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1.1.1算法的概念


第一章
1.1

算法初步

算法与程序框图 算法的概念

1.1.1
教学目标 1、知识与技能

要求学生了解算法的含义,掌握算法的特点,写算法的基本要求 能够用自然语言描述一些具体问题的算法 2、过程与方法 通过具体实例让学生体会算法的书写要求, 以及算法特点, 体会算法能够解

决哪一类问题, 哪些问题不能用算法解决 3、情感、态度与价值观 引导学生自己写出问题的算法,能看懂一些简单算法解决哪一类问题 教学重点 算法的概念,用自然语言描述简单的算法 教学难点 写出一些简单问题的算法 教学过程 问题

? x ? y ? 35 你能写出求解二元一次方程组: ? ?2 x ? 4 y ? 94

(1) (2)

的步骤吗?

1.以上求解的步骤就是解二元一次方程组的算法. 2.本题的算法也适合一般的二元一次方程组的解法. 问题

?a x ? b1 y ? c1 写出求方程组 ? 1 ?a2 x ? b2 y ? c2

(1) (2)

? a1b2 ? a2 b1 ? 0 ? 的解的步骤.

师生活动:教师在提出问题后,可以让学生来说出其解题步骤. 第一步, (1) ? b2 ? (2) ? b1 ,得 (a1b2 ? a2b1 ) x ? b2 c1 ? b1c2 (3) . 第二步,解 (3) ,得 x ?

b2 c1 ? b1c2 . a1b2 ? a2 b1

第三步, (2) ? a1 ? (1) ? a2 得 (a1b2 ? a2b1 ) y ? a1c2 ? a2 c1 第四步,解 (4) ,得 y ?

(4) .

a1c2 ? a2 c1 . a1b2 ? a2 b1

b2 c1 ? b1c2 ? ?x ? a b ? a b ? 1 2 2 1 第五步,得到方程组的解为: ? . ? y ? a1c2 ? a2 c1 ? a1b2 ? a2 b1 ? 在完成求解一般的二元一次方程组步骤的基础上教师指出: 1.本题的步骤就是求一般的二元一次方程组的解的算法. 2.用事先编好的程序,让学生输入数据,计算机直接给出方程组的解.
1

分析归纳,得到算法概念 问题 到底什么是算法?如何表达算法的含义? 算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.现在,算法通常可以 编成计算机程序,让计算机执行并解决问题. 例 1.写出交换两个大小相同的杯子中的液体 (A 水、B 酒) 的一个算法. 例 2.写出求一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的一个算法. (五)算法的应用 问题 1 设计一个算法,判断 7 是否为质数. 1.什么是质数? 2.如何判断一个数是不是质数? 3.你在回答这个数是不是质数前,你在头脑中经历了怎样的思考、加工过程? 在学生回答这个问题的基础上,教师接着提出问题: 4.计算机如何判断整除呢?从而引导学生用规范的语言来表达算法. 5.能否设计一个算法,判断 35 是不是质数? 6.判断 7 是否是质数的算法和判断 35 是否是质数的算法有什么不同? 7.任意给定一个大于 2 的整数 n,能否设计一个算法对 n 是否为质数做出判断? 这时候学生知道要判断一个大于 2 的整数 n 是否为质数,只要根据质数的定义,用比这 个整数小的数去除 n,如果它只能被 1 和本身整除,而不能被其它整数整除,则这个数便是 质数. 有了前面的基础,这里学生多数可能回答用 2~(n-1)去除 n,于是将判断的过程表达 出来就形成了解决问题的这样一个算法: 第一步,给定大于 2 的整数 n. 第二步,用 2 去除 n,得到余数 t.若 t=0,则 2 能够整除 n, n 不是质数,算法结束;否则,进 入第三步. 第三步,用 3 去除 n,得到余数 t.若 t=0,则 3 能够整除 n, n 不是质数,算法结束;否则,进 入第四步. ?? 第(n-1)步,用(n-1)去除 n,得到余数 t.若 t=0,则(n-1)能够整除 n, n 不是质数,算 法结束;否则, n 是质数. 教师首先应该肯定学生的做法,但在学生回答的基础上向学生提出这里 从 2~(n-1)都在重复同一件事,像这种情况在设计算法时经常遇到,然后教会学生用递归语 言进行表达. 在完成上述算法表达的基础上教师指出: 1. 用自然语言描述一个算法,最便捷的方式就是按解决问题的步骤进行描述,每一步做一件事 情.这样描述的算法体现按部就班程序性的特点.对于在解决问题过程中反复进行的步骤,同 学们要学习用递归语言进行描述. 用递归语言进行描述时,通常分三个步骤:首先要给一个初 始值,接着表达重复做的事情,最后要进行终止判断. 2.教师用事先按照上述步骤编写的程序演示,判断学生说出的整数是否为质数. 问题 2.写出用 “二分法”求方程 x2 ? 2 ? 0( x ? 0) 的近似解的算法. 1.二分法求方程近似解是通过求对应函数的近似零点得到的,所以首先要建立函数,而 且要有具体精确度要求,因此第一步应该怎么做? 2.二分法分的是什么? 3.如何确定新区间的端点? 4.如何表达出反复二分区间的过程?(引导学生学习用递归语言表达) 第一步,令 f ? x ? ? x2 ? 2 .给定精确度 d . 第二步, 给定区间 ? a, b? ,满足 f (a) f (b) ? 0 .

2

第三步,取中间点 m ?

a?b . 2

第四步,若 f (a) f (m) ? 0 则含零点的区间为 ?a, m? ;否则含零点的区间为 ?m, b? .将新得到 的含零点的仍然记为 ? a, b? . 第五步, 判断 ? a, b? 的长度是否小于 d 或者 f ( m) 是否等于0.若是, 则 m 是方程的近似解; 否则,返回第三步. 在得到算法后, 教师可以带领学生看书,阅读课本第 4 页上有关内容.并说明按以上步骤, 我们将依次得到课本第 4 页的表 1-1 和图 1.1-1.于是,开区间(1.4140625,1.41796875) 中的实数都是满足假设条件的原方程是近似解. (六)归纳小结 问题 1:你能举出更多算法的例子吗? 问题 2:与一般解决问题的过程相比,你认为算法最重要的特征是什么? 算法具有程序性、有限性、构造性、精确性等特点. 问题 3 是不是所有的问题都可以编出算法? 不是,例如 1、判断一个函数的单调性 2、计算 1+2+3+4+5+6+7+8+9+?? 课后检测 第 1 题.任意给定一个大于 1 的正整数 n,设计一个算法求出 n 的所有因数. 第一步,给定一个大于 1 的整数 n. 第二步,令 i ? 1 . 第三步,用 i 去除 n ,得到余数为 t ,若 t ? 0 ,则 i 是 n 的一个因数输出 i ;否则,不输出 i . 第四步,给 i 增加 1 仍然用 i 表示. 第五步,判断是否成立,若是,则算法结束;否则,返回第三步. 第 2 题.写出解方程 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的两个不同的算法.. 算法 1: 第一步,移项,得: x2 ? 2 x ? 3 第二步,①式两边同加 1 并配方,得: ? x -1? ? 4
2

① ② ③

第三步,②式两边开方得: x ? 1 ? ?2 第四步,解③得: x ? 3 或 x ? ?1 . 算法 2:

第一步,计算方程的判别式并判断其符号, ? ? 22 ? 4 ? 3 ? 16 ? 0 . 第二步,将 a ? 1, b ? ?2, c ? ?3 代入求根公式 f ( x) ? x ? 2 ?1.得: x ? 3 或 x ? ?1 .

能力提升 1、在音乐唱片超市里,每张唱片售价 25 元,如果顾客购买 5 张以上(含 5 张)唱片,则按 九折收费;如果顾客购买 10 张以上(含 10 张)唱片,则按八五折收费.请设计一个完成 计费工作的算法. 2、已知函数 f ( x) ? x ? 2 ?1,设计一个算法求函数的任意值.

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