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双曲线的参数方程


二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程

例1:以原点为圆心, 分别以 a, b (a > 0,b > 0) 为半 径作两个圆, 设A为圆C1上任意一点,作直线OA, 过点A作圆C1切线AA1与x轴交于点A1,过圆C2与x轴 的交点B作圆C2的切线BB1与直线OA交于点B1。过点 A1,B1分别作y轴,x轴的平行线A1M,B1M交于点M。 求点M的轨迹参数方程。 B1 (b, y ) M ( x, y )

y
?

A (a cos? , a sin ? )

O (0,0)

B (b,0)

A1 ( x,0)

x

一、双曲线的参数方程
1. 焦点在x轴上,中心在原点

3? ? ? ?0,2? ?, 且? ? ,? ? 2 2 思考:这里 ? 的几何意义是什么?
参数 是点M所对应的圆的半径OA的旋 转角,而不是OM的旋转角,我们称这个 角为点M的离心角

? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ?
?

?

2. 焦点在y轴上,中心在原点

思考: sec?与 tan?之间有什么关系?

3? ? ? ?0,2? ?, 且? ? ,? ? 2 2

? x ? b tan ? (?为参数) ? ? y ? a sec ?
?

sec ? ? tan ? ? 1
2 2

课堂练习:
1、求双曲线 { x ? 2 3 sec? y ? 4 3 tan?

的两个焦点坐标。

(?2 15,0)

x ? 3sec ? 2、双曲线{ (?为参数)的渐近线方程为 __ y ? tan ?

1 y?? x 3

例 1 :已知圆C:x ? ( y ? 2) ? 1上一点 2 2 P与双曲线x ? y ? 1上一点Q,求P、Q 两点距离的最小值。
2 2

解:设双曲线上点的坐标为Q (sec? , tan ? ) 先求圆心到双曲线上点的最小距离 OQ ? sec ? ? (tan ? ? 2)
2 2 2 2 2 2

? tan ? ? 1 ? tan ? ? 4 tan ? ? 4 ? 2(tan ? ? 1) ? 3 ? 5? ?当 tan ? ? 1, 即? ? 或 时, OQ min ? 3 4 4 ? PQ min ? 3 ? 1

x y 例2.如图, 设 M 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) a b
上任意一点, O为原点,过点 M 作双曲线两渐近 探求平行四边形 MAOB 的面积, 由此可以发现

2

2

线的平行线,分别与两渐近线交于 A , B 两点. 什么结论?

ab S? 2

由此可见,平行四边形MAOB的面积恒为定值, 与点M在双曲线上的位置无关。


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