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北师大版5.6 二元一次方程与一次函数 & 7 用二元一次方程组确定一次函数表达式


6 二元一次方程与一次函数 7 用二元一次方程组确定一次函数表达式

1.理解二元一次方程和一次函数的关系;掌握二元一次方 程组和对应的两条直线之间的关系;掌握二元一次方程组 的图象解法.

2.理解作函数图象的方法与代数方法各自的特点.掌握利
用二元一次方程组确定一次函数的表达式.进一步理解方 程与函数的联系.

r /> 前面我们学习了一次函数与二元一次方程的哪些内容?

A、二元一次方程(组)的概念及解法;
B、一次函数的概念; C、一次函数的图象; D、一次函数的表达式; E、一次函数的应用.

问题:
A、方程x+y=5的解有多少个?写出其中的五个. B、在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它

们在一次函数y=5-x上吗?
C、在一次函数y=5-x上任取一点,它的坐标适合方程x+ y=5吗? D、以方程 x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次 函数y=5-x的图象相同吗?

思考:
(1)由以上四个问题你能得到什么结论? (2)你能把上面的结论推广到一般吗?

结论:
以二元一次方程kx-y=-b(k≠0)的解为坐标的 点组成的图象与一次函数y=kx+b的图象相同.

问题:
1.在同一个直角坐标系内分别作出一次函数y=5-x和 y=2x-1的图象,这两个图象有交点吗?
? +y=5 x 的解有什么关系? 2.交点的坐标与方程组 ? ? ? -y=1 2x ?

结论:
每个二元一次方程组都对应两个一次函数(两条直线),从 “数”的角度看,解方程组就相当于考虑自变量为何值时 两个函数值相等,以及这个函数值是何值.从“形”的角度 看,解方程组就相当于确定两条直线的交点坐标,即两条直

线交点横、纵坐标就是二元一次方程组的解.

【例题】
? 【例1】用作图象的方法解方程组: x ? 2y=-2  ① ? ? 2x ? y =2 ②

(1)书写步骤;

A 二元一次方程化一次函数
B 作函数图象 C 找交点 D 方程组的解 (2)书写格式.

注 意

1 y 【解析】由①得: ? x ? 1, 2 取点(-2,0),(0,1)作出直线l
由②得:

1

. y
3
2 1 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3

l2

y ? 2 x ? 2.

取点(1,0),(0,-2),作出直线 l2
观察图象得出交点为P(2,2).

l1
x

【跟踪训练】
如图,直线 l1与l2 的交点坐标是____.

l2
3
2 1 -2 -1 0 -1 -2

y

l1

1

2

3

x

设直线l2为y ? k2 x ? b2 , 因为直线l2过点(?1, 0), (0, ?2), ??k2 ? b2 ? 0, 所以 ? ?b2 ? ?2. ?k2 ? ?2, 解得 ? ?b2 ? ?2. 所以直线l2的关系式为y ? ?2 x ? 2. 同理可求得l1的关系式为y=x+2. 4 ? x?? , ? ? y ? x ? 2, ? 3 联立 ? 解得 ? ? y ? ?2 x ? 2, ?y ? 2. ? 3 ? 4 2 所以直线l1与l2的交点坐标是(? , ). 3 3

l2
3 2 1 -2 -1 0 -1 -2

y

l1

1

2

3

x

答案:(? 4 , 2 )
3 3

【规律方法】
二元一次方程组与一次函数有何联系?

二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的
交点坐标;反之,两个一次函数图象的交点也是它们所 对应的二元一次方程组的解. 正因如此,方程问题可以通过函数知识来解决,反之, 函数问题也可以通过方程知识来解决. 二元一次方程组有哪些解法? 图象法 消元法 是一种代数方法

议一议
A,B 两地相距100 km,甲、乙两人骑自行车分别从A,B两

地相向而行.假设他们都保持匀速行驶,则他们各自到A地
的距离s(km)都是骑车时间t (h)的一次函数.1 h后乙距A地 80 km; 2小时后甲距A地30 km. 问:经过多长时间两人相遇 ? 直线型图表示
2时,30 km

甲 A

80 km

1时

B 乙

s/km
【解析】可以分别作出两人 120 100 (B) 80 60 40 20

图象表示

s 与t 之间的关系
图象,找出交点 小明

的横坐标就行了!
你明白他的想法吗? 用他的方法做一做!

(A) 0 1

2

3

4 t/h

【解析】1 小时后乙距A地80 km,即乙的速度是 20 km/h, 2 小时后甲距A 地 30 km, 故甲的速度是 15 km/h,由此可求出 小彬

甲、乙两人的速度和 ??
你明白他的想法吗? 用他的方法做一做!

设同时出发后 t 时相遇, 则
20 15 t ? 20 t ? 100 ?t= 7

【解析】对于乙,s 是t的一次函数,可设 s=kt+b. 当t=0时,s=100; 当t=1时,s=80.将它们分别代入s=kt+b中,可以求出 小颖

k,b的值,也即可以求出乙s与t 之间的函数表达式. 同样可求出甲s与t之间的函数表达式.
再联立这两个表达式,求解方程组就行了.

你明白他的想法吗?用他的方法做一做!
?s ? 15t 提示: ? ?s ? 100 ? 20t

消去 s

20 t? 7

在以上的解题过程中你受到什么启发?
用一元一次方程 的方法可以解决 问题 用方程组的方法可 以解决问题 用图象法 可以解决 问题

用作图象的方法可以直观地获得问题的结果,但有时
却难以准确,为了获得准确的结果,我们一般用代数方法.

小彬

小明

小颖

【例题】
【例2】某长途汽车客运站规定,乘客可以免费携带一定 质量的行李,但超过该质量则需购买行李票,且行李费y (元)是行李质量x(kg)的一次函数.现知李明带了60

kg的行李,交了行李费5元;张华带了90 kg的行李,交
了行李费10元. (1)写出y与x之间的函数表达式; (2)旅客最多可免费携带多少kg的行李?

【解析】(1)设此一次函数表达式为:y=kx+b
(k≠0) . 根据题意,可得方程组
?5 ? 60k ? b, ? ?10 ? 90k ? b.
1 ? ?k ? , 6 解得 ? ?b ? ?5. ?

1 所以y ? x ? 5. 6

(2)当x=30时,y=0.

所以旅客最多可免费携带30 kg的行李.

【跟踪训练】
1.某市自来水公司为鼓励居 民节约用水,采取按月用 水量分段收费办法,若某户 居民应交水费y(元)与用水 27 39 y(元)

量x(t)的函数关系如图所
示. O 15 20

x(t)

(1)分别写出当0≤x≤15和x>15时,y与x的函数关系式; (2)若某用户十月份用水量为10 t,则应交水费多少元?

若该用户十一月份交了51元的水费,则他该月用水多少
吨?

【解析】(1)当0≤x≤15时,设y=kx,根据题意,可得方 程27=15k,解得 k ? 9 . 5

9 所以y ? x ① 5
?27 ? 15m ? n, ? ?39 ? 20m ? n.

当x>15时,设y=mx+n,根据题意,可得方程组
12 ? ?m ? , 解得 ? 5 ? n ? ?9. ?

12 所以y= x ? 9 ② 5

(2)当x=10 时(10<15), 代入①中可得y=18; 当y=51 时(51>27), 代入②中可得x=25.

1.已知一次函数y=kx-5与y=3x+b的图象的 -9 交点为P(2,-3),则k=___,b=___. 1 2.已知一次函数y=2x+a与y=-x+b的图象都 经过点A(-2,0),且与y轴分别交于B,C两点,则 ΔABC的面积为( C ) .

A.4

B.5

C.6

D.7

6 8 ( , ) 5 5

3.求两条直线y=3x-2与

y=-2x+4和x轴所围成的三角
形的面积. 答案:

S ? 1 ? 2 ? 2 ? 8 ? 16 . 2 3 5 15

2 3

y 4.如图,两条直线

l2


l1与l2 的交点坐标可以
看作哪个方程组的解?
答案:
? ? ? ? ? ? ? ? ?

3 y ? ? x?3 2

l1

y ? 1 x ??1, 3 y ? 3 x ? 3. 2

1 x ?1 y?? 3
-3

0
-1

2

x

5.(镇江·中考)两直线 l1 : y ? 2 x ? 1, l 2 : y ? x ? 1 的交点坐标为( D )

A.(—2,3)
C.(—2,—3)

B.(2,—3)
D.(2,3)

6.(咸宁·中考)如图,直线l1:y=x+1与直 线l2:y=mx+n相交于点P( a,2),则关于x的 不等式x+1≥mx+n的解集为 答案: x≥1 7.(梧州·中考)直线y=2x+b与x轴的交点坐标是 (2,0),则关于x的方程2x+b=0的解是x=______ 答案:2 .

8.如图中的两直线l1,l2
的交点坐标可以看作方 程组
?x ? y ? 4 ? 2 x ? y ? ?1 ____________的解 ?

y 4 3 2
1 1

l1

l2

-1 0 -1

1

2

3

4 x

1.二元一次方程组除了可以利用代入法和加减法进行消元 求解外,还可以利用图象法得到它的近似解.

2.利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤: a.用含字母的系数设出一次函数的表达式 y ? kx ? b ( k ? 0 ) ; b.将已知条件代入上述表达式中得k,b的二元一次方程组; c.解这个二元一次方程组得k,b,进而得到一次函数的表达

式. 3.体现了数学的数形结合思想.

时间是个常数,但对勤奋者来说,是个“变

数”.用“分”来计算时间的人比用“小时”来
计算时间的人时间多59倍.

——雷巴柯夫


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