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河南省许昌平顶山新乡三市2013届高三第三次调研考试数学理 Word版含答案


平顶山许昌新乡 2013 届高三第三次调研考试 理科数学试题 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个 是符合题目要求的。 1.设 a , b 为实数,若复数 A.

1 ? 2i ? 1 ? i ,则 a ? bi
C. a ?

a?

3 1 ,b ? 2 2

B. a ? 1, b ? 3

1 3 ,b ? 2 2

D. a ? 3, b ? 1

2.现将 2 名医生和 4 名护士分配到 2 所学校给学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士, 则不同的分配方法共有 A.

6种

B. 12种

C. 18种

D. 24种

3.已知集合 M ? {( x, y) | x2 ? 2 y 2 ? 3} ,N ? {( x, y) | y ? mx ? b} , 若对所有的 m ? R ,均有

M ? N ? ? ,则 b 的取值范围是

6 6 2 3 2 3 6 6 2 3 2 3 B. (? , ] , ] , ) C. (? , ] D. [? 2 2 3 3 2 2 3 3 ? ? ? ? ? 2? ] , m 是向量 a 在向量 b 方向 4.设向量 a ? ( 3 sin? ? cos? ? 1,1) , b ? (1,1) , ? ? [ , 3 3
A.

[?

上的投影,则 m 的最大值是 A.

3 2 2

B. 4 C. 2 2

D. 3

5.图 1 是某县参加 2013 年高考的学生身高的统计图,从左到右的条形图表示学生人数一 次记为 A1 , A2 , A3 ,? A10 ( A2 表示身高(单位:cm)在 [150,155) 的人数)。图 2 是统计图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图, 先要统计身高在 160 ? 180cm (含 160cm, 不 含 180cm ) 的 学 生 人 数 , 那 么 在 流 程 图 的 判 断 框 内 应 填 写 的 条 件 是

A. i ? 6

B. i ? 7 C. i ? 8 D. i ? 9

6.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ?

an ? 1 , n 是其前 n S an

-1-

项和,则 S2013 ? A.

2011 2

B.

2013 2015 C. 2 2

D.

2017 2

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A. 28 ? 2? B. 38 ? 2? C. 38 ? ? D. 38 8.设 F1 , F2 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1的两个焦点,点 P 在双曲线上,当 ?F1PF2 的面积为 2 时, 3

???? ???? ? PF1 ?PF2 =
A. B.

3 C. 3 2

D.

7 2

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 9. 设实数 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by( a ? 0, b ? 0) 的最 ? x ? 0, y ? 0 ?
大值为 12,则 A.

a 2 b2 ? 的最小值为 9 4

1 2

B.

13 C. D. 2 25

?2 x ?1 , x ? 0 ? 10. 已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若方程 f ( x) ? 2a ? 1 ? 0 恰有四个实数根,则实 ?| x ? 2 x ? 1|, x ? 0 ?
数 a 的取值范围是 A. (? , 0]

1 2

B. [? , 0] C. [1, )

1 2

3 2

D. (1, ]

3 2

y 2 x2 ? ? 1 的左、右焦点分别是 F1、F2 ,弦 AB 过 F1 ,且 ?ABF2 的内切圆的周长是 11.椭圆 25 16
,则 ( ? ,若 A、B 的两点的坐标分别是 x1,y),(x2,y2) | y1 ? y2 | 的值为 1

A.

10 3

B.

20 5 5 C. D . 3 3 3

12.若平面直角坐标系中两点 M , N 满足条件: ①M , N 分别在函数 f ( x), g ( x) 的图像上;

②M,N 关于 (1, 0) 对称,则称点对 (M , N ) 是一个“相望点对” (说明:(M , N ) 和 ( N , M ) 是
同一个“相望点对”,函数 y ? ) 个数是 A. 2

1 与y ? 2 sin ? x (?2 ? x ? 4) 的图像中“相望点对”的 1? x

B. 4 C. 6 D. 8

-2-

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.设 a ?

?

?

0

(sin x ? cos x)dx ,则二项式 (a x ?

1 6 ) 展开式中含 x 2 项的系数是____ x

14.在 ?ABC 中,边 a, b, c 所对的角分别是 A, B, C, 已知 (b ? c) : (c ? a) : (a ? b) ? 4 : 5 : 6 , 若 b ? c ? 8 ,则 ?ABC 的面积是____ 15.已知四面体 P ? ABC 中, PA ? PB ? 4, PC ? 2 AC ? 2 5 , PB ? 平面 PAC ,则四面体

P ? ABC 外接球的体积为____
16.有下列四个命题: ①函数 y ? x ?

1 ( x ? 0) 的值域是 [1, ??); 4x

②平面内的动点 P 到点 F (?2,3) 和到直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 的距离相等, P 的轨迹是抛物 则 线; ③直线 AB 与平面 ? 相交于点 B ,且 AB 与 ? 内相交于点 C 的三条直线 CB、CE、CF 所 成的角相等,则 AB ? ? ④若 f ( x)=x2 +bx ? c(b, c ? R), 则 f (

x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 2 2

其中正确的命题的编号是___ 三.解答题:解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x ,数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? f (an )(n ? N*) 3x ? 1

(Ⅰ)求证:数列 {

1 } 是等差数列 an

(Ⅱ)记 Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 ,求 Sn 。 18. (本小题满分 12 分) 设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数, 用随机变量 ? 表示方程 x 2 ? bx ? c ? 0 实根 的个数(重根按一个计) (Ⅰ)求方程 x 2 ? bx ? c ? 0 有实根的概率 (Ⅱ)求 ? 的分布列和数学期望 19. (本小题满分 12 分) 如图,在底面是菱形的四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? 60? ,

P E A D

PA ? AC ? a, PB ? PD ? 2a , 点 E 在 PD 上 , 且
P :E ? 2 : 1 E D (Ⅰ)求二面角 E ? AC ? D 的大小

B
第19题图

C

-3-

(Ⅱ)在棱 PC 上是否存在一点 F ,使 BF ? 平面 AEC ?证明你的结论。 20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 的方程为 x2 +y2 =4 ,过点 M (2, 作圆 C 的两条切线,切点分别为 A、B 直线恰 4) 好经过椭圆 T :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点和上顶点。 a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 T 的方程

O (Ⅱ) 已知直线 l : y ? kx ? 3(k ? 0) 与椭圆 T 相交于 P, Q 两点, 为坐标原点, ?OPQ 求
面积的最大值。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x3 ? 6x2 ? 3x ? t )e x ( t ? R , e 为自然对数的底数) (Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 有三个极值点,求的取值范围 (Ⅱ)若存在实数 t ? [0, 2] ,使对任意的 x ? [1, m] ,不等式 f ( x) ? x 恒成立,求正整数 m 的最大值 22. (本小题满分 10 分) 如图, 已知:C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点, CH ? AB 于点 H , 直线 AC 与过点 B 的 圆 O 的切线相交于点 D, E 为 CH 中点。连接 AE 并延长交 BD 于点 F ,直线 CF 交直线 AB 于点

D C E A O H F B
第22题图

G
(Ⅰ)求证: F 是 BD 的中点 (Ⅱ)求证: CG 是⊙ O 的切线 23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系中,将曲线 ?

G

? x ? 2cos ? ? 2 (? 为 ? y ? sin ?

参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍得到曲线 C1 ,以坐标原点为极点,

x 轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线 C2 的方程为 ? ? 4sin ?
(Ⅰ)求 C1 和 C2 的普通方程: (Ⅱ)求 C1 和 C2 公共弦的垂直平分线的极坐标方程。 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? | x ?1| ? | x ? 2 | ?a

-4-

(Ⅰ)当 a ? 5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的定义域为 R ,求 a 的取值范围

-5-

2013 年高三理科数学三模试卷参考答案
一、选择题: ABABC 1——5 二、填空题: 13. ?192 三、解答题: 17. 解:(Ⅰ)? an ?1 ? f ? an ? ? 14. 6------10 15. 36?

BDCAA
16. ③④

11----12 CB

15 3 4

an 3an ? 1

?

3a ? 1 1 1 1 1 ? n ? 3? ? ? ?3 an?1 an an an?1 an

所以数列 ?

?1? ? 是以 1 为首项,3 为公差的等差数列 ?????? ?????? ?????? ?????? 6 分 ? an ?

(Ⅱ)?

1 1 ? 1 ? 3 ? n ? 1? ? 3n ? 2 ? an ? an 3n ? 2 1 1 1 ? 1 1 ? ? ? ?? ? ? 3n ? 2 3n ? 1 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?

? an ? an?1 ?

1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? n ?????? 12 分 ? Sn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 3? 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 ? 3 ? 3n ? 1 ? 3n ? 1
18. (I)基本事件总数为 6 ? 6 ? 36 ,
2 若使方程有实根,则 ? ? b ? 4c ? 0 ,即 b ? 2 c .

当 c ? 1 时, b ? 2,3, 4,5,6 ;当 c ? 2 时, b ? 3, 4,5,6 ;当 c ? 3 时, b ? 4,5,6 ; 当 c ? 4 时, b ? 4,5,6 ;当 c ? 5 时, b ? 5, 6 ;当 c ? 6 时, b ? 5, 6 ,
2 记方程 x ? bx ? c ? 0 有实根为事件 A ,

事件 A 所含基本事件个数为 5 ? 4 ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 ? 19,

19 . ?????? ?????? ?????? ?????? 6 分 36 17 2 1 17 ? , P (? ? 2) ? , (II)由题意知, ? ? 0,1, 2 ,则 P (? ? 0) ? , P (? ? 1) ? 36 36 18 36
2 因此,方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率为

故 ? 的分布列为

-6-

?
P

0

1

2

17 36

1 18

17 36

? 的数学期望 E? ? 0 ?

17 1 17 ? 1? ? 2 ? ? 1. ?????? ?????? ?????? 12 分 36 18 36

19. (Ⅰ)解:因为底面 ABCD 是菱形, ?ABC ? 60? , 又 AC ? a 所以 AB ? AD ? a ,在 ?PAB 中,因为 PA ? a ,所以

PA2 ? AB2 ? 2a 2 ?

?

2a

?

2

同理, ? PB2 故 PA ? AB ,

PA ? AD , 所以 PA ? 平面 ABCD , EG / / PA 交 AD 作 于 G ,则 EG ⊥平面 ABCD .作 GH ? AC 于 H ,连结 EH , E ? C ,?EHG 即为二面角 E ? AC ? D 的 则 H A 平面角. 又 PE ? ED ? 2 ? 1 ,所以
1 2 3 EG ? a, AG ? a, GH ? AG sin 60? ? a. 3 3 3
从而

t a n EHG ? ?

EG 3 ? ? , ?EHG ? 3 0 . GH 3

? 二面角 E ? AC ? D 是 30?. ?????? ?????? 6 分
(Ⅱ)解法一 以 A 为坐标原点,直线 AD 、 AP 分别为 y 轴、 z 轴,过 A 点垂直平面 PAD 的直线为 x 轴,建立空间直角坐标系如图.由题设条件,相关各点的坐标分别为

2 1 3 1 3 1 a,? a,0), C ( a, a,0). D(0, a,0), P(0,0, a), E (0, a, a). 3 3 2 2 2 2 ??? ? 2 1 ???? 3 1 所以 AE ? (0, a, a), AC ? ( a, a,0). 3 3 2 2

A(0,0,0), B(

??? ? ??? ? 3 1 AP ? (0,0, a), PC ? ( a, a, ?a). 2 2
??? ? 3 1 BP ? (? a, a, a). 2 2 设点 F 是棱 PC 上的点, ??? ? ??? ? 3 1 PF ? ? PC ? ( a? , a? , ?a? ), 其中 ? ? ? 1, 0 2 2 ??? ??? ??? ? ? ? 3 1 3 1 a, a, a) ? ( a? , a? , ?a? ) 则 BF ? BP ? PF ? (? 2 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 3 1 ?( a(? ? 1), a(1 ? ? ), a(1 ? ? )). 令 BF ? ?1 AC ? ?2 AE 2 2



-7-

? ?? ? 1 ? ?1 , ? 4 ? 即?1 ? ? ? ?1 ? ? 2 , 3 ? 1 ? ?1 ? ? ? 3 ? 2 . ? ??? ? ? 1 1 3 1 1 ???? 3 ??? 解得 ? ? , ?1 ? ? , ? 2 ? . 即 ? ? 时, BF ? ? AC ? AE. 2 2 2 2 2 2 即, F 是 PC 的中点时, BF 、 AC 、 AE 共面. 又 BF ? 平面 AEC ,所以当 F 是棱 PC 的中点时, BF / / 平面 AEC ?????? ?????? 12 分 解法二 当 F 是棱 PC 的中点时, BF / / 平面 AEC ,证明如下, 证法一 取 PE 的中点 M ,连结 FM ,则 FM / / CE . ① 1 由 EM ? PE ? ED , 知 E 是 MD 的中点. 2 连结 BM 、 BD ,设 BD ? AC ?O ,则 O 为 BD 的中点. 所以 BM / / OE . ② 由①、②知,平面 BFM / / 平面 AEC . ?????? ?????? 12 分 又 BF ? 平面 BFM ,所以 BF / / 平面 AEC .
证法二因为

? 3 3 a?1 , ? a(? ? 1) ? 2 2 ? 1 2 ?1 ? a(1 ? ? ) ? a?1 ? a? 2 , 2 3 ?2 1 ? ?a(1 ? ? ) ? 3 a? 2 . ?

??? ??? 1 ??? ???? 1 ??? ??? ? ? ? ? ? BF ? BC ? CP ? AD ? (CD ? DP ) 2 2 1 3 1 3 ? AD ? CD ? DE ? AD ? ( AD ? AC) ? ( AE ? AD) 2 2 2 2 3 1 ? AE ? AC. 2 2
所以 BF 、 AE 、 AC 共面. 又 BF ? 平面 ABC ,从而 BF ?? 平面 AEC . ?????? ?????? 12 分 20. 解: (Ⅰ)由题意:一条切线方程为: x ? 2 ,设另一条切线方程为: y ? 4 ? k ( x ? 2) 则:

| 4 ? 2k | k 2 ?1

? 2 ,解得: k ?

3 3 5 ,此时切线方程为: y ? x ? ????2 分 4 4 2

切线方程与圆方程联立得: x ? ?

6 8 , y ? ,则直线 AB 的方程为 x ? 2 y ? 2 5 5

令 x ? 0 ,解得 y ? 1 ,∴ b ? 1 ;令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,∴ a ? 2

故所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ???????????6 分 4

? y ? kx ? 3, ? (Ⅱ)联立 ? x 2 整理得 1 ? 4k 2 x 2 ? 8 3kx ? 8 ? 0 , 2 ? ? y ? 1. ?4

?

?

-8-

令 P( x1 , y1 )

, Q( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

8 ? 8 3k , x1 x 2 ? , 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k

? ? (8 3k ) 2 ? 32(1 ? 4k 2 ) ? 0 ,即: 2k 2 ? 1 ? 0
原点到直线 l 的距离为 d ?

3 1? k 2

, ??????????????8 分

| PQ |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ,
∴ S?OPQ ?

1 3 3 2k 2 ? 1 PQ ? d ? | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2 6? 2 2 2 (1 ? 4k 2 ) 2
2k 2 ? 1 1 ?2 6? 2 2 2 4(2k ? 1) ? 12(2k ? 1) ? 9 4(2k 2 ? 1) ? 12 ? ?1

=2 6?

9 2k 2 ? 1

当且仅当 k ?

5 时取等号,则 ?OPQ 面积的最大值为 1.?????????12 分 2

21. 解: (I) f ?( x) ? (3x2 ?12x ? 3)ex ? ( x3 ? 6x2 ? 3x ? t )e x ? ( x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3)e x

令g ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3, g '( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ?1)( x ? 3)
g ( x)在(-?,-1),(3,+?)上递增, (-1,3)上递减.

?g(-1)>0 ? g ( x)有3个零点? ? ??8 ? t ? 24. ? g (3) ? 0 ??????????4 分
3 2 x (II)不等式 f ( x) ? x ,即 ( x ? 6 x ? 3x ? t )e ? x ,即 t ? xe
?x

? x 3 ? 6 x 2 ? 3x .

转化为存在实数 t ??0, 2? ,使对任意的 x ? ?1, m? , 不等式 t ? xe
?x

? x3 ? 6 x 2 ? 3x 恒成立.
?x

即不等式 0 ? xe 即不等式 0 ? e 设 ? ( x) ? e
?x

? x3 ? 6 x2 ? 3x 在 x ? ?1, m? 上恒成立.

?x

? x2 ? 6 x ? 3 在 x ? ?1, m? 上恒成立????????6 分

? x2 ? 6 x ? 3 ,则 ??( x) ? ?e? x ? 2x ? 6 .
?x

设 r ( x) ? ??( x) ? ?e

? 2x ? 6 ,则 r?( x) ? e? x ? 2 ,因为 1 ? x ? m ,有 r ?( x) ? 0 .

-9-

故 r ( x) 在区间 ?1, m? 上是减函数?????????8 分 又 r (1) ? 4 ? e?1 ? 0, r (2) ? 2 ? e?2 ? 0, r (3) ? ?e?3 ? 0 故存在 x0 ? (2,3) ,使得 r ( x0 ) ? ? ?( x0 ) ? 0 . 当 1 ? x ? x0 时,有 ? ?( x) ? 0 ,当 x ? x0 时,有 ? ?( x) ? 0 . 从而 y ? ? ( x) 在区间 ?1, x0 ? 上递增,在区间 ? x0 , ??? 上递减???10 分 又 ? (1) ? e?1 ? 4 ? 0, ? (2) ? e?2 ? 5>0, ? (3) ? e?3 ? 6>0,

? (4) ? e?4 ? 5>0,? (5) ? e?5 ? 2 ? 0,? (6) ? e?6 ? 3 ? 0.
所以当 1 ? x ? 5 时,恒有 ? ( x) ? 0 ;当 x ? 6 时,恒有 ? ( x) ? 0 ; 故使命题成立的正整数 m 的最大值为 5.??????????12 分

CH ? AB, DB ? AB, , 22. (I)证:∵ ? ∴ AEH ? ?AFB, ?ACE ? ?ADF
EH AE CE HE ? EC , ∴ ,∵ ? ? BF AF FD

BF ∴ ? FD ∴ F 是 BD 中点.………….…5 分 AB ? ? (II)∵ 是直径,∴ ACB =90°∴ BCF = ?CBF =90°??CBA ? ?CAB ? ?ACO

CG ? ∴ OCF ? 90 ,∴ 是 ? O 的切线….………10 分
(说明:也可证明 ?OCF ? ?OBF (从略,) 23.(Ⅰ )横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍得到 ?

?

? x ? 2cos ? ? 2 (?为参数) ? y ? 2sin ?

? C1为 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 4 .…….………….…3 分
2

又?C2为? =4sin? ,即x2 ? y 2 ? 4 y .…….………….….…….………….…5 分 (Ⅱ C1和C2 公共弦的垂直平分线的极坐标方程是 ? cos ? ? ? )

? ?

??

? ? 2 .…….………10 分 4?

24. (I)当 a ? ?5 时,要使函数 f ? x ? ? | x ? 1| ? | x ? 2 | ?a . 有意义, 则 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?5 ? 0 ①当 x ? ?1 时,原不等式可化为 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 ,即 x ? ?2 ; ②当 ? 1 ? x ? 2 时,原不等式可化为 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ,即 3 ? 5 ,显然不成立; ③当 x ? 2 时,原不等式可化为 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ,即 x ? 3 .
- 10 -

综上所求函数的定义域为 ?? ?,?2? ? ?3,??? …….….…….………….…5 分 ( II ) 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 为 R , 则 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?a ? 0 恒 成 立 , 即

?1 ? 2 x, ( x ? ?1) ? | x ? 1 | ? | x ? 2 |? ?a 恒成立,构造函数 h?x? ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | = ? 3, ( ?1 ? x ? 2) ,求得函 ? 2 x ? 1, ( x ? 2) ?
数的最小值为 3,所以 a ? ?3 .…….……….…….………10 分

- 11 -


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