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第3节 等比数列


第三节 等比数列 [考情展望] 1.运用基本量法求解等比数列问题.2.以等比数列的定义及等比中项为背景, 考查等比数列的 判定.3.客观题以等比数列的性质及基本量的运算为主,突出“小而巧”的特点,解答题注重函数与方程、分 类讨论等思想的综合应用. 一、等比数列

证明{an}是等比数列的两种常用方法 an (1)定义法:若 =q(q 为非零常数且 n≥2 且 n∈N*),则{an}是等比数列. an-1 (2)中项公式法:在数列{an}中,an≠0 且 a2 an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列. n+1=an· 二、等比数列的性质 1.对任意的正整数 m、n、p、q,若 m+n=p+q=2k,则 am· an=ap· aq=a2 k. n-m * 2.通项公式的推广:an=amq (m,n∈N ) 3.公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其公比为 qn; 当公比为-1 时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 不一定构成等比数列. ?1? ?an? 2 4.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},?a ?,{an },{an· bn},?b ?(λ≠0)仍是等比数列. ? n? ? n? 等比数列的单调性 单调递增 单调递减 常数数列 摆动数列 【基础自测】 1 1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q 等于( ) 4 1 A.- B.-2 2 1 C.2 D. 2 S5 2.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 =( ) S2 A.-11 B.-8 C.5 D.11 3.公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a10=( A.4 B.5 C.6 D.7 ) a1>0,q>1 或者 a1<0,0<q<1 a1>0,0<q<1 或者 a1<0,q>1 a1≠0,q=1 q<0

4.在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 an=________. 4 5.(大纲全国卷)已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- ,则{an}的前 10 项和等于( ) 3
1

A.-6(1-3 C.3(1-3

-10

)

-10

)

1 B. (1-310) 9 - D.3(1+3 10) )

6.(江西高考)等比数列 x,3x+3,6x+6,?的第四项等于( A.-24 B.0 C.12 D.24

考向一 [090] 等比数列的基本运算 (1)(北京高考)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=______;前 n 项和 Sn= ________. (2)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. ①求{an}的公比 q;②若 a1-a3=3,求 Sn.

规律方法 1 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量 a1,n,q,an,Sn, 一般可以“知三求二”,体现了方程思想的应用. 2.在使用等比数列的前 n 项和公式时,应根据公比 q 的情况进行分类讨论,此外在运算过程中,还应善 于运用整体代换思想简化运算. 对点训练 (1)(辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列,且 a2 5=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通 项公式 an=________.

(2)(晋州模拟)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=2,且 a2,a4,a8 成等比数列. ①求数列{an}的通项公式; ②求数列{3an}的前 n 项和.

考向二 [091] 等比数列的判定与证明 (荆州模拟)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数 列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; 5? ? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

规律方法 2 1.本题求解常见的错误:?1?计算失误,不注意对方程的根?公差 d?的符号进行判断;?2?不能
2

灵活运用数列的性质简化运算. 2.要判定一个数列不是等比数列,则只需判定其任意的连续三项不成等比即可. 对点训练 (1)在正项数列{an}中,a1=2,点( an, an-1)(n≥2)在直线 x- 2y=0 上,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________.

(2)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an+Sn=n,cn=an-1,求证:数列{cn}是等比数列,并求{an}的通项公式.

考向三 [092] 等比数列的性质及应用 (1)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6∶S3=1∶2,则 S9∶S3 等于( A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3

)

(2)(衡水模拟)在等比数列{an}中,若 a7+a8+a9+a10=

15 9 1 1 1 1 ,a8a9=- ,则 + + + =________. 8 8 a7 a8 a9 a10

规律方法 3 在解决等比数列的有关问题时, 要充分挖掘隐含条件, 利用性质, 特别是“若 m+n=p+q, 则 am· an=ap· aq”,可以减少运算量,提高解题速度. 对点训练 (1)(课标全国卷)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7 (2)(大连模拟)已知等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,?,且 a5· a2n-5=22n(n≥3),则 log2a1+log2a3+?+ log2a2n-1 等于( ) A.n(2n-1) B.(n+1)2 2 C.n D.(n-1)2 思想方法之十三 分类讨论思想在等比数列求和中的应用 分类讨论的实质是将整体化为部分来解决.其求解原则是不复重,不遗漏,讨论的方法是逐类进行. 在数列的学习中,也有多处知识涉及到分类讨论思想 ,具体如下所示: ? n=1 ?a1 (1)前 n 项和 Sn 与其通项 an 的关系:an=? ?Sn-Sn-1 n≥2 ? (2)等比数列的公比 q 是否为 1; (3)在利用公式 Sn 求和时,数列的项的个数为偶数还是奇数等等. 求解以上问题的关键是找准讨论的切入点,分类求解. 3 天津高考)已知首项为 的等比数列{an}不是递减数列,其前 n 项和为 Sn(n∈N*),且 S3+a3,S5+a5,S4 2 +a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 Tn=Sn- (n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. Sn
* (青岛模拟)已知数列{dn}满足 dn=n,等比数列{an}为递增数列,且 a2 5=a10,2(an+an+2)=5an+1,n∈N . (1)求 an;

3

(2)令 cn=1-(-1)nan,不等式 ck≥2014(1≤k≤100,k∈N*)的解集为 M,求所有 dk+ak(k∈M)的和.

课时限时检测(三十一) 等比数列 一、选择题 1.已知等比数列{an}中,a1+a2+a3=40,a4+a5+a6=20,则前 9 项之和等于( A.50 B.70 C.80 D.90 2.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 2 3.全国卷Ⅰ)设首项为 1,公比为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则( 3 A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an ) )

)

4.已知数列{an},则“an,an+1,an+2(n∈N*)成等比数列”是“a2 n+1=anan+2”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

5 5. 已知数列{an}为等比数列, Sn 是它的前 n 项和. 若 a2· a3=2a1, 且 为 a4 与 2a7 的等差中项, 则 S5=( 4 A.35 B.33 C.31 D.29 6.在正项等比数列{an}中,lg a3+lg a6+lg a9=6,则 a1a11 的值是( A.10 000 B.1 000 C.100 D.10 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1 7.若等比数列{an}满足 a2a4= ,则 a1a2 3a5=________. 2 8.等比数列{an}的公比 q>0,已知 a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前 4 项和 S4=________. 9.设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=3a2+2,S4=3a4+2, 则 q=________. 三、解答题 10.设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N+. (1)求{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (2)已知{bn}是等差数列,Tn 为其前 n 项和,且 b1=a2,b3=a1+a2+a3,求 T20. )

)

4

2 11.等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3 =9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式; ?1? (2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列?b ?的前 n 项和. ? n?

12.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0). (1)设 bn=an+1-an(n∈N*),证明:{bn} 是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值,并证明:对任意的 n∈N*,an 是 an+3 与 an+6 的等差中项.

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