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江苏省盐城市龙冈中学2017届高三上学期入学考试数学(文)试题 Word版含答案


高三年级期初考试 数学试题(文)
命题人:潘诗明 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.设集合 U={x|x<5,x∈N*},M={x|x2-5x+6=0},则 CUM= .

2.若复数错误!未找到引用源。是实数(错误!未找到引用源。为虚数单位) ,则实数错 误!未找到引用源。的值是
2

/>.

3.函数 f ( x) ? 2cos x ? 1的最小正周期是
? 4.“ x ? ?? ”是“ x ?? ? ? ”成立的

条件. (填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充

要”、 “既不充分也不必要”)

? x ? y ?1 ? 5.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 3x ? y 的最小值为 ?2 x ? y ? 4 ?
6.函数 y ? sin x, x ? [ ,

.

? 2? ] 的值域为 6 3
.

7.不等式 log0.5 ( x ? 0.5) ? 1 的解集为 8.已知 f ( x) ? ?

?cos?x, x ? 0 4 ,则 f ( ) 的值为 3 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0




9.若抛物线错误!未找到引用源。的焦点与双曲线错误!未找到引用源。的右焦点重合, 则双曲线的离心率为

10.已知函数 f ( x) ? a log2 x ? b log3 x ? 2 ,若 f ( 11.在 ?ABC 中,已知 cos A ?

1 ) ? 4 ,则 f (2016) 的值为 2016
. .

.

4 1 , tan( A ? B) ? ? ,则 tan C 的值是 5 2

12.已知函数 y ? ln( x ? 1) ? 2 x ? 9 存在唯一零点 x0 ,则大于 x0 的最小整数为

f?(x)g(x)-f(x)g?(x)>0 , 13. 设 f(x), g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 当 x<0 时,
且 f(3)=0,则 f(x)g(x)<0 的解集是 14 . .

在Rt ?ABC中,CA ? CB ? 2, M , N是斜边AB上的两个动点,

???? ? ??? ? 且MN ? 2, 则CM ? CN
1

的取值范围为



二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.设命题 p:方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,命题 q:圆 x2 ? ( y ?1)2 ? 9 a?6 a?7

与圆( x ? a)2 ? ( y ? 1)2 ? 16相交
(1) 若“?p且q "为真命题 ,求实数 a 的取值范围; (2)若 ?p与?q 至少有一个为真命题,求实数 a 的取值范围。

16. a ? (sin? , cos? ),b ? (6 sin ? ? cos? ,7 sin ? ? 2 cos? ) ,设函数 f (? ) ? a ? b . (Ⅰ)求函数 f (? ) 的最大值;

?

?

? ?

C 的对边分别为 a 、 b、 (Ⅱ)在锐角三角形 ABC 中, 角 A、 c ,f ( A) ? 6 , 且 ?ABC B、
的面积为 3 , b ? c ? 2 ? 3 2 ,求 a 的值.

2

17.函数 f(x)=m+logax(a>0 且 a≠1)的图象过点(8,2)和(1,-1). (1)求函数 f(x)的解析式; (2)令 g(x)=2f(x)-f(x-1),求 g(x)的最小值及取得最小值时 x 的值.

18. 为了制作广告牌, 需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形, 已知铁片由两部分组成, 半径为 1 的半圆 O 及等腰直角三角形 EFH,其中 FE ? FH 。为裁剪出面积尽可能大 的梯形 铁片 ABCD(不计损耗) ,将点 A,B 放在弧 EF 上,点 C、D 放在斜边 EH 上,且

AD // BC // HF ,
设 ?AOE ? ? . (1)求梯形铁片 ABCD 的面积 S 关于 ? 的函数关系式;

E A D O C B

3

(2)试确定 ? 的值,使得梯形铁片 ABCD 的面积 S 最大,并求出最大值.

19.已知椭圆

x2 y 2 2 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 且过点 P( , ) , 记椭圆的左顶点为 A 。 2 a b 2 2 2
y P · A O x

(1)求椭圆的方程; (2)设垂直于 y 轴的直线 l 交椭圆于 B, C 两点, 试求 ?ABC 面 积的最大值; (3)过原点的直线 m 交椭圆于 D, E 两点, Q 为椭圆上任一点, 求证:直线 DQ 与直线 EQ 的斜率之积为定值。

4

2ax ? a 2 ? 1 20.已知函数 f ( x) ? ,其中 a ? R . x2 ?1
(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 f ( x) 在 [0,??) 上存在最大值和最小值,求 a 的取值范围.

5

高三年级期初考试 数学试题(文)参考答案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1、{1,4} 要 2、1 3、 ? 4、充分不必

5、

13 3

6、 ? ,1? 10、0 14、 ? , 2 ? 2

?1 ? ?2 ?

7、 ? 11、

?1 ? ,1? ?2 ?
11 2

3
8、 2 12、4

9、2 13、 (??, ?3) ? (0,3)

?3 ?

? ?

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15、解(1) ?3 5, ?6 ? ………………………………………………7 分

?

?

(2)

? ??, ?6? ? ? ?3

5, ?? ………………………………………………14 分

?

16、解 (Ⅰ) f (? ) ? a ? b ? sin ? (6 sin ? ? cos? ) ? cos? (7 sin ? ? 2 cos? )

? ?

? 6sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 8sin ? cos ? ? 4(1 ? cos 2? ) ? 4sin 2? ? 2
? 4 2 sin(2? ? ) ? 2 4

?

? f (? ) max ? 4 2 ? 2 ………………………………7 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f ( A) ? 4 2 sin(2 A ? 因为 0 ? A ?

?

? 2 ) ? 2 ? 6 , sin(2 A ? ) ? 4 4 2
? 3? ? ? ? , 2A ? ? , A ? 4 4 4 4

?
2

,所以 ?

?
4

? 2A ?

?
4

1 2 ? S?ABC ? bc sin A ? bc ? 3 ?bc ? 6 2 ,又 b ? c ? 2 ? 3 2 2 4
? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc ? 2 2

6

? (2 ? 3 2)2 ? 12 2 ? 2 ? 6 2 ?

2 ? 10 ? a ? 10 ……………………………14 分 2

?f? 8? ?m+loga8=2, =2, ? ? 17、解 (1)由? 得? ?f? 1? ?m+loga1=-1, =-1, ? ?

解得 m=-1,a=2, 故函数解析式为 f(x)=-1+log2x (2)g(x)=2f(x)-f(x-1) =2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)] x2 =log2 -1(x>1). x-1 ∵ 2 ?x-1?2+2?x-1?+1 x2 1 = =(x-1)+ +2≥ x-1 x-1 x-1 1 ?x-1? · +2=4. x-1 . ………………………6 分

1 当且仅当 x-1= ,即 x=2 时,等号成立.而函数 y=log2x 在(0,+∞)上单调递增, x-1 则 log2 x2 -1≥log24-1=1, x-1 . ………………………14 分

故当 x=2 时,函数 g(x)取得最小值 1

10 10 18、解析: (1)EH=cosθ,FH=sinθ 10 EF=sinθcosθ 10 3 ππ 由于BE=10tanθ≤10 3, AF=tanθ≤10 3 故 3 ≤tanθ≤ 3,θ∈[6,3] 10 10 10 ππ L=cosθ+sinθ+sinθcosθ,θ∈[6,3]. ………………………6 分 1 (2) sinθ+cosθ= 2时,sinθ?cosθ=2, L=20( 2+1); . ………………………10 分

10 10 10 sinθ+cosθ+1 (3)L=cosθ+sinθ+sinθcosθ=10( sinθcosθ ) t2-1 设sinθ+cosθ=t 则sinθ?cosθ= 2 ππ π 3+1 由于θ∈[6,3],所以t=sinθ+cosθ= 2sin(θ+4)∈[ 2 , 20 3+1 L=t-1在[ 2 , 2]内单调递减,
7

2]

3+1 π π 于是当t= 2 时,即θ=6,θ=3时L的最大值20( 3+1)米. π π 答:当 θ=6或 θ=3时所铺设的管道最短,为 20( 3+1)米. ………………………16 分

19、解: (1)椭圆 C 的方程为 x2 ? 2 y 2 ? 1 (2)设 B(m, n) , C (?m, n) ,则

……………………5 分

1 S ?ABC ? ? 2 | m | ? | n |?| m | ? | n | 2
又 1 ? m2 ? 2n2 ? 2 2m2n2 ? 2 2 | m | ? | n | , 所以 | m | ? | n |?

2 , 4

当且仅当 | m |?

2 | n | 时取等号,从而 S?ABC ?

2 2 , 即 ?ABC 面积的最大值为 4 4
…………1 1分

(3)设 D 坐标为(x0,y0) ,Q(x,y) ,则 E 点坐标为(-x0,-y0) ,
2 2 1 y1 ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 y 2 ? y0 KDQ· KEQ = = 2 = = ? 为定值 ? 2 2 2 2 y1 ? y0 x ? x0 x ? x0 (1 ? 2 y ) ? (1 ? 2 y0 )

…………16 分

20、 (1)

2x ? y ? 0

…………4 分

(2) f ' ( x) ?

? 2( x ? a)(ax ? 1) ( x 2 ? 1) 2

① a ? 0 时 f ( x) 在 (??,0) 上单调递减,在 (0,??) 上单调递增 ② a ? 0 时 f ( x) 的单调递增区间 (?? , ), ( ? a,?? ) 单调递减区间 ( , ? a )

1 a

1 a

8

③ a ? 0 时 f ( x) 的单调递增区间 ( ? a , ) 单调递减区间 (?? ,? a ), ( ,?? ) …………10 分 (3)①由(2) a ? 0 时不符合题意 ② a?0 时

1 a

1 a

f ( x) 在 (0,?a) 上 递 减 , 在 (?a,??) 上 递 增 , 则 当

x ? (0,??) f ( x) min ? f (?a) ? ?1
当 x ? ?a 时,

2ax ? a 2 ? 1 ? ?2a 2 ? a 2 ? 1 ? 0 , x 2 ? 1 ? 0 故 f ( x) ? 0
则 f (0) ? 0 解得 a ? ?1 ③ a ? 0 时 f ( x) 在 (0, ) 上递增,在 ( ,?? ) 上递减 则 f ( x ) max ? f ( ) ? a ? 0 且 x ?
2

1 a

1 a

1 a

1 时 f ( x) ? 0 a

则 f (0) ? 0 解得 0 ? a ? 1 综上 a ? ?1 或 0 ? a ? 1 …………16 分

9


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