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当心均值不等式中的陷阱


当心均值不等式中的陷阱
高明区纪念中学 陈丽华

著名的平均值不等式 " 若a1 , a 2 , K a n ∈ R + , 则

a1 + a 2 + K + a n n ≥ a1a 2 K a n , n

仅当 a1 = a 2 = K = a n (n ≥ 2, n ∈ N ) 时等号成立”是一个应用广泛的不等式,许多 外形与它截然相异的函数式, 常常也能利用它巧妙地求出最值。 均值不等式是 “不 等式”这一章中的重要内容,也是历年高考重点考查的知识点之一,它的应用范 围几乎涉及高中数学的所有章节, 可以运用它来求解某些最值问题或取值范围问 题,且常考常新。在应用均值不等式时,必须注意两个条件,一是“正数” ,二 是“定值” ,三是能使等号成立的条件,即能解出取等号时字母的值。我们一般 把这三个条件归纳为“一正、二定、三有解” 。然而,不少学生在应用这一知识时 存在两个问题:一是忽视不等式成立的条件;二是不考虑实际情况如何,只会机 械地套用而不会创造性变通使用。下面举一些例子来具体分析一下。

忽视不等式成立的条件, 忽视“正数 正数”的条件 一、 忽视不等式成立的条件,即忽视 正数 的条件
例 1 、求 y=3tanx+cotx 的最值。 错解
Q y = 3tanx + cotx ≥ 2 3tanx ? cotx = 2 3 ,

当且仅当 3tanx=cotx 即 cot x = ± 3 时,y 有最小值 2 3 。 剖析 为正。 正解 (1) 当 tanx>0,cotx>0 时, ∴ y = 3tanx + cotx ≥ 2 3tanx ? cotx = 2 3 当且仅当 3tanx=cotx 即 cot x = 3 时,y 有最小值 2 3 。 这里错误在于用均值不等式时,忽略了等号的成立的条件是 tanx、 cotx

(2) 当 tanx<0,cotx<0 时, -tanx>0,-cotx>0
∴ y = 3tanx + cotx = ? (?3tanx ? cotx) ≤ ?2 3tanx? cotx = ?2 3 当且仅当 3tanx=cotx 即 cot x = ? 3 时,y 有最大值-2 3 。

定值”的条件 二、忽视“定值 的条件 忽视 定值

例 2、函数 y = 4 x 2 + 误解

1 ( x ∈ R + ) 的最小值 2x

∵x>0,∴ y = 4 x 2 + 当且仅当 4 x 2 =

1 1 ≥ 2 4x 2 ? = 2 2x 2x 2x

1 1 , 即x = 时, y ≥ 2 2x 2

剖析

在均值不等式 a + b ≥ 2 ab (a、b ∈ R + ) 中,要使 a+b 取得最小值,这
ab 必须是定值,这里就忽略了 2 2 x 并不是定值这一事实,从而造成 错误。

正解

∵x>0,∴ y = 4 x 2 +

1 1 1 1 1 3 = 4x2 + + ≥ 33 4 x 2 ? ? = 32 2x 4x 4x 4x 4x 2

当且仅当 4 x 2 =

3 1 4 3 即x = 时,y 有最小值 3 2 4x 4 2

三、忽略“=”号成立的可能性 忽略“
1、没有注意自变量是否存在. 例 3、求函数 y = ? 错 2 ? sin 2 x ( x ≠ kπ , k ∈ Z ) 的最大值。 sin 2 x 解 : 由

y=?
剖析

2 2 ? sin 2 x ≤ ?2 ? sin 2 x = ?2 2 , 可得y的最大值为 ? 2 2 。 2 sin x sin 2 x
根据均值不等式的条件,当且仅当 2 = sin 2 x ,即 sin 4 x = 2 时等 2 sin x

号成立,由正弦函 数 的性质可知, ? 1 ≤ sin x ≤ 1 ,所以 sin 4 x ≤ 1 ,因此
sin 4 x = 2 不可能成立,故 ? 2 2 不是 y 的最大值。

正解

y=?

2 1 1 ? sin 2 x = ?( 2 + sin 2 x + ) 2 sin x sin x sin 2 x

Q

1 > 0, sin 2 x > 0 2 sin x



1 1 + sin 2 x ≥ 2 ? sin 2 x = 2 2 2 sin x sin x

又 Q 0 < sin 2 x ≤ 1 ∴ 1 ≥1 sin 2 x

∴ y = ?(

1 1 ) ≤ ?(2 + 1) = ?3 + sin 2 x + 2 sin x sin 2 x 1 当且仅当 2 = sin 2 x,即 sin x = ±1时等号成立,故y得最大值为 ? 3 sin x

2、与已知条件相矛盾 、 例 4、设 a, b, c ∈ R + 且 a+b+c=1,求 4a + 1 + 4b + 1 + 4c + 1 的取值范围。 错解:Q a, b, c ∈ R + 且 a+b+c=1
∴ 4a + 1 ≤ 1 + 4a + 1 = 2a + 1 2 1 + 4b + 1 4b + 1 ≤ = 2b + 1 2 1 + 4c + 1 4c + 1 ≤ = 2c + 1 2

∴ 4a + 1 + 4b + 1 + 4c + 1 ≤ 2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1 = 2(a + b + c) + 3 = 5

因此 4a + 1 + 4b + 1 + 4c + 1 的的取值范围是 [5,+∞ ) 。 剖析 根据均值不等式的条件,不等式 4a + 1 + 4b + 1 + 4c + 1 ≤ 5 中,当且仅

当 a=0 且 b=0 且 c=0 时 等 号 成 立 , 而 这 与 条 件 a+b+c=1 相 矛 盾 , 故
4a + 1 + 4b + 1 + 4c + 1 的取值范围是 (5,+∞ ) 。

因此,同学们想要熟练掌握和正确运用均值不等式,必需要重视运用过程中 的三个条件“一正、二定、三有解”, 若不具备这三个条件,则需作适当的变形, 以满足上述前提,减少错误发生的可能性,切忌盲目死套公式,应该要多动脑思考, 注意灵活变通,这样才不容易掉进均值不等式的陷阱。

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