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2016届四川泸州市高三教学诊断性考试三数学(理)试题(解析版)


2016 届四川泸州市高三教学诊断性考试三数学(理)试题
一、选择题 1.设集合 M ? {x | x2 ? x ? 6 ? 0} , N ? {x | x ? 1 ? 0} ,则 M ? N ? ( A. (1,2) 【答案】B B. (1,3) C. (-1,2) D. (-1,3) )

【解析】 试题分析: 因 M ? {x | ?2 ? x ? 3}, N ? {x | x ? 1} ,故 M ? N ? {x |1 ? x ? 3} , 应选 B。 【考点】集合的交集运算。 2.若命题 ? : ?x0 ? R , x0 ? 2 ? lg x0 ,则 ? ? 是( A. ?x0 ? R , x0 ? 2 ? lg x0 B. ?x0 ? R , x0 ? 2 ? lg x0 C. ?x ? R , x ? 2 ? lg x D. ?x ? R , x ? 2 ? lg x 【答案】D 【解析】试题分析:因存在性命题的否定是全称命题,故应选 D。 【考点】含一个量词的命题的否定。 3.已知 cos 2? ? A. )

4 5

3 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值是( 5 3 4 3 B. C. ? D. ? 5 5 5
2



【答案】D
4 4 【解析】试题分析:因 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? ? cos 2? ? ? ,故应选 D。

2

3 5

【考点】三角变换及运用。 4.圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 0 的圆心到双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的渐近线的距离为( 3



A.1 【答案】A

B.2

C. 3

D. 2 3

【解析】试题分析:因双曲线的一条渐近线为 x ? 3 y ? 0 ,故圆心 C (2,0) 到这条直线 的距离 d ?

2 3 ?1

? 1 ,应选 A。

【考点】圆与双曲线的标准方程及运用。 5.执行如图所示的程序框图,若输入的 x, y ? R ,则输出 t 的最大值为( )

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A.1 B.2 【答案】C

C.3

D.0

?x ? 1 y ? 【解析】试题分析:因 几何意义是不等式组 ? y ? 2 表示区域内的动点 P( x, y) 与 x ?x ? y ? 4 ?
坐标原点 O 连线段的斜率。 故结合图形可以看出其最大值是 k OA ?

3?0 ? 3, 故应选 C。 1? 0

【考点】算法流程图及线性规划的知识的综合运用。 6.从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分,得到一个几何体,其三视图如右图,则该 几何体的体 积为( )

A.

2 3

B.

5 6

C.

1 2

D.

3 4

【答案】B 【解析】试题分析:从三视图所提供的图形信息和数据信息可知该几何体是正方体中去 掉一个角所剩余的部分。其体积为 V ? 1 ? 1 ? 1 ?

1 1 5 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ,应选 B。 3 2 6

【考点】三视图的识读和理解。 7.某学校一共排 7 节课(其中上午 4 节,下午 3 节) ,某教师某天高三年级 1 班和 2 班 各有一节课,但他要求不能连排 2 节课(其中上午第 4 节和下午第 1 节不算连排) ,那 么该教师这一天的课的所有可能的排法种数共有( ) A.16 B.15 C.32 D.30 【答案】C 【解析】试题分析:运用分类计数原理求解:若第一节排课,则有 5 种排课方式;若第 二节排课,则有 4 种排课方式; 若第三节排课,则有 3 种排课方式; 若第四节排课,则有 3 种排课方式;若第五节排课,则有1 种排课方式。由分类计数原理共有

2(5 ? 4 ? 3 ? 3 ? 1) ? 32 种排课方式.故应选 C。
【考点】两个计数原理及运用。

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8. 已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F , 准线为 l ,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的 一个交点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF |? ( A.3 【答案】A 【解析】 试题分析: 设 P(?2, t ), Q( x0 , y0 ), F (2,0) ,则 FP ? (?4,?t ), FQ ? ( x0 ? 2, y0 ) , 由题设可得 4( x0 ? 2) ? ?4 ,即 x0 ? 1 ,所以 | QF |? x0 ? 2 ? 3 ,应选 A。 【考点】抛物线的几何性质等有关知识的综合运用。 【易错点晴】抛物线是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内 容和考点。解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用抛物线的几何性质和题 设中的条件将问题转化为求点 Q( x0 , y0 ) 的问题。解答时充分运用题设条件 FP ? 4FQ 建立方程组,然后通过解方程组求得点 Q( x0 , y0 ) 的横坐标为 x0 ? 1 。再应用抛物线的 定义求得 | QF |? x0 ? 2 ? 3 。借助抛物线的定义进行转化是解答好本题的关键。 B.

??? ?
5 2

??? ?



C.

7 2

D.

3 2

??? ?

??? ?

E 是棱 BC 的中点, F 是侧面 BCC1B1 上的动 9.如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
点,且 A1F / / 平面 AD 1 所成角的正切值 t 构成的集合是 1 E ,则 A 1 F 与平面 BCC1B ( )

A. {t |

2 2 3 5 ?t ? } 5 3

B. {t | 2 ? t ? 2 3} C. {t |

2 5 ? t ? 2 3} 5

D. {t | 2 ? t ? 2 2}

【答案】D 【 解 析 】 试 题 分 析 : 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 第 3 页 共 17 页

1 A(1,0,0), D1 (0,0,1), E ( ,1,0), F (m,1, n) , 所 以 2 1 AD1 ? (?1,0,1), AE ? (? ,1,0), A1 F ? (m ? 1,1, n ? 1) , 设 平 面 AD1 E 的 法 向 量 为 2

?? x ? z ? 0 ? ? AD1 ? n ? 0 ? ,即 ? 1 ,令 x ? 2 ,则 n ? (2,1,2) , n ? ( x, y, z) ,则由题设 ? ? x ? y ? 0 ? n ? AE ? 0 ? ? ? 2
所 以 由 A1 F // 平 面 AD1 E , 则 n ? A1 F ? 0 , 即 2(m ? 1) ? 1 ? 2(n ? 1) ? 0 , 也 即

m?n ?

3 2 2 , 所 以 | A1 F |? (m ? 1) ? (n ? 1) ? 1 。 因 平 面 BCC1B1 的 法 向 量 为 2

n ? (0,1,0) , 故
sin ? ? n ? A1 F | n | ? | A1 F | ?

A1F

与 平 面

BCC1B1 所 成 角 ?
, 正

的 正 弦 值

1 (m ? 1) ? (n ? 1) 2 ? 1
2





t ? tan? ?

1 (m ? 1) 2 ? (n ? 1) 2

1 (0 ? m ? ) 2 5 2m 2 ? 3m ? 4

1





u ? 2m 2 ? 3m ?

5 1 1 , 则 u min ? , u max ? , 所 以 2 ? t a ?n? 2 2 , 即 4 8 2

2 ? t ? 2 2 ,所以应选 D。
z

D1

C1

A1

B1 F DO C E y

A x

B

【考点】空间向量的数量积及运用。

? x ? , x ? 0, ? ? ex x 10 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? , g ( x) ? ?4 ? a? 2x?1 ? a2 ? a ?1(a ? R) , 若 ? ln x , x ? 0 ? ? x
f ( g ( x) ) ? e 对 x ? R 恒成立(其中 e 是自然对数的底数) ,则 a 的取值范围是(
A. [?1, 0] 【答案】A B. (-1,0) C. [?2, 0] D. [ ? )

1 , 0] 2

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ex ? ex x x ?1 ? x ? 0 , 故 函 数 f ( x) 在 【 解 析 】 试 题 分 析 : 当 x ? 0 时 , f ( x) ? ? e2x e
/

(??,0) 上单调递减;当 x ? 0 时, f / ( x ) ?

1 ? ln x ,故当 0 ? x ? e 时, f / ( x) ? 0 ,函数 2 x

f ( x) 在 (0, e) 上单调递增;当 x ? e 时, f / ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (e,??) 上单调递减.
故在 (0,??) 上函数取最大值 f ( x) f max ( x ) ?

1 x ? e .而当 x ? 0 时,设 ? x ? e ,可得 e e

x ? ?1 , 故 不 等 式

f ( g ( x)) ? e 可 化 为 g ( x) ? ?1 , 即 不 等 式

? 4 x ? 2a ? 2 x ? a 2 ? a ? 0 在 (??, 0) 恒 成 立 , 令 t ? 2x ,t ? ( 0 , 1) ,也即不等式 ? t 2 ? 2at ? a 2 ? a ? 0 在 (0,1) 上恒成立。当对称轴 a ? 0 时 , 只需 a 2 ? a ? 0 ,即
? 1 ? a ? 0 时不等式恒成立;当 a ? 1 时,只需 ? 1 ? 2a ? a 2 ? a ? 0 ,但这不可能;当 0 ? a ? 1 时,则只需 ? a 2 ? 2a 2 ? a 2 ? a ? 0 ,这也不可能.所以综上实数 a 的取值范
围是 ? 1 ? a ? 0 ,应选 A。 【考点】导数和函数的图象及性质等有关知识的综合运用。 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试 的重要内容和考点。解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先运用求导法则对

? x ? , x ? 0, ? ? ex 函数 f ( x) ? ? 的分类求其导数,借助导数与函数的单调性的关系从细微的 ? ln x , x ? 0 ? ? x
角度研究函数的图象和性质.搞清函数的图象的大概形状,从而将不等式 f ( g ( x)) ? e 化 为 g ( x) ? ?1 , 再 借 助 函 数 的 f ( x) 的 图 象 , 将 问 题 进 一 步 转 化 为 几 不 等 式

? 4 x ? 2a ? 2 x ? a 2 ? a ? 0 在 (??,0] 恒成立问题,然后分类求出满足题设条件的实数

a 的取值范围,从而使得问题获解。

二、填空题 11.复数 z ? 【答案】 1 【解析】试题分析:因 z ?

2i ( i 是虚数单位)的虚部是_______。 1? i 2i 2i (1 ? i ) ? ? ?1 ? i ,故其虚部为1 ,应填1 。 1? i 2

【考点】复数的有关概念和运算。 12.在二项式 ( x ? ) 的展开式中,常数项的值是__________。 (用具体数字作答)
6

2 x

【答案】 ? 160

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【解析】试题分析:因 Tr ?1 ? C6 x
r

6?r

2 (? ) r ? C6r (?2) r x 6 ? 2 r ,令 6 ? 2r ? 0 得 r ? 3 , x

故常数项是 C6 (?2) ? ?8 ?
3 3

6?5? 4 ? ?160 ,应填 ? 160 。 3 ? 2 ?1

【考点】二项式定理及运用。 13.下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系。

若该港口的水深 y ( m) 和时刻 t (0 ? t ? 24)的关系可用函数 y ? A sin(?t ) ? h (其中

A ? 0 , ? ? 0 , h ? 0 )来近似描述,则该港口在 11:00 的水深为___________。 【答案】 4
【解析】试题分析:从数表可以看出最大值和最小值分别为 7,3 ,周期为 T ? 12 , 即

?A ? h ? 7 ?A ? 2 2? ? ? ? ,解之得 ? 且? ? ,所以 y ? 2 sin t ? 5 ,所以当 t ? 11 ? 12 6 6 ?? A ? h ? 3 ?h ? 5
时, y ? 2 sin

11? ? 5 ? 5 ? 1 ? 4 ,故应填 4 。 6

【考点】三角函数的图象和性质在实际生活中的运用。 【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的 重要内容和考点。 本题以三角函数的图象和性质为背景设置了一道求函数解析表达式为

y ? A sin(?t ) ? h 的实际应用问题。 解答本题时, 首先要求确定其中的未知参数 A, ? , h
的值,然后再求 t ? 11 时的函数值。体现了三角函数的图象和性质等有关知识的在实际 问题中的运用价值。解答过程中先求 A, ? , h 的值时,充分利用题设中提供的数表信息, 通过建立方程组,从而求出 A, ? , h 的值,进而使得问题获解。
2 2 14.若直线 ax ? y ? a ? 1 ? 0( a ? R) 与圆 x ? y ? 4 交于 A、B 两点(其中 O 为坐标

原点) ,则 AO?AB 的最小值为_________。 【答案】 4 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为 圆 心 O(0,0) 到 直 线 ax ? y ? a ? 1 ? 0(a ? R) 的 距 离 是

???? ??? ?

d?

| a ?1| a2 ?1
2







AO ? AB ? AO ? OA ? OB ? 4 ? 4 c

?A

1 ? 4 ? 4(2 c o ? O A 2
2

d2 ? 1) ? 8 ? o8 s? B ? O8 ? 2d 2 4
, 故

s





d2 ? (

| a ?1 | a2 ?1

)2 ?

(a ? 1) 2 a2 ?1





a ?1 ? t ? a ? t ?1

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1 1 2 2 t2 1 d ? 2 ? ,所以当 ? ? ,即 t ? ?2 时, 2 ? ? 1 取最小值为 t 2 t t t ? 2t ? 2 2 2 ? ?1 2 t t
2

???? ??? ? 1 2 , d max ? 2 ,所以 AO?AB 取最小值为 8 ? 4 ? 4 ,应填 4 。 2
【考点】直线与圆的位置关系及综合运用。 【易错点晴】直线和圆的位置关系是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重 要内容和考点。本题以两条平行直线与圆的位置关系为背景,设置了一道求圆方程中的 参数 a 的取值范围的问题。求解时充分借助题设条件“直线 ax ? y ? a ? 1 ? 0(a ? R) 与 圆 x2 ? y 2 ? 4 有两个不同的交点” ,然后依据弦心距与圆的半径弦长之间的数量关系求 出 AO ? AB ? AO ? OA? OB ? 8 ? 2d 2 ,再转化为 d 2 ? (
2

| a ?1 | a2 ?1

)2 ?

(a ? 1) 2 的最 a2 ?1

2 2 1 1 ? ? 1 的 最 小 值 问 题 . 最 后 通 过 求 得 当 ? ? , 即 t ? ?2 2 t t 2 t ???? ??? ? 2 2 1 2 时, 2 ? ? 1 取最小值为 , d max ? 2 ,求得 AO?AB 取最小值为 8 ? 4 ? 4 ,使得问题 t 2 t
大值,也就是求 简捷巧妙获解。 15.函数 f ( x ) 图像上不同两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 处的切线的斜率分别是 k A , kB ,

| AB | 为 A、B
两点间距离,定义 ? ( A, B) ?

| k A ? kB | 为曲线 f ( x ) 在点 A 与点 B 之间的“曲率” ,给 | AB |

出以下命题: ①存在这样的函数,该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数;
3 2 ② 函 数 f ( x) ? x ? x ? 1 图 像 上两 点 A 与 B 的 横 坐 标分 别为 1,2 , 则 “ 曲 率”

? ( A, B) ? 3 ;
2 ③ 函 数 f ( x)? a x ? b ( a ? 0, b ? 图 R ) 像 上 任 意 两 点 A、B 之 间 的 “ 曲 率 ”

? ( A, B) ? 2a ;
? ( A, B) ? 1 ④设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) 是曲线 f ( x) ? e 上不同两点, 且 x1 ? x2 ? 1 , 若 t?
x

恒成立,则实数 其中正确命题的序号为_____________(填上所有正确命题的序 t 的取值范围是 (??,1) 。 号)。 【答案】①③ 【解析】试题分析:因当 f ( x) ? 2 x 时, k A ? k B ? 2 ,曲率为 0 ,是常数,故①是正确

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的 时 ,









x1 ? 1, x2 ? 2
, 故

A(1,1), B(2,5), k A ? 3 ?12 ? 2 ?1 ? 1, k B ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ? 8

? ( A, B) ?

| k A ? kB | 7 ? ? 3 , 所 以 ② 是 错 误 的 ; 因 f / ( x) ? 2ax , 故 | AB | 17
, 所 以

A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )),k A ? 2ax1 , k B ? 2ax2

? ( A, B) ?

2a | x1 ? x 2 | 2a | k A ? kB | ? ? ? 2a , 故 ③ 2 2 2 | AB | | x1 ? x 2 | 1 ? a ( x1 ? x 2 ) 1 ? a ( x1 ? x 2 ) 2
成 立 ; 因





| AB |? 1 ? (e x1 ? e x2 ) 2 , k A ? e x1 , k B ? e x2

,



| e x1 ? e x2 | | k A ? kB | ? ? 1 , 所以 t ? 1 , 所以④是错误的 . 故应填① ? ( A, B) ? x1 x2 2 | AB | 1 ? (e ? e )
③。 【考点】函数的图象性质及导数等有关知识的综合运用。 【易错点晴】函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要 内容和考点。本题以定义新的概念“ ? ( A, B) ?

| k A ? kB | 为曲线 f ( x ) 在点 A 与点 B 之 | AB |

间的“曲率”为背景精心设置了一道选择填空形式的问题。重在考查推理判断的推理论 证能力,求解时要充分借助题设中新定义的新的信息,对所给的四个命题进行逐一检验 和推断,最后通过推理和判断得出命题①③是真命题,命题②④是假命题,从而获得本 题的正确答案为①③。 三、解答题 16.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 bn ? log 2

3 9 , S3 ? 。 2 2

6 a2 n ?1

,Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和, 求使 Tn ?

n ? 105 成立的 n 的值。 2

【答案】 (Ⅰ) an ?

3 1 n ?1 或 an ? 6 ? ( ? ) ; (Ⅱ) n ? 70 或 10 。 2 2

【解析】试题分析: (Ⅰ)借助题设条件运用等比数列的知识求解;(Ⅱ)借助题设条件 运用等差数列的知识求解。 试题解析: (Ⅰ)因为 a3 ?

3 9 9 3 , S 3 ? ,当 q ? 1 时, S3 ? 3a1 ? 3a3 ? ,则 an ? ; 2 2 2 2
2

当 q ? 1 时, a1q ?

3 a1 (1 ? q3 ) 9 1 , ? ,所以 a1 ? 6 , q ? ? , 2 2 1? q 2 3 1 n ?1 或 an ? 6 ? ( ? ) ; 2 2

综上可得:数列 {an } 的通项公式为 an ?

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(Ⅱ)当 an ?

3 6 2 时, bn ? log 2 ( ) ? log 2 (6 ? ) ? 2 , 2 a2 n?1 3

所以 Tn ? 2n ,

n n ? 105 ,得: 2n ? ? 105 , 2 2 所以 n ? 70 ; 1 n ?1 6 当 an ? 6 ? ( ? ) 时, bn ? log 2 ( ) ? log 2 ( 2 a2n?1
由 Tn ? 故数列 {bn } 为等差数列,所以 Tn ? n(n ? 1) 。

6 1 6 ? (? ) 2 n 2

) ? 2n ,

n n ? 105 ,得: n( n ? 1) ? ? 105 , 2 2 所以 n ? 10 ; 综上知, n ? 70 或 10。
由 Tn ? 【考点】等比数列等差数列等有关知识的综合运用。 17.若对 PM 2.5 采用如下标准:

某市环保局从 180 天的市区 PM 2.5 监测数据中, 随机抽取 10 天的数据作为样本, 检测 值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) 。 (Ⅰ) 从这 10 天的数据中任取 3 天的数据, 记 ? 表示空气质量达到一级的天数, 求? 的 分布列; (Ⅱ) 以这 10 天的 PM 2.5 日均值来估计这 180 天的空气质量情况, 其中大约有多少天 的空气质量达到一级? 【答案】 (Ⅰ)分布列见解析; (Ⅱ) 72 。 【解析】试题分析: (Ⅰ)借助题设条件排列组合数公式求解; (Ⅱ)借助题设条件运用 贝努力分布的公式求解。 试题解析: (Ⅰ) ? 的可能取值为 0,1,2,3,
0 3 C4 C6 1 则 P(? ? 0) ? ? , 3 C10 6 1 2 C4 C6 1 ? , 3 C10 2 2 1 C4 C6 3 ? , 3 C10 10

P(? ? 1) ?

P(? ? 2) ?

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P(? ? 3) ?

3 0 C4 C6 1 ? , 3 C10 30

所以, ? 的分布列为:

(Ⅱ)由已知可得总体容量 N ? 10 ,空气质量达到一级的天数 M ? 4 ,

2 , 5 2 所以 180 天中 PM 2.5 日均值空气质量达到一级的概率为 ; 5 2 设 ? 为 180 天中每天空气质量达到一级的天数,则? ? B (180, ) , 5 2 E? ? 180 ? ? 72 , 5
因为这 10 天中 PM 2.5 日均值空气质量达到一级的频率为 因此 180 天中空气质量达到一级的天数为 72 天。 【考点】随机变量的概率分布列和贝努力分布等有关知识的综合运用。 18. ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 3a ? 3c cos B ? b sin C 。 (Ⅰ)求 C 的值; (Ⅱ)若 D 是 AB 上的点,已知 cos ?BCD ? 【答案】(Ⅰ) C ?

13 ,a ? 2 ,b ? 3 ,求 sin ?BDC 的值。 14

?
3

;(Ⅱ)

3 21 。 14

【解析】试题分析: (Ⅰ)借助题设条件运用正弦定理及三角变换的公式求解; (Ⅱ)借 助题设条件运用余弦定理及三角变换公式求解。 试题解析: (Ⅰ)因为 3a ? 3c cos B ? b sin C , 所以 3sin A ? 3sin C cos B ? sin B sin C , 所以 3(sin B cos C ? cos B sin C) ? 3sin C cos B ? sin B sin C , 所以 3sin B cos C ? sin B sin C , 因为 sin B ? 0 , cos C ? 0 , 所以 tan C ? 3 , 因为 0 ? C ? ? , 即C ?

?
3


2 2 2

(Ⅱ)由余弦定理: AB ? (2) ? (3) ? 2 ? 2 ? 3 ?

1 ? 7 ,所以 AB ? 7 , 2

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因为 cos ?BCD ?

13 ? 3 3 且 0 ? BCD ? ,所以 sin ?BCD ? , 14 3 14

因为 cos ?ABC ?

3 21 (2)2 ? (3)2 ? ( 7)2 7 ,所以 sin ?ABC ? , ? 14 14 2? 2? 7

所以 sin ?BDC ? sin(? ? (?BCD ? ?CBD)

? sin(?BCD ? ?CBD)
? sin ?BCD cos ?CBD ? cos ?BCD sin ?CBD ?

3 3 7 13 3 21 3 21 。 ? ? ? ? 14 14 14 14 14

【考点】正弦定理余弦定理和三角变换等有关知识的综合运用。 19 .如下图,在空间多面体 ABCDE 中,四边形 ABCD 为直角梯形, AB / / DC ,

AD ? CD , ?ADE 是正三角形, CD ? DE ? 2 AB , CE ? 2CD 。

(Ⅰ)求证:平面 CDE ? 平面 ADE ; (Ⅱ)求二面角 C ? BE ? A 的余弦值。 【答案】 (Ⅰ)证明见解析; (Ⅱ) ?

6 。 4

【解析】试题分析: (Ⅰ)借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证; (Ⅱ)借助题设 条件运用二面角的定义进行转化为平面角或运用空间向量的数量积公式求解。 试题解析: 证明: (Ⅰ)因为 CD ? DE , CE ?
2 2 2 所以 CD ? DE ? CE ,

2CD ,

所以 CD ? DE , 因为 AD ? CD , 所以 CD ? 平面 ADE , 因为 CD ? 平面 CDE , 所以平面 ADE ? 平面 CDE ,

法一: (Ⅱ) 取 CE 中点 N , 连接 BN , 过 N 作 NP ? BE , 过 P 作 GP ? BE , 连接 NG , 所以 ?NPG 是二面角 C ? BE ? A 的平面角, 第 11 页 共 17 页

设 AB ? 1 , 在 ?ADE 中, AM ? 3 ,所以 BN ? 3 , 在 ?CDE 中, CE ? 2 2 ,所以 NE ? 2 , BE ? 5 , 因为 NE ? BN ? NP ? BE ,所以 NP ?

6 , 5

在 ?NEP 中,所以 PE ?

2 , 5

因为

1 PG AB ? ,所以 PG ? , PE AE 5

所以 EG ? 1 , 过 G 作 GR ? ME ,则 R 是 ME 中点,
2 2 2 2 所以 NG ? NM ? RM ? RG ? 1 ?

1 3 ? ? 2, 4 4

在 ?NPG 中, NG 2 ? NP2 ? PG 2 ? 2 NP ? PG ? cos ?NPG , 所以 cos ?NPG ? ?

6 6 ,即二面角 C ? BE ? A 的余弦值为 ? 。 4 4

法二: (Ⅱ)过 E 作 EF / / DC ,过 C 作 CF / / DE , CF ? EF ? F , 连接 CE , BF , DF ,则 CDEF 是正方形, 因为 EF / / DC ,所以 EF / / AB , 所以 BAEF 是梯形, 过 N 作 NO ? BE ,连接 FO , 因为 DF ? CE , BN ? 平面 CDEF , 所以 DF ? BE ,即 BE ? OF , 则 ?NOF 是二面角 C ? BE ? F 的平面角, 设 CD ? 2 ,则 NF ? 2 , 在 Rt ?BNE , BN ? 3 , NE ? 2 , 所以 NO ?

6 NF 15 , tan ?NOF ? , ? ON 3 5
6 , 4 6 。 4

所以 cos ?NOF ?

所以二面角 C ? BE ? A 的余弦值为 ?

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法三: (Ⅲ)过点 D 作 DF ? 平面 CDE ,由(Ⅰ)知:平面 ADE ? 平面 CDE ,所以 DF ? 平面 ADE , 以 D 为原点,分别以 DC、DE、DF 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,则

1 A ?C D , 因为 BA / / CD , 且B 所以 B(1,1, 3) , C (2,0,0) ,E(0, 2,0) ,A(0,1, 3) , 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?CE ? (?2, 2,0) , CB ? (?1,1, 3) , EA ? (0, ?1, 3) , BE ? (?1,1, ? 3) ,

?? ??? ? ?? ? CE ? 0 ?m? 设平面 BCE 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,则 ? ?? ??? , ? ? ?m?BE ? 0

?? ? ?2 x ? 2 y ? 0 ,取 m ? (1,1,0) , ?? ? ? x ? y ? 3z ? 0 ? 同理可得平面 BAE 的法向量 n ? (0, 3,1) ,

?? ? ?? ? m?n 3 6 所以 cos ? m, n ?? ?? ? ? , ? | m || n | 2 ?2 4
因为二面角 C ? BE ? A 是钝角,所以其余弦值是 ?

6 。 4

【考点】空间直线与平面的位置关系和空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用。 20.已知椭圆 C :

3 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 P (1, ) ,其离心率为 。 2 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设椭圆 C 的右顶点为 A , 直线 l 交 C 于两点 M 、N(异于点 A ) , 若 D 在 MN 上, 且 AD ? MN , | AD | ?| MD || ND | ,证明直线 l 过定点。
2

【答案】 (Ⅰ)

x2 y 2 ? ? 1; (Ⅱ)证明见解析。 4 3

【解析】试题分析: (Ⅰ)借助题设条件建立方程组求解; (Ⅱ)借助题设条件运用直线 第 13 页 共 17 页

与椭圆的位置关系建立方程求解推证。 试题解析:

?c 1 ?a ? 2 ? 9 ?1 (Ⅰ)由已知得 ? 2 ? 2 ? 1, : 4b ?a 2 ?a ? b 2 ? c 2 ? ?
解之得: a ? 2 , b ? 3 ,

x2 y 2 ? ? 1; 所以椭圆 C 的方程 4 3
(Ⅱ)因为 AD ? MN , | AD |2 ?| MD |? | ND | , 所以 Rt ?ADM ∽ Rt ?DNA , 所以 ?DNA ? ?MAD ,即 ?MAN ? 90 当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , 代入椭圆方程消去 y 整理得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , 因为直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M 、N ,
2 2 2 所以 ? ? (8km) ? 4(3 ? 4k ) ? (m ? 3) ? 0 ,即 4k ? m ? 3 ? 0 , (*) ,
2 2 ?

且 x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 12 x x ? , , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
?

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,因为 ?MAN ? 90 , 所以 AM ?AN ? 0 ,即: ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 , 所以

???? ? ????

4m2 ? 12 2 8km (k ? 1) ? (km ? 2)(? ) ? m2 ? 4 ? 0 , 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
2 2

整理得: 4k ? 16km ? 7m ? 0 ,

7m m 或 ? ,均满足 (*) , 2 2 7m 7m 2 2 ( x ? ) ,直线 l 过定点 ( , 0) ;当直线 l 的 当k ? ? 时,直线 l 的方程为 y ? ? 2 2 7 7
所以 k ? ? 斜率不存在时,也符合,

m 1 时,直线 l 的方程为 y ? ? m( x ? 2) ,直线 l 过定点 (2, 0) ,不合题意; 2 2 2 综上知,直线 l 过定点 ( , 0) 。 7
当k ? ? 第 14 页 共 17 页

【考点】直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用。 【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合性问题。解答本题的第一问

?c 1 ?a ? 2 ? 9 ?1 时 , 直 接 依 据 题 设 条 件 建 立 方 程 组 ? 2 ? 2 ? 1, 然 后 求 得 椭 圆 的 标 准 方 程 为 4b ?a 2 ?a ? b 2 ? c 2 ? ?

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1。 ? ? 1联 第二问的求解过程中, 先将直线 l : y ? kx ? m 与椭圆方程 4 3 4 3
2 立 方 程 组 , 消 去 变 量 y 求 得 (3? 4 k 2 )x2 ? 8 kmx? 4(m ? 3)? , 0再 利 用 题 设 条 件

???? ? ???? A D ? M N,| AD |2 ?| MD |? | ND | ,即 AM ?AN ? 0 ,求出 4k 2 ? 16km ? 7m2 ? 0 解得
k ?? 7m m 2 或 ? ,进而推证得直线 l : y ? kx ? m 过定点 ( , 0) 。从而使得问题获解。 2 2 7

21.已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) , (其中 a ? 0 , e 是自然对数的底数) 。 (Ⅰ)若关于 x 的方程 f ( x) ?

1 2 1 x ? x ? a 有唯一实根,求 (1 ? ln a)a 2 的值; 2 a

1 垂直,证明: ( Ⅱ ) 若 过 原 点 作 曲 线 y ? f ( x) 的 切 线 l 与 直 线 y ? ?e x ?

e ?1 e2 ? 1 ?a? ; e e
(Ⅲ)设 g ( x) ? f ( x ? 1) ? e ,当 x ? 0 时, g ( x) ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围。
x

【答案】 (Ⅰ)

1 ;(Ⅱ)证明见解析; (Ⅲ) (0, 2) 。 2

【解析】试题分析: (Ⅰ)借助题设条件运用导数的知识求解; (Ⅱ)借助题设条件运用 导数的知识推证; (Ⅲ)依据题设条件运用导数的知识求解。 试题解析: (Ⅰ)因为 f ( x) ?

1 2 1 1 1 x ? x ? a ,所以 ln x ? x 2 ? (a ? ) x ? 0 , 2 a 2 a

1 ( x ? a)( x ? ) 1 2 1 1 1 a , 设 h( x) ? ln x ? x ? (a ? ) x ,则 h' ( x) ? ? x ? ? a ? ? 2 a x a x 1 1 当 a ? 0 时, h( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减, a a 1 1 ? 1, 则 h( x) max ? h( ) ? ? ln a ? a 2a 2
因为方程 h( x) ? 0 有唯一根, 所以 x0 ?

1 1 1 ?1 ? 0 , ,且 h( x) max ? h( ) ? ? ln a ? a a 2a 2
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故 1 ? ln a ?

1 1 2 ,所以 (1 ? ln a ) a ? ; 2 2a 2

(Ⅱ)因为过原点所作曲线 y ? f ( x) 的切线 l 与直线 y ? ?ex ? 1 垂直,所以切线 l 的斜 率为 k ?

1 1 ,且方程为 y ? x 。 e e

设 l 与曲线 y ? f ( x) 的切点为 ( x1 , y1 ) ,

1 ? ' ? f ( x1 ) ? e ? 所以 ? y1 ? ln x1 ? a ( x1 ? 1) , ? 1 ? y1 ? x1 e ?
所以 a ?

1 1 1 1 ? ,且 ln x1 ? 1 ? ? ? 0 , x1 e x1 e

1 1 1 1 ? ,则 m' ( x) ? ? 2 ? ,所以 m( x) 在(0,1)上单调递减,在 x e x x 1 1 1 (1, ??) 上单调递增。若 x1 ? (0,1) ,因为 m( ) ? ?2 ? e ? ? 0 , m(1) ? ? ? 0 ,所 e e e 1 以 x1 ? ( ,1) , e
令 m( x) ? ln x ? 1 ? 而a ?

1 e ?1 e2 ? 1 1 1 ?a? 。 ? 在 x1 ? ( ,1) 上单调递减,所以 e e e x1 e

若 x1 ? (1, ??) ,因为 m( x) 在 (1, ??) 上单调递增,且 m(e) ? 0 ,则 x1 ? e , 所以 a ?

1 1 。 ? ? 0 (舍去) x1 e

e ?1 e2 ? 1 ?a? 综上可知, ; e e
x x ( Ⅲ ) 因 为 g ( x) ? f ( x ? 1) ? e ? ln( x ? 1) ? ax ? e , 所 以 g ( x) ?
'

1 ? a ? ex 。 x ?1

g " ( x) ? e x ?

1 e x ( x ? 1)2 ? 1 ? ? 0。 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2
' ' '

①当 0 ? a ? 2 时,因为 g ( x) 在 [0, ??] 上递增,所以 g ( x) ? g (0) ? 2 ? a ? 0 ,所以

g ( x) 在 [0, ??] 上递增, g ( x) ? g (0) ? 1 恒成立,符合题意。
' ' ② 当 a ? 2 时 , 因 为 g ( x) 在 [0, ??] 上 递 增 , 因 为 g ( 0 )? 2 ?a ?

,则存在 0

x0 ? ( 0 ,? ? ,使得 ) g ' ( x0 ) ? 0 。所以 g ( x) 在 (0, x0 ) 上递减,在 ( x0 , ??) 上递增,又

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x ? (0, x0 ) 时, g ( x) ? g (0) ? 1 ,所以 g ( x) ? 1 不恒成立,不合题意。综合可知,所求
实数 a 的取值范围是 (0, 2) 。 【考点】导数在研究函数的单调性和最值等方面的有关知识的综合运用。 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具。本题就是 以含参数 a 的函数解析式为背景, 考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的 综合运用和分析问题解决问题的能力。本题的第一问求解时借助方程有根,将问题转化

1 2 1 1 x ? (a ? ) x 有零点的问题,建立了含 a 的方程 1 ? ln a ? 2 , 2 a 2a 1 从 而 求 得 1 ? l na ? ;第二问中借助导数,运用导数的几何意义建立方程 2a 2
为函数 h( x) ? ln x ?

ln x1 ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? 0 ,然后构造函数 m( x) ? ln x ? 1 ? ? ,运用导数进行推证;第 x e x1 e

三问的求解中则借助导数与函数单调性的关系,运用分类整合的数学思想进行分类推 证,进而求得实数 a 的取值范围是 (0, 2) ,从而使得问题简捷巧妙获解。

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