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2011年高考题型专题冲刺精讲(数学)专题六:数列(学生版)


2011 年高考题型专题冲刺精讲(数学)专题六

数列

【命题特点】 数列是高考考查的重点和热点,分析 2010 年高考试题,从分值来看,数列部分约占总分的 10%左右。 等差数列、 等比数列的通项公式、 求和公式的应用以及等差、 等比数列的基本性质一直是高考的重点内容, 也会是今年高考的重点.对数列部分的考查一方面以小题考查数列的基本知识;另一方面以解答题形式考 查 等差、等比数列的概念、通项公式以及前 项和公式.解答题作为压轴题的可能性较大,与不等式、数 学归纳法、函数等一起综合考查学生运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证、运算等能力以及分析问 题、解决问题的能力. 近年来, 解析几何题一般不再作为压轴题, 而最后一道难度最大的压轴题可能是数列和不等式, 函数、 导数、不等式综合考查的题目,导数和向量已成为出题重点,探索性问题必将融入大题中。高考数列压轴 题综合考查等价变换、抽象概括、归纳推理、猜想证明等能力。立意新颖,是整份试卷中的“亮点”。 复习建议 1. “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要,但用“基本量法”并树立“目标 意识”“需要什么,就求什么” , ,既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题的目标,往往能取得与“巧 用性质”解题相同的效果。 2.归纳——猜想——证明体现由具体到抽象,由特殊到一般,由有限到无限的辩证思想.学习这部 分知识,对培养学生的逻辑思维能力,计算能力,熟悉归纳、演绎的论证方法,提高分析、综合、抽象、 概括等思维能力,都有重大意义。 3.解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分 析法,一般递推法,数列求和及求通项等方法来分析、解决问题。 4.数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分,先利用解析几何的知识 以及数形结合得到数列的通项公式,然后再利用数列知识和方法求解. 【试题常见设计形式】 有关数列题的命题趋: 1. 数列中 S n 与 a n 的关系一直是高考的热点,求数列的通项公式是最为常见的题目,要切实注意 S n 与 a n 的关系。从近两年各地高考试题来看,加大了对“递推公式”的考查。 2. 探索性问题在数列中考查较多,试题没有给出结论,需要考生猜出或自己找出结论,然后给以证 明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求。 3. 等差、等比数列的基本知识必考。这类考题既有选择题,填空题,又有解答题;有容易题、中等 题,也有难题。 4. 求和问题也是常见的试题,等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握, 还应该掌握一些特殊数列的求和。 5.有关数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何等问题既是考查的重点,也是考查的难点。 【突破方法技巧】 重点知识 1.使用等比数列的求和公式,要考虑公比 q ? 1 与 q ? 1 两种情况,切忌直接用 S n ?
? S 1 ( n ? 1)

a 1 (1 ? q )
n

1? q

2.利用 a n 与 S n 的关系: a n ? ?

? S n ? S n ?1 ( n ? 2 )

求解 a n ,注意对 首项的验证。

1 第页

3. 数列求解通项公式的方法: A.等差等比(求解连续项的差或商,比例出现字母的注意讨论) B. 利用 a n 与 S n 的关系: a n ? ?
? S 1 ( n ? 1)

? S n ? S n ?1 ( n ? 2 )

C.归纳-猜想-证明法 D.可以转化为等差和等比的数列(一般大多题有提示,会变成证明题) (1)
a n ?1 ? pa n ? q ;令 a n ? 1 ? ? ? p ( a n ? ? ) ;
n

(2) a n ?1 ? pa n ? q ; (3) a n ? 1 ? pa n ? f ( n ) ; (4) a n ? 2 ? p ? a n ? 1 ? q ? a n .

“ a n ?1 ? pa n ? q ” (两边除以 q )或“ a n ? 1 ? a n ? f ( n ) .
n

n

令 a n ? 2 ? ? ? a n ?1 ? ? ( a n ?1 ? ? ? a n )

E. 应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:① a n ? 1 ? a n ? f ( n ) ;② a n ? 1 ? a n f ( n ). F.对于分式 a n ? 1 ?
an ka n ? 1

,取倒数,数列的倒数有可能构成等差数列(对于分式形式的递推关系)

G.给定的 S n ? f ( a n ) ,形式的,可以结合 S n ? S n ?1 ? a n ,写成关于 a n , a n ?1 的关系式,也可以写成关于
S n , S n ? 1 的关系式,关键就是那个关系式比较容易的求解出结果来

4.数列求和 公式法;性质法;拆项分组法;裂项相消法;错位相减法;倒序相加法. 或转化为等差数列和等比数列利用公式求解;求解参数的式子中有 ( ? 1) 结构的,注意对 n 是偶数与奇
n

数的讨论,往往分开奇数与偶数,式子将会变的简单 5.不等式证明: (1)证明数列 a n ? ? m ,可以利用函数的单调性,或是放缩 (2) 证明连续和, 若是有 (
1 2n ? 1 ? 1 2n ? 1 1 2n ? 1
ln(1 ? n ) 形式的, , 2n ? 1 , 每一项放缩成可以裂项相削形式

1 2n

?

1 2n ? 1

) 或者 2 n ? 1 ?

2 n ? 1(

2n ? 1 ?

2n ) 或者是 ln(1 ? n ) ? ln n( ln(1 ? n ) ? ln( n ? 1) )

(注意证明式子与对应项的大小关系) ;或者是变形成等差或是等比数列求和 (3)证明连续积,若有
2n 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
1 2n ? 1

, 2 n ? 1 的形式,每一项适当的放缩,变形成迭乘相削形式,或者错位相
2n ? 1 2n ? 1





)或者

2n ? 1 2n





2 第页

(4)利用函数的单调性,函数赋 值的方 法构造 (5)最后就是:若是上述形式失败,用数学归纳法 (6)比较法 (7)放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式 (8)对于证明存在问题、唯一问题、大小问题等有时可以尝试反证法 数列问 题以其多变的形式和灵活的解题方法倍受高考考试命题者的青睐,历年来都是高考命题的“热 点”。对应试考生来说,数列既是重点,又是难点。近年来,高考中数列问题已逐步转向多元化,命题中 含有复合数列形式的屡见不鲜,从而,这类问题成为学生应试的新难点。本文试图探索这类问题的求解方 法和技巧。 1、通项探求型 该类题型一般转化为等差、等比数列或常见的简单的递推数列来实现求解,求解过程直 接化,求解技巧模式化。 2、大小比较型 比较两个数列的大小关系型问题,一般利用比差法和比商法来达到目的,借助于数的 正负性质来判断,从而获解。 3、两个数列的子数列性质型 探索两个数列公共项的有关性质,公共项构成的数列是两个数列的子数 列,所以,抓住它们的通项是解题的关键。 4、存在性探索型 该类问题一般是先设后证,然后反推探索,若满足题设则存在,若不合题意或矛盾, 则不存在,它是探索性命题中的一种极为典型的命题形式。 5、参数范围型 在复合数列问题中再引入参数,难度更大,探索参数的取值范围对考生来说是一个难点,这类问题主要是 建立目标函数或目标不等式,转化为求函数量值和求解不等式。 【典型例题分析】 数列的综合题难度都很大,甚至很多都是试卷的压轴题,它不仅考查函数与方程、转化与化归、分类 讨论等重要思想,还涉及了配方法、换元法、待定系数法、放缩法等基本数学方法.其中的高考热点—— 探索性问题也出现在近年高考的数列解答题中. 考点一:等差、等比数列的概念与性质
2 【例 1】已知数列 ?a n ? 的首项 a1 ? 2 a ? 1(a 是常数,且 a ? ? 1 ) a n ? 2 a n ?1 ? n ? 4 n ? 2 ( n ? 2 ) , ,

数列 ?b n ? 的首项 b1 ? a ,b n ? a n ? n ( n ? 2 ) (1)证明:?b n ? 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列; 。
2

(2)设 S n 为数列 ?b n ? 的前 n 项和,且 ?S n ? 是等比数列,求实数 a 的值; (3)当 a>0 时,求数列 ?a n ? 的 最 小项。
2 3 … (Ⅰ)求 ? a n ? 的通项公式; 【例 2】已知数列 ? a n ? 中 a 1 ? 2 , a n ? 1 ? ( 2 ? 1)( a n ? 2 ) , n ? 1,,, . (Ⅱ)

若数列 ? b n ? 中 b1 ? 2 , b n ? 1 ?

3bn ? 4 2 bn ? 3

23… 23… , n ? 1,,, ,证明: 2 ? b n ≤ a 4 n ? 3 , n ? 1,,, .

考点二:求数列的通项与求和 【例 3】2010 宁夏、设数列 ? a n ? 满足 a1 ? 2, a n ? 1 ? a n ? 3 ?2
b n ? n a n ,求数列的前 n 项和 S n
2 n ?1

(Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)令

3 第页

【例 4】2010 山东、已知等差数列 ? a n ? 满足: a 3 ? 7 , a 5 ? a 7 ? 2 6 , ? a n ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)求 a n 及 S n ; (Ⅱ)令 bn= 考点三:数列与不等式的联系 【例 5】2010 大纲全国 I、已知数列 ? a n ? 中, a1 ? 1, a n ? 1 ? c ? (Ⅱ)求使不等式 a n ? b n ? 的通项公式;
1 an

1 an ? 1
2

(n ? N ),求数列 ? b n ? 的前 n 项和 T n .
*

.(Ⅰ)设 c ?

5 2

, bn ?

1 an ? 2

,求数列

? a n ? 1 ? 3 成立的 c 的取值范围 .

【例 6】2010.重庆、 在数列 { a n } 中, a1 ? 1 , a n ? 1 ? ca n ? c
?

n ?1

( 2 n ? 1) ( n ? N ) ,其中实数 c ? 0 .

?

(Ⅰ)求 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)若对一切 k ? N 有 a 2 k ? a 2 k ?1 ,求 c 的取值范围. 考点四:数列与函数、向量等的联系 【例 7】 2010 湖南、 数列 ? a n ? ( n ? N ) 中,a 1 ? a ,a n ? 1 是函数 f n ( x ) ?
*

1 3

x ?
3

1 2

(3 a n ? n ) x ? 3 n a n x 的
2 2 2

极小值点.(Ⅰ)当 a=0 时,求通项 a n ; (Ⅱ)是否存在 a,使数列 ? a n ? 是等比数列?若存在,求 a 的取值 范围;若不存在,请说明理由. 【例 8】已知数列 ? a n ? 中, a1 ? 1 , n a n ? 1 ? 2 ( a1 ? a 2 ? ... ? a n ) ? n ? N (1)求 a 2 , a 3 , a 4 ; (2)求数列 ? a n ? 的通项 a n ; (3)设数列 {b n } 满足 b1 ?
1 2 , bn ?1 ? 1 ak b n ? b n ,求证: b n ? 1( n ? k )
2
*

?.
y

x
O

考点五:数列与解析几何的联系 【例 9】2010 安徽、设 C 1 , C 2 ,?, C n ,?是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半轴上,且
3 3

都与直线 y ?

x 相切,对每一个正整数 n ,圆 C n 都与圆 C n ? 1 相互外切,以 rn 表示 C n 的半径,已知 { rn }

为递增数列.(Ⅰ)证明: { rn } 为等比数列;

4 第页

(Ⅱ)设 r1 ? 1 ,求数列 {

n rn

} 的前 n 项和.

【例 10】2010 广东、已知曲线 C n : y ? nx , 点 Pn ( x n , y n )( x n ? 0 , y n ? 0 ) 是曲线 C n 上的点
2

( n ? 1, 2 , ? )(1)试写出曲线 C n 在点 Pn 处的切线 l n 的方程,并求出 l n 与 y 轴的交点 Q n 的坐标; . (2)若原点 O ( 0 , 0 ) 到 l n 的距离与线段 Pn Q n 的长度之比取得最大值,试求点 Pn 的坐标 ( x n , y n ) ; (3)设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数, x n 与 y n 是满足(2)中条件的点 Pn 的坐标. 证明: ? |
n ?1 s

( m ? 1) x n 2

?

( k ? 1) y n | ? |

ms ?

ks | ( s ? 1, 2, ? )

【突破训练】 1、重庆文、已知 ? a n ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, S n 为 ? a n ? 的前 n 项和.(Ⅰ)求通项 a n 及 S n ; (Ⅱ)设 ? b n ? a n ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ? b n ? 的通项公 式及其前 n 项和 T n . 2、全国 I 文、记等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,设 S 3 ? 1 2 ,且 2 a1 , a 2 , a 3 ? 1 成等比数列, 求 S n . 3、课标全国Ⅰ、设等差数列 ? a n ? 满足 a 3 ? 5 , a1 0 ? ? 9 。 (Ⅰ)求 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ? a n ? 的前
n 项和 S n 及使得 S n 最大的序号 n 的值。

4、北京文、已知 ? a n ? 为等差数列,且 a 3 ? ? 6 , a 6 ? 0 。 (Ⅰ)求 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 ? b n ? 满足 b1 ? ? 8 , b 2 ? a1 ? a 2 ? a 3 ,求 ? b n ? 的前 n 项和公式 5、山东文、 已知等差数列 ? a n ? 满足: a 3 ? 7 , a 5 ? a 7 ? 2 6 . ? a n ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)求 a n 及 S n ; (Ⅱ)令 b n ?
1 an ? 1
2

( n ? N ? ),求数列 ? b n ? 的前 n 项和 T n .

6、福建文、数列{ a n } 中 a =

1 3

,前 n 项和 S n 满足 S n ? 1 - S n = ?

?1? ? ?3?

n ?1

(n? N ) ( I ) 求数列{ a n }的
*

通项公式 a n 以及前 n 项和 S n ; (II)若 S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差 数列,求实数 t 的值。

5 第页

7、20 10 四川文、已知等差数列 { a n } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ? (4 ? a n ) q
n ?1

( q ? 0, n ? N ) ,求数列 {b n } 的前 n 项和 S n
*

8、2010 江西文、正实数数列 { a n } 中, a1 ? 1, a 2 ? 5 ,且 { a n2 } 成等差数列.(1) 证明数列 { a n } 中有无穷多项 为无理数;(2)当 n 为何值时, a n 为整数,并求出使 a n ? 2 0 0 的所有整数项的和. 9、2010 陕西、已知 求数列 的通项; 是公差不为零的等差数列, 求数列 的前 n 项和 成等比数列.

10、2010 湖北、已知数列 { a n } 满足:
2 2

a

1

?

1 2

,

3 ?1 ? a n ?1 ? 1 ? an

?

2 ?1 ? a n ? 1 ? a n ?1

, a n a n ? 1 ? 0 ;数列 {b n } 满

足: b n = a n ? 1 - a n (n≥1).(Ⅰ)求数列 { a n } , {b n } 的通项公式;(Ⅱ)证明:数列 {b n } 中的任意三项不可 能成等差数列. 11、2010 浙江文、设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数{an}的前 n 项和为 s n ,满足 s 5 ? s 6 +15 =0.(Ⅰ)若 S5=5.求 s 6 及 a1;(Ⅱ)求 d 的取值范围. 12、2010 陕西文、已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列.(Ⅰ)求数列{an} an 的通项;(Ⅱ)求数列{2 }的前 n 项和 Sn. 13、2010 上海市文、已知数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? n ? 5 a n ? 85 , n ? N (1)证明: ? a n ? 1? 是
*

等比数列;(2)求数列 ? S n ? 的通项公式,并求出使得 S n ? 1 ? S n 成立的最小正整数 n .
* 14、2010 天津文、在数列 ? a n ? 中, a 1 =0,且对任意 k ? N , a 2 k ?1 , a 2 k , a 2 k +1 成等差数列,其公差为 2k.

(Ⅰ)证明 a 4 , a 5 , a 6 成等比数列; (Ⅱ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅲ)记 T n ?
3 2 ? 2 n ? Tn ? ( n ? 2 ) 2 .

2

2

?

3

2

? ????

n

2

,证明

a2

a3

an

15、2010 江西、证明以下命题: (1)对任一正整数 a ,都存在正整数 b , c ( b ? c ) ,使得 a , b , c 成等差
2 2 2

数列; (2)存在无穷多个互不相似的三角形 ? n ,其边长 a n , b n , c n 为正整数且 a n , b n , c n 成等差数列.
2 2 2

6 第页

16、2010 天津、在数列 ? a n

? 中, a 1

? 0 ,且对任意 k ? N * k ? N , a 2 k ?1 , a 2 k , a 2 k ? 1 成等差数列,其公

差 为 d k 。 ( Ⅰ ) 若 d k =2k , 证 明 a 2 k ?1 , a 2 k , a 2 k ? 2 成 等 比 数 列 ( k ? N * ) ( Ⅱ ) 若 对 任 意 k ? N * , ;
? 1 ? a 2 k ?1 , a 2 k , a 2 k ? 2 成等比数列,其公比为 q k .(i)设 q 1 ? 1.证明 ? ? 是等差数列; (ii)若 a 2 ? 2 ,证 ? qk ? 1 ?



3 2

? 2n ?

n
? k ?2

k

2

? 2(n ? 2)

ak

7 第页


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