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高中数学复习专题讲座(第16讲)三角函数式在解三角形中的应用


题目 高中数学复习专题讲座 三角函数式在解三角形中的应用 高考要求 三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一, 本节主要帮助考 生深刻理解正、余弦定理,掌握解斜三角形的方法和技巧 重难点归纳 (1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形; (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化; (3)能熟练运用三角形基础知识,正、余弦定理及面积公式与三角函数 公式配合, 通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题, 注意隐含条件 的挖掘 典型题例示范讲解 例 1 在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶 P 北 设有一个观察站 P,上午 11 时,测得一轮船在岛北 B 30°东,俯角为 30°的 B 处,到 11 时 10 分又测得 C 该船在岛北 60°西、俯角为 60°的 C 处。 西 东 D (1)求船的航行速度是每小时多少千米; A (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向 的 D 处,问此时船距岛 A 有多远? 命题意图 本题主要考查三角形基础知识,以及学生的识图能力和综 合运用三角知识解决实际问题的能力 知识依托 主要利用三角形的三角关系,关键找准方位角,合理利用 边角关系 错解分析 考生对方位角识别不准,计算易出错 技巧与方法 主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决 问题
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(1)在 Rt△PAB 中,∠APB=60° PA=1,∴AB= 3 (千米)
3 3

在 Rt△PAC 中,∠APC=30°,∴AC= 在△ACB 中,∠CAB=30°+60°=90°
? BC ? 30 3 ? 1 6 AC
2

(千米)

? AB

2

?

(

3 3

) ? ( 3)
2

2

?

30 3

? 2 30 ( 千米 / 时 )

(2)∠DAC=90°-60°=30°

sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB=

AB BC

?

3 30 3

?

3 10

10

sinCDA=sin(∠ACB-30°)=sinACB·cos30°-cosACB·sin30° ?
3 2 1 2 3 10 ( 3 3 ? 1 ) 10 20
AD sin DCA ? AC sin CDA

3 10

10

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?

? 1? (

10 )

2

?

在△ACD 中,据正弦定理得
3 ?



3 10 10 ? 9? 13 3

∴ AD ?

AC ? sin DCA sin CDA

?

3 20

( 3 3 ? 1 ) 10



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此时船距岛 A 为

9? 13

3

千米

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例 2 已知△ABC 的三内角 A、B、C 满足 A+C=2B,设 x=cos f(x)=cosB(
1 cos A ? 1 cos C

A?C 2



)

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(1)试求函数 f(x)的解析式及其定义域; (2)判断其单调性,并加以证明; (3)求这个函数的值域 命题意图 本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力,并 且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力 知识依托 主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质 去解决问题 错解分析 考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点,并且不易 想到运用函数的单调性去求函数的值域问题 技巧与方法 本题的关键是运用三角函数的有关公式求出 f(x)的解析
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式,公式主要是和差化积和积化和差公式 范围 解
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在求定义域时要注意|

A?C 2

|的

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(1)∵A+C=2B,∴B=60°,A+C=120°

f (x) ?

1 co s A ? co s C 2 2 ? ? 2 co s A ? co s C co s( A ? C ) ? co s( A ? C )
? 2x 4x ? 3
2

2 co s

A?C

co s

A?C

? ?

x 1 2 ? 2x ?1
2

,

∵0°≤|

A?C 2

|<60°,∴x=cos
3 2

A?C 2

∈(
1 2

1 2

,1 ]
3 2

又 4x2-3≠0,∴x≠ (2)设 x1<x2, ∴f(x2)-f(x1)=
1
2 x2 4 x2 ? 3
2

,∴定义域为(



)∪(

3 2

,1]

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?

2 x1 4 x1 ? 3
2

=

2 ( x 1 ? x 2 )( 4 x 1 x 2 ? 3 ) ( 4 x 1 ? 3 )( 4 x 2 ? 3 )
2 2



若 x1,x2∈( ,
2

3 2

),则 4x12-3<0,4x22-3<0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,

∴f(x2)-f(x1)<0 即 f(x2)<f(x1),若 x1,x2∈(
3 2

,1] ,则 4x12-3>0

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4x22-3>0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0 即 f(x2)<f(x1),∴f(x)在( (3)由(2)知,f(x)<f(
1 2

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1 2

,
1 2 1 2

3 2

)和(

3 2

,1 ] 上都是减函数
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)=-

或 f(x)≥f(1)=2 )∪[2,+∞ )
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故 f(x)的值域为(-∞,-

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例 3 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 满足 A+C=2B
1 cos A ?
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1 cos C
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??

2 cos B

,求 cos

A?C 2

的值

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解法一 设α =

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由题设条件知 B=60°,A+C=120°
2

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A?C

,则 A-C=2α ,可得 A=60°+α ,C=60°-α ,
? 1 co s C ? 1 co s(6 0 ? ? ? ) ? 1 co s(6 0 ? ? ? )

所以

1 co s A

? 1 2
? co s ? 1 4 co s ? ?
2

1 co s ? ? 3 2
? sin ?
2

? sin ? 1 2
co s ? co s ? ?
2

1 co s ? ? 3 2
,

sin ?

3 4

3 4

依题设条件有

cos ? cos ? ?
2

3 4

?

?

2

,

cos B

? cos B ?

1 2

,?

cos ? cos ? ?
2

3 4

? ?2 2 .

整理得 4 2 cos2α +2cosα -3 2 =0(M) (2cosα - 2 )(2 2 cosα +3)=0,∵2 2 cosα +3≠0, ∴2cosα - 2 =0 解法二
? ?
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从而得 cos

A?C 2

?

2
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2

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由题设条件知 B=60°,A+C=120°
? ? 2 2 ,? 1 cos A ? 1 cos C ? ?2 2

2

cos 60 ?

①, ②,

把①式化为 cosA+cosC=-2 2 cosAcosC 利用和差化积及积化和差公式,②式可化为
2 cos A?C 2 cos A?C 2 ?? 1 2 2 [cos( A ? C ) ? cos( A ? C )]

③,
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将 cos
cos

A?C 2

=cos60°=
2 2 ?

,cos(A+C)=-

1 2

代入③式得

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A?C 2

?

2 cos( A ? C )


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将 cos(A-C)=2cos2( 4
2

A?C 2

)-1 代入 ④ )+2cos

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cos (
A?C 2

2

A?C 2

A?C 2

- 3

2

=0 , (*) ,

( 2 co s

? 2 2 )( 2 2 co s

A?C 2

? 3) ? 0,

? 2 2 co s

A?C 2

? 3 ? 0,? 2 co s

A?C 2

?

2 ? 0,

从 而 得 : co s

A?C 2
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?

2 2

.

学生巩固练习 1 给出四个命题 (1)若 sin2A=sin2B,则△ABC 为等腰三角形;(2) 若 sinA=cosB,则△ABC 为直角三角形;(3)若 sin2A+sin2B+sin2C<2,则△ ABC 为钝角三角形;(4)若 cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC 为正 三角形 以上正确命题的个数是( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2 在 △ ABC 中 , 已 知 A 、 B 、 C 成 等 差 数 列 , 则
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tan

A 2

? tan

C 2

?

3 tan

A 2

tan

C 2

的值为__________

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3 sinB=

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在△ABC 中,A 为最小角,C 为最大角,已知 cos(2A+C)=- ,则 cos2(B+C)=__________
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4 3



4 5

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4 已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4, 求四边形 ABCD 的面积 5 如右图, 在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯, 桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的 r h 夹角θ 的正弦成正比,角和这一点到光源的距离 r 的平方成
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反比,即 I=k·

sin ? r
2

,其中 k 是一个和灯光强度有关的常数,

? R

那么怎样选择电灯悬挂的高度 h,才能使桌子边缘处最亮? 6 在 △ ABC 中 , a 、 b 、 c 分 别 为 角 A 、 B 、 C 的 对 边 ,
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4 sin 2

B?C 2

? cos

2

A?

7
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2

(1)求角 A 的度数; (2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值 7
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在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,且 a、b、
?
2

3c 成等比数列,又∠A-∠C=
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,试求∠A、∠B、∠C 的值

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8 在正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时, 顶点 A 正好落在边 BC 上, 在这种情况下, 若要使 AD 最小, 求 AD∶AB 的值
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参考答案 1 解析 其中(3)(4)正确 答案 B 2 解析 ∵A+B+C=π ,A+C=2B,
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?A?C ? 故 tan A 2

2? 3

, tan( C 2 ?

A?C 2 3 tan

)? A 2

3 , tan tan C 2 ?

A 2

? tan 3.

C 2

?

3 (1 ? tan

A 2

tan

C 2

)

? tan

答案 3
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3
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解析

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∵A 为最小角∴2A+C=A+A+C<A+B+C=180°
4 5

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∵cos(2A+C)=-

,∴sin(2A+C)=

3
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5 4
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∵C 为最大角,∴B 为锐角,又 sinB= 即 sin(A+C)=
4 5

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故 cosB=

3
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5

5

,cos(A+C)=-

3
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5

∵cos(B+C)=-cosA=-cos[(2A+C)-(A+C)]=- ∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)-1= 答案 4
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24 25



527
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如图

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连结 BD,则有四边形 ABCD 的面积
1 2

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A

S=S△ABD+S△CDB=

·AB·ADsinA+

1 2

·BC·CD·sinC
B O C D

∵A+C=180°,∴sinA=sinC 故 S=
1 2

(AB· AD+BC· CD)sinA=

1 2

(2×4+6×4)sinA=16sinA

由余弦定理, 在△ABD 中, 2=AB2+AD2-2AB· BD AD· cosA=20-16cosA 在△CDB 中,BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cosC=52-48cosC ∴20-16cosA=52-48cosC,∵cosC=-cosA, ∴64cosA=-32,cosA=-
1 2



又 0°<A<180°,∴A=120°故 S=16sin120°=8 3 5
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R=rcosθ ,由此得

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1 r

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?

cos ? R

,0 ? ? ?

? 2



I ? k?

sin ? r
2

? k?

sin ? ? co s ?
2

R
2 2

2

?

k R
2

? (sin ? ? co s ? )
2

2I

2

?(

k R
2

) ? 2 sin ? ? (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) ? (
2 2

2 3 2 ) ?( ) R 3
2

k

由此得I ?

k R
2

?

2 9

3 , 等 号 在 sin ? ?
? cos 2 A ?
2

3 3

时 成 立 , 此 时 h ? R tan ? ?

2 2

R

6 . 解 : (1 )由 4 sin

2

B?C 2

7 2

及 A ? B ? C ? 180 ? , 得 :
2

2 [1 ? cos( B ? C )] ? 2 cos 即 4 cos
2

A?1?

7 2

, 4 (1 ? cos A ) ? 4 cos 1 2 ,

A?5

A ? 4 cos A ? 1 ? 0 ,? cos A ?

? 0 ? ? A ? 180 ? ,? A ? 60 ? ( 2 )由余弦定理得 ? cos A ? 将a ? 1 2
2

: cos A ?
2 2

b ?c ?a
2 2

2

2 bc ? b ?c ?a 2 bc ? 1 2 ?b ? c ? 3 ?b ? 1 ?b ? 2 : bc ? 2 由 ? 得 :? 或? . ? bc ? 2 ?c ? 2 ?c ? 1
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? (b ? c ) ? a
2

2

? 3 bc .

3 , b ? c ? 3 代入上式得
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7

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由 a、b、3c 成等比数列,得
1 2

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b2=3ac

∴sin2B=3sinC·sinA=3(- ∵B=π -(A+C)
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)[cos(A+C)-cos(A-C)]
3 2

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∴sin2(A+C)=-
3 2

[cos(A+C)-cos
1

? 2
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即 1-cos2(A+C)=-

cos(A+C),解得 cos(A+C)=-
2 3

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2

∵0<A+C<π ,∴A+C=
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π

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又 A-C=

? 2

∴A=

7 12

π ,B=

? 3

,C=

?
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12

8 解 按题意,设折叠后 A 点落在边 BC 上改称 P 点,显然 A、P 两点关 于折线 DE 对称,又设∠BAP=θ ,∴∠DPA=θ ,∠BDP=2θ , 再设 AB=a,AD=x,∴DP=x 在△ABC 中, ∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ ,?
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由正弦定理知

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BP sin BAP

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?

AB
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∴BP=

a sin ? sin( 120 ? ? ? )

sin APB

在△PBD 中,

DP sin DBP
?x ?

?

BP sin BDP

, 所以 BP ?

x ? sin ? sin 60 ?

, 从而

a sin ? sin( 120 ? ? ? )

?

x sin 2? sin 60 ?

,

a sin ? ? sin 60 ? sin 2? ? sin( 120 ? ? ? )

?

3a 2 sin( 60 ? ? 2? ) ? 3

.

∵0°≤θ ≤60°,∴60°≤60°+2θ ≤180°, ∴当 60°+2θ =90°,即θ =15°时, sin(60°+2θ )=1,此时 x 取得最小值
3a 2? 3 ? ( 2 3 ? 3 ) a,即 AD 最小,

∴AD∶DB=2 3 -3

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课前后备注

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