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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第3章 第20讲 数列求和


1.已 知

1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? ? 2 n ? 1? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ? ? 2n

?

9 10



则 n的 值 为

9
n
2

解析:由已知得

n ? n ? 1?

?

9 10

, 解 得 n ? 9.

2 .数 列 ? a n ? 的 前 n 项 和 为 S n, 若 a n ? , n ? n ? 1? 4 则 S 4等 于 5
解 析 : 因 为 an ? (1 ? 1 2 )?( 1 2 ? 1 3 1 n ? n ? 1? 1 3 ? 1 4 ? 1 n 1 4 ? ? 1 n +1 1 5 , 所 以 S4 ? 1 5 ? 4 5

1

)?(

)?(

) ?1?

3.数 列 1, 2

1

, , , , 的 前 n项 和 为 3 4 5 ? 2 4 8 16

1

1

1

n ? n ? 1? 2

2

1
n ?1

+1

4.1+2×2+3×22+4×23+…+n×2n-1= (n-1)×2n+1 _________

5.若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),则 an=2n-11 此数列的通项公式为__________;数列{na }中数值
n

3 最小的项是第______项. 解析:当n=1时,a1=S1=-9; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-10n-[(n-1)2-10(n-1)]=2n-11, a1=-9也符合上式,an=2n-11(n∈N*). 由nan=2n2-11n=2(n11 2 ) -知, 4

当n=3时nan为数值最小的项.

用公式法求和
【例1】 已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2n· p +n· q(n∈N* ,p,q是常数),且x1 ,x4 ,

x5成等差数列.
(1)求p,q的值; (2)求数列{xn}的前n项和Sn.

【解析】(1)因为x1=3,xn=2n· p+n· q, 所以x4 =24· p+4q=16p+4q,x5 =25· p+5q=

32p+5q.
因为x1,x4,x5成等差数列,所以2x4=x1+x5, 即32p+8q=32p+5q+3,所以q=1. 又x1=2p+q=3,所以p=1.

? 2 ? 因 为 x n= 2
2 ?1 ? 2 ?
n

n

+ n,
2 3 n

所 以 S n= ( 2 + 2 + 2 + ? + 2 )+ (1 + 2 + 3 + ? + n ) = 1? 2 + n ? n ? 1? 2 =2
n+1

- 2+

n ? n ? 1? 2

本题考查等差、等比数列的基本 知识,主要考查运算能力和推理能

力.可以直接代入等差、等比数列前
n项和公式求和的前提是由已知条件 求得首项和公差或公比,因此,要求 不仅要牢记公式,还要计算准确无 误.第(2)问如果先写出x1=3,x2=6,

x3 =11,x4 =20,再来找规律较难,
用拆项分组求和则要好得多.

【变式练习1】

在等比数列{an}中,a2 +a5 =18,a3·4 a
=32,并且an+1<an(n∈N*). (1)求a2、a5以及数列{an}的通项公式; (2)设Tn=lga1+lga2+lga3+…+lgan, 求当Tn最大时,n的值.

【 解 析 】 1 ? 因 为 a 3 ? a 4= a 2 ? a 5, 所 以 由 已 知 ? ? a2 ? a5 ? 18 条件可得 ? , 并 且 a 5 ? a 2, ? a2 ? a5 ? 32 解 得 a 2=1 6 , a 5= 2 , 从 而 其 首 项 a 1 和 公 比 q ? a1 ? 3 2 ? a1 ? q ? 1 6 ? 满足: ? ? ? 1 . 4 ? a1 ? q ? 2 ?q ? ? 2 故 数 列 ? a n ? 的 通 项 公 式 为 a n= 3 2 ? ( ) 2 =2
6- n

1

n-1

( n ? N ).
*

? 2 ? 因 为 lg a n= lg 2

6- n

= (6 - n )lg 2 ( n ? N ),
*

数 列 ? lg a n ? 是 等 差 数 列 , 所 以 T n= 5 lg 2 + 4 lg 2 + 3 lg 2 + ? + (6 - n )lg 2 = [5 + 4 + 3 + 2 + ? + (6 - n )]lg 2 = n [5 ? ? 6 ? n ? ] 2 由于 1 2 Tn 最 大 , 所 以 , 当 T n 最 大 时 , n= 5 或 6. · 2 = (1 1 n- n ) lg
2

1 2

lg 2.
2

lg 2 ? 0, 当 且 仅 当 1 1 n- n 最 大 时 ,

裂项相消法求和
【 例 2】 已 知 数 列 ? a n ? 的 前 n 项 和 为 S n, S n= n .
2

?1 ? 求 证 : 数 列 ? a n ? 为 等 差 数 列 ; ?2?求 和 :
1 ? 1 a2a3 ?? ? 1 a n ?1a n ( n ? 2 ). a1 a 2

【解析】(1)证明:当n=1时,a1=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1.

显然a1=1满足an=2n-1,所以an+1-
an=2,

所以数列{an}为等差数列.

? 2 ?因 为
? 1 2 所以 ( 1

1 a n ?1 a n ?

= 1

1 ? 2 n ? 3 ?? 2 n ? 1 ? )( n ? 2 ), 1 a n ?1 a n

2n ? 3 1 a1 a 2 ?

2n ? 1 1

?L ?

a2 a3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( - )+ ( - )+ ? + ( ? ) 2 1 3 2 3 5 2 2n ? 3 2n ? 1 = n ?1 2n ? 1 .

本题主要考查 (1)Sn与an的递推关系; (2)裂项求和法.

【 变 式 练 习 2】 等 差 数 列 ? a n ? 各 项 均 为 正 整 数 , a 1= 3 , 其 前 n 项 和 为 S n, 等 比 数 列 ? b n ? 中 , b1=1 , 且 b 2 S 2= 6 4 , 数 列 ?b a n ? 是 公 比 为 6 4 的 等 比 数 列 .

? 1 ? 求 a n 与 b n;
1 1 1 3 ?? ? < . ?2?证 明 : ? S1 S2 Sn 4

【 解 析 】 1 ? 设 ? a n ? 的 公 差 为 d , b n ? 的 公 比 为 q, ? ? 则 d 为 正 整 数 , a n= 3 + ( n-1) d , b n= q
n-1

.

3? nd ? b a n ?1 q d 6 ? 3 ? ( n ? 1) d ? q ? 6 4 ? 2 ? 依 题 意 有 ? ban .?*?     q ? s b ? (6 ? d ) q ? 6 4 ? 2 2

由 (6 + d ) q= 6 4 知 q 为 正 有 理 数 , 故 d 为 6 的 因 子 1, 2, 3, 6 之 一 , 解 ? * ? 得 d = 2 , q= 8. 故 a n= 3 + 2 ( n-1)= 2 n+1 , b n= 8
n-1

.

? 2 ? 证 明 : 因 为 S n= 3 + 5 + ? + ( 2 n+1)= n ( n+ 2 ),
所以 1 1? 3 1 2 = 1 2 (1 + 1 S1 = ? ? 1 S2 1 2?4 1 3 1 2 ? + ? 1 3? 5 1 4 ? ?L ? 1 Sn +L + 1 3 1 n?2 1 5 )? 3 4 . 1 n? n ? 2 ? +?+ 1 n - 1 n?2 )



(1 -

1 2







1 n ?1

错位相减法求和
【例3】 求S=1+2x+3x2 +4x3 +…+(n+ 1)·n的值. x

【 解 析 】 1 ? 当 x= 0时 , S =1 ; ?

? 2 ? 当 x=1 时 , S =1 + 2 + 3 + ? + ( n+1)= ?3?当 x
? 0且 x ? 1 时 ,
2 3 n

? n ? 1 ?? n ? 2 ? 2



因 为 S =1 + 2 x+ 3 x + 4 x + ? + ( n+1) ? x , ① 所 以 xS = x+ 2 x + 3 x + ? + n ? x + ( n+1) ? x
2 3 n n+1

.②

由 ① - ② 得 (1 - x ) S =1 + x+ x + x + ? + x - ( n+1) ? x
2 3 n n+1



1? x

n ?1

1? x

- ( n+1) ? x 1? x
n ?1 2

n+1


n ?1

所 以 S=

?1 ? x ?



? n ? 1? ? x 1? x

通过观察,本题有如下特征:系数 成等差数列、字母成等比数列,即它是

由一个等差数列与一个等比数列对应项
相乘构成的数列,具备用错位相减法的 条件;同时本题也有陷阱:并没有确定 x是否为0或1,故容易贸然地用错位相 减法求解,而需先分类讨论.在求解过

程中还要注意,在等比数列求和时,项
数也容易搞错.

【变式练习3】

设{an}为等比数列,Tn=na1+(n-1)a2
+…+2an-1+an,已知T1=1,T2=4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{Tn}的通项公式.

【 解 析 】 1 ? 设 等 比 数 列 ? a n ? 的 公 比 为 q, ? a 1= T1=1 , a 2= T 2- 2 a 1= 2 , 所 以 q= a2 a1 = 2 , 所 以 a n= 2
n-1

.

? 2 ? 因 为 T n= n+ ( n-1 ? 2 + ( n- 2 ) ? 2 2+ ?
+2 ? 2
n- 2

+2

n-1

,①
2 3 n-1

所 以 2 T n= n ? 2 + ( n-1) ? 2 + ( n- 2 ) ? 2 + ? + 2 ? 2 由 ② - ① 得 T n= - n+ ( 2 + 2 + 2 + ? + 2 )
2 3 n

+ 2 .②

n

= - n+

2 ?1 ? 2 ?
n

1? 2

=2

n+1

- ( n+ 2 ).

分组分解法求和
【 例 4】 已 知 数 列 ? a n ? 的 前 n 项 和 S n= n ? 3n
2

.

2

?1 ? 求 数 列 ? a n ? 的 通 项 公 式 ;
?an ? ? 2 ? 若 数 列 ? c n ? 满 足 c n= ? n ?2 ? 求 数 列 ? c n ? 的 前 n项 和 Tn . ( n是 奇 数 ) ( n是 偶 数 ) ,

【 解 析 】 1 ? 因 为 S n= ? 所 以 a n= S n- S n - 1=

n ? 3n
2

, ? ( n ? 1) ? 3( n ? 1)
2

2 n ? 3n
2

2
*

2

= n+1( n ? 2 , n ? N ). 又 a 1= S 1= 2 适 合 上 式 , 所 以 a n= n+1( n ? N ).
*

? 2 ? 当 n为 奇 数 时 , n-1 为 偶 数 ,
T n= ( a 1+ a 3+ ? + a n )+ ( 2 + 2 + ? + 2
2 4 n ?1 n-1

)

= [ 2 + 4 + 6 + ? + ( n+1)]+

4 ?1 ? 4 1? 4

2

?

=( =

n ?1 2
2

? +1) ? 2 + ? 4 3

n ?1 2

? 1? ? 2

n ?1 2 ? 2+ 4 3 ( 2 -1)
n

n ? 4n ? 3 4

( 2 -1).

n

当 n为 偶 数 时 , T n= ( a 1+ a 3+ ? + a n - 1 )+ ( 2 + 2 + ? + 2 )
2 4 n n

= ( 2 + 4 + ? + n )+

4 ?1 ? 4 2 ? 1? 4

n n ? ? 1? 2 n 4 n n ? 2n 4 n = ? 2+ 2 2 2 + ( 2 -1)= ? ( 2 -1) 2 2 3 4 3

分组分解法是通过对数列通项结构 的分析研究,将数列分解为若干个能够 求和的新数列的和或差,从而求得原数 列和的一种求和方法.如本题将数列分 成奇数项的和与偶数项的和,分别应用 等差数列和等比数列的求和公式求解.

【变式练习4】 求值:Sn =1-2+3-4+…+ (-1)n+1· n.

【 解 析 】 当 n为 偶 数 时 , S n= (1 - 2 )+ (3 - 4 )+ ? + [( n-1)- n ]= - 当 n为 奇 数 时 , S n=1 + (- 2 + 3)+ (- 4 + 5)+ ? + [- ( n-1)+ n ] =1 + n ?1 2 = n ?1 2 n 2 ;

? n ? ? 2 ( n为 偶 数 ) ? 所 以 S n= ? ? n ? 1 (为 奇 数 ) ? 2 ?

1 .数 列 ? a n ? 的 前 n 项 和 S n= 2 -1, 则 a 1
n

2

4 _ 1)   ? a 2 ? L ? a n ? _ _ _ _3_(_ _-_ _ _ _ _ _ _
2 2

1

n

【 解 析 】 因 为 S n= 2 -1 , 所 以 a n= S n- S n - 1 =2 -2
2 n n-1

n

=2
2

n-1

, 所 以 a n= 4
2

2

n-1

.

所 以 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1+ 4+4 +?+4
2

n-1



1 3

( 4 -1).

n

2 .数 列 ? a n ? 的 通 项 公 式 为 a n=

1 n ? n ?1



120 若 其 前 n 项 的 和 为 10, 则 n的 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _
【 解 析 】 因 为 a n= 1 n ? n ?1 = n ? 1- n,

所 以 S n= a 1+ a 2+ ? + a n = ( 2-1)+ ( 3- 2 )+ ? + ( n ? 1- n ) = n ? 1-1 =10, 所 以 n=1 2 0 .

3.若 a n ? 2 n ? 1 , 设 b n ? 的 前 n 项 和 , 则 Tn ?
解析: 因 为 bn ? 1

1 a n a n ?1

, Tn 是 数 列 ?bn ?

  6n ? 9

n

? 2 n ? 1 ?? 2 n ? 3 ?

?

1

2 2n ? 1

(

1

?

1 2n ? 3

),

1 1 1 1 1 1 1 所 以 Tn ? ( ? ? ? ? ? ? ? )? 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 n ( ? )? . 2 3 2n ? 3 6n ? 9

4.求值:1002 -992 +982 -972 +… 5050 +22-12=___________
【解析】原式 = (10 0 - 9 9 )+ (9 8 - 9 7 )+ ? + ( 2 - 1 )
2 2 2 2 2 2

=10 0+ 9 9 + 9 8 + 9 7 + ? + 2 + 1 = 1 0 0 ? ?1 0 0 ? 1 ? 2 = 50 50 .

  正 项 等 比 数 列 ? a n ? 的 首 项 a1= 5.设
10 10

1 2

,前

n 项 和 为 S n, 且 2 S 3 0- ( 2 +1) S 2 0+ S 10= 0 .

?1 ? 求 数 列 ? a n ? 的 通 项 公 式 ; ? 2 ? 求 ? n S n ? 的 前 n 项 和 Tn .

【 解 析 】 1 ? 由 已 知 得 2 ( S 3 0- S 2 0 )= S 2 0- S 1 0, ?
10

即2

10

? q ( S 2 0- S 1 0 )= S 2 0- S 1 0 .
10 10

因 为 a n> 0, 所 以 S 2 0- S 1 0 ? 0, 所 以 2 所 以 q= 1 .从 而 a n= ( ) . 2 2 1 2 , 公 比 q= 1
n

? q =1,
10

? 2 ? 因 为 ? a n ? 是 首 项 a1=
1 故 S n= 2 1? (1 ? 1 2 1 2
n

1 2 n

的等比数列,

) =1 ?

1 2
n

, n S n= n-

2

n

.

则 数 列 ? n S n ?的 前 n项 和 T n= (1 + 2 + ? + n )- ( Tn 2 = 1 2 1 2 2 ? 1
2

2 2
2

?? ? 2 2
3

n 2
n

), n ?1 2
n

(1 + 2 + ? + n )- (

?

?? ?

? 2

n
n ?1

)

前两式相减,得 Tn 2 = 1 2 1 = n ? n ? 1? 4 n ? n ? 1? 2 - 2 1? + 2 ?1 ? 1 2 1 2 即 T n= 1
n ?1 n

(1 + 2 + ? + n )- ( ? ?

1 2

?

1 2
2

?? ?

1 2
n

)? 2

n
n ?1

n 2 n
n ?1



2

n

- 2.

本节内容是在等差数列、等比数列等特殊
数列求和的基础上,将两个(或几个)数列复合 而成的数列求和,主要从四个方面考查,一是 直接用等差、等比数列求和公式来求;二是拆 分成等差、等比数列或其他特殊数列来求;三

是倒序相加来求;四是两边乘以同一个数后,
用错位相减法来求.要求在熟记特殊数列求和 公式的基础上,观察数列的特征,选择恰当的

方法,有时还会要求分类讨论.

1.一个等差数列与一个等比数列对

应项相乘构成的数列一般用错位相减法
求和.其做法是:在等式两边同乘以等

比数列的公比,然后两式相减,右边中
间的(n-1)项变成等比数列,很容易求和, 同时注意第一个式子的首项和第二个式

子的末项的符号,最后将左边的系数除
到右边即可.

2.在求S=x+2x2+3x3+4x4+?+

(n+1)·xn+1这类问题时要注意:
(1)对x分类讨论; (2)项数是多少. 3.裂项相消法求和是先将通项(最 后一项)分裂成两项(或多项)的差,通过

相加过程中,中间的项相互抵消,最后
剩下有限项求和.

4.倒序相加求和法的依据是推 导等差数列前n项和的方法,即与首 末两项“等距离”的两项之和等于

首末两项的和(即a1 +an =a2 +an - 1
=…),可采用把正着写的式子与倒 过来写的两个式子相加,就得到一 个常数列的和.

5. 分 组 求 和 法 : 有 一 类 数 列 , 本 身 既不是等差数列,又不是等比数列,但若 适当拆分,可以分为几个等差、等比或常 见的数列,即先分别求和,再合并.形如: ① { a n+ b n }, 其 中 ? a n ? 是 等 差 数 列 ,b n ? 是 等 ? ? f ( n )( n ? 2 k ? 1) 比 数 列 ; ② a n= ? ? g ( n )( n ? 2 k )


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