固定直线平行的直线 被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比为 k ,那么甲的面积是乙的面积的 k 倍.你可以 从给出的简单图形全品高考网 l (将 l 向右平移) y ①、②中体会这个原理. 现在图③中的曲线分别 x

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 与 x2 ? y 2 ? a 2 ,运用上
是 面的原理,图③中椭圆的 面积为 ▲ .全品高考网 学

甲 甲 乙 乙

O

x







二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出必要 .... 的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点相同; (1)过点 A( ?1 , ? 2) 且与椭圆 6 9
(2)过点 P( 3 , ? 2) , Q(?2 3 , 1)

16. 已知 m ? 0 , p : ? x ? 2?? x ? 6? ? 0 , q : 2 ? m ? x ? 2 ? m . ⑴ 若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; ⑵ 若 m ? 5 ,“ p 或 q ”为真命题,“ p 且 q ”为假命题,求实数 x 的取值范围.

17. 如图 F1 (?c,0), F2 (c,0) 为双曲线 E 的两焦点,以 F1F2 为直径的圆 O 与双曲线 E 交于

M , N , M1 , N1 , B 是圆 O 与 y 轴的交点,连接 MM 1 与 OB 交于 H ,且 H 是 OB 的中点,
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(1)当 c ? 1 时,求双曲线 E 的方程; (2)试证:对任意的正实数 c ,双曲线 E 的离心率为常数.
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18. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂直,底面
ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60 , N 是 PB 中点,过 A 、 N 、 D 三点的平面交 PC 于 M .

P M D C N A

(1)求证: DP // 平面ANC ; (2)求证: M 是 PC 中点; (3)求证:平面 PBC ⊥平面 ADMN .

B

19. 直角三角形 ABC 的顶点坐标 A?? 2,0? ,直角顶点 B 0,?2 2 ,顶点 C 在 x 轴的正半 轴上,点 P 为线段 OA 的中点 (1)求 BC 边所在直线方程。 (2)M 为直角三角形 ABC 外接圆的圆心,求圆 M 的方程。 (3)若动圆 N 过点 P 且与圆 M 内切,求动圆的圆心 N 的轨迹方程。

?

?

20.已知直线 y ? ? x ? 1与椭圆 中 O 为坐标原点). (1)若椭圆的离心率为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B 两点, 且 OA ? OB(其 a2 b2

3 ,求椭圆的标准方程; 3

(2)求证:不论 a , b 如何变化,椭圆恒过第一象限内的一个定点 P ,并求点 P 的坐标; (3)若椭圆的离心率 e ? ?

? 6 16 ? , ? ,求椭圆长轴长的取值范围. ? 7 17 ?

常熟市王淦昌中学自主学习调研试卷答案
一、填空题 1. m ? ? ? ?, ? 5. 2 6.

? ?

1? 2?
13 2

2. ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 7. ?1 , 2?

3.

x2 y2 ? ? 1 4.必要不充分条件 4 3

8. 8

9. y ? 0, x ? ?? 2,2? 13. 7 14. ?ab

10 ? ,?1? 11. 二、简答题 15. (1)

?1 ?4

? ?

9 x2 y2 ? ? 1 12. 5 16 9

x2 y2 ? ?1 3 6 x2 y2 ? ?1 15 5

???????7 分

(2)

????7 分 ????2 分

16. 解: p : ?2 ? x ? 6 , ⑴∵ p 是 q 的充分条件, ∴ ? ?2,6? 是 ? 2 ? m, 2 ? m? 的子集.
? m ? 0, ∴? ? 2 ? m ? ?2 ,得 m ? 4 ,∴实数 m 的取值范围为 ?4, ??? . ?2 ? m ? 6 ?

?????4 分

?????7 分

⑵当 m ? 5 时, q : ?3 ? x ? 7 依题意, p 与 q 一真一假,

?????9 分 ?????10 分 ?????11 分

? ?2 ? x ? 6 p 真 q 假时,由 ? ,得 x ?? . ? x ? ?3或x ? 7
p 假 q 真时,由 ?

? x ? ?2或x ? 6 ,得 ?3 ? x ? ?2或6< x ? 7 . ? 3 ? x ? 7 ?

?????12 分

∴实数 m 的取值范围为 ?3, ?2?

?

? 6,7? .
1 2 3 1 , ) 2 2

?????14 分

17. .解. (1)由 c ? 1 有 B(0,1) , H (0, ), M (

????2 分

设E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), M 在E上, a 2 b2

? 2 1 ?a 2 ? b 2 ? 1 a ? ? ? ? 2 则? 3 解得 ? 1 ? 2 ? 2 ?1 ?b 2 ? 1 ? 4a 4b ? ? 2

????6 分

E : 2x 2 ? 2 y 2 ? 1
c 2 3c c , ) 2 2

????7 分

(2) F1 (?c,0), B(0, c), H (0, ), M (

????9 分

?a 2 ? b 2 ? c 2 x y ? 2 设 E : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), ? 3c 2 ,即3e4 ? 8e2 ? 4 ? 0 c a b ? 2 ? 2 ?1 ? 4a 4b
2 2

????13 分

2 (舍),? e ? 2 为常数 3 18. 证明: (1)连结 BD , AC ,设 BD ? AC ? O ,连结 NO ∵ ABCD 是的菱形 ∴ O 是 BD 中点,又 N 是 PB 中点 e 2 ? 2或e 2 ?
∴ PD // NO 又 NO ? 平面ANC, PD ? 平面ANC ∴ PD // 平面ANC (2)依题意有 AD // BC ∴ BC // 平面 ADMN 而平面 PBC 平面 ADMN ? MN ∴ BC // MN

????15 分 ???????1 分 ???????3 分 ?????????4 分 ???????5 分

?????????6 分 ??????????????7 分 ????????????????9 分

∴ AD // MN (或证 AD ∥平面 PBC ) ∴ MN // BC 又 N 是 PB 中点 ∴ M 是 PC 中点 (3)取 AD 中点 E,连结 PE , BE , BD ,如右图 ∵ ABCD 为边长为 2 的菱形,且 ?BAD ? 60?

???????10 分

∴ ?ABD 为等边三角形,又 E 为 AD 的中点 ∴ BE ? AD ?????????12 分 又∵ PE ? AD ∴ AD ⊥面 PBE ∴AD⊥PB ?????????13 分 又∵ PA ? AB , N 为 PB 的中点 ∴ AN ? PB ????????14 分 ∴ PB ? 平面 ADMN 而 PB ? 平面 PBC ∴平面 PBC ? 平面 ADMN ???????????15 分

19. 解: (1)BC: y ?

(2)外接圆 M 的方程 ?x ? 1? ? y 2 ? 9 (3)得到 MN ? PN ? 3
2

2 x?2 2 2

?????????5 分 ????????? 9 分 ?????????12 分 ????????? 16 分

x2 y2 ? ?1 轨迹方程为 9 5 4 4

? x2 y2 ? 1, ? ? 20.(1) 由 ? a 2 b 2 消去y得(a 2 ? b 2 ) ? x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? (1 ? b 2 ) ? 0, ??1 分 ? y ? ? x ? 1, ?
由 ? ? (?2a 2 ) 2 ? 4a 2 (a 2 ? b 2 )(1 ? b 2 ) ? 0, 整理得a 2 ? b 2 ? 1. ??2 分

设A( x1, y1,), B( x2 , y2 )
a 2 ? a 4b 2 ? a 2b 2 ? a 2b 4 a 2 ? a 4 b 2 ? a 2 b 2 ? a 2b 4 , x2 ? x1 ? a 2 ? b2 a 2 ? b2

? x1 ? x2 ?

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) , x x ? 1 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2

? y1 y2 ? (? x1 ? 1)(? x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1.

? OA ? OB(其中O为坐标原点 ),? x1 x2 ? y1 y2 ? 0,即2x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0.
? 2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? ? 1 ? 0.整理得a 2 ? b 2 ? 2a 2 b 2 ? 0. 2 2 2 2 a ?b a ?b
e2 ? a 2 ? b2 1 5 5 ? .? a 2 ? , b 2 ? . 2 a 3 4 6
????4 分

????5 分

4 6 故椭圆标准方程为: x 2 ? y 2 ? 1 5 5
? 2? 2 ? 2? 2

????6 分

? ? ? ? 1 1 2 2 2 2 (2) 由 a ? b ? 2a b ? 0 整理得 2 ? 2 ? 1, ? 2 2? ? ? 2 2? ? 1 , ????9 分 2a 2b a b

则不论 a , b 如何变化,椭圆恒过第一象限内的定点 ? (3)

? 2 2? ? 2 , 2 ? ? ? ?

????10 分

b2 ? a2 ? c2 ? a2 ? a2e2 , 将(1)中的 a 2 ? b2 ? 2a 2b2 ? 0

代入上式得2a 2 ? 1 ? ?a2 ? 1 1 (1 ? ). 2 1 ? e2

1 1 ? e2

????12 分

? 6 16 ? 6 16 1 1 1 2 2 e?? , ? 17, ? ? ? e ? ,? ? 1 ? e ? ,? 7 ? 17 17 7 1 ? e2 ? 7 17 ? 7
?8 ? 1 ? 1 ? 18,? 4 ? a 2 ? 9, 适合条件a 2 ? b 2 ? 1, 2 1? e
即长轴长的范围为 ? 4,6? ????14 分 ????15 分 ????16 分

由此得 2 ? a ? 3.

4 ? 2a ? 6


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