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正弦定理练习题及答案1-1-1


正弦定理第 1 课时
一、选择题 1.(2009· 福建)已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为 ( ) A.75° B.60° C.45° D.30° [答案] B 1 [解析] 由题意,得 ×4×3sinC=3 3, 2 3 ∴sinC= ,又 0° <C<90° ,∴C=60° . 2 2.在△ABC 中,已知(b+

c) ∶ (c+a) ∶(a+b)=4∶5∶6,则 sinA∶sinB∶sinC 等于 ( ) A.6∶5∶4 B.7∶5∶3 C.3∶5∶7 D.4∶5∶6 [答案] B [解析] 设 b+c=4x,c+a=5x,a+b=6x(x>0), 7 5 3 从而解出 a= x,b= x,c= x. 2 2 2 ∴a∶b∶c=7∶5∶3. ∴sinA∶sinB∶sinC=7∶5∶3. 3.在△ABC 中,a=10,B=60° ,C=45° ,则 c 等于 ( ) A.10+ 3 B.10( 3-1) C.10( 3+1) D.10 3 [答案] B 6+ 2 [解析] A=75° ,sinA=sin(30° +45° )=sin30° cos45° +cos30° sin45° = , 4 asinC 10×sin45° c= = =10( 3-1). sinA sin75° 4.在△ABC 中,下列关系中一定成立的是 ( ) A.a>bsinA B.a=bsinA C.a<bsinA D.a≥bsinA [答案] D a b bsinA 1 [解析] 由正弦定理,得 = ,∴a= ,在△ABC 中,0<sinB≤1,故 ≥1, sinA sinB sinB sinB ∴a≥bsinA. 5.已知△ABC 中,a=x,b=2,∠B=45° ,若三角形有两解,则 x 的取值范围是 ( ) A.x>2 B.x<2 C.2<x<2 2 D.2<x<2 3 [答案] C ?x>2 [解析] 由题设条件可知? , <2 ?xsin45° ∴2<x<2 2. 6.在△ABC 中,a=λ,b= 3λ,∠A=45° ,则满足此条件的三角形个数是 ( ) A.0 B .1

C.2 [答案] A [解析] ∵a=λ<bsin45° = 3λ×

D.无数个

2 6 = λ,∴无解.故选 A. 2 2 π 7.△ABC 中,a=2,b= 2,B= ,则 A 等于 6 ( π π A. B. 3 4 π 3π π 2π C. 或 D. 或 4 4 3 3 [答案] C a b 2 π 3π [解析] = ,∴sinA= ,∴A= 或 A= , sinA sinB 2 4 4 π 3π 又∵a>b,∴A>B,∴A= 或 ,∴选 C. 4 4 a+b+c 8.在△ABC 中,A=60° ,a= 13,则 等于 sinA+sinB+sinC ( 8 3 A. 3 26 3 C. 3 [答案] B 2 39 B. 3 D.2 3 ) )

a+b+c a 13 [解析] 由 a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC 得 =2R= = = sin A sin60° sinA+sinB+sinC 2 39 . 3 二、填空题 9.在△ABC 中,A=60° ,C=45° ,b=2.则此三角形的最小边长为__________. [答案] 2 3-2 [解析] ∵A=60° ,C=45° ,∴B=75° , b c ∴最小边为 c,由正弦定理,得 = , sinB sinC 2 c ∴ = , sin75° sin45° 又∵sin75° =sin(45° +30° ) =sin45° cos30° +cos45° sin30° 6 + 2 2 3 2 1 = × + × = , 2 2 2 2 4 2 2× 2 2×sin45° ∴c= = =2 3-2. sin75° 6+ 2 4 5 10.△ABC 的三内角 A、B、C 的对边边长分别为 a、b、c.若 a= b,A=2B,则 cosB 2 =________. 5 [答案] 4 a sinA [解析] 由正弦定理,得 = , b sinB

5 sinA 5 b 可化为 = . 2 sinB 2 sin2B 5 5 又 A=2B,∴ = ,∴cosB= . sinB 2 4 11.(2009· 珠洲高二检测)在△ABC 中,∠A、∠B 的对边分别为 a、b,且∠A=120° ,a =2 3,b=4,那么满足条件的△ABC 的个数为________个. [答案] 0 [解析] ∵a=2 3,b=4,∴a<b,∴A<B, 又 A=120° ,∴B>120° (这显然不可能), ∴满足条件的三角形不存在. 12.已知 a、b、c 是△ABC 中的∠A、∠B、∠C 的对边,S 是△ABC 的面积,若 a=4, b=5,S=5 3,则 C=________. [答案] 60° 或 120° 1 [解析] S= absinC,a=4,b=5,S=5 3. 2 3 ∴sinC= .∵C 为△ABC 的内角,∴C=60° 或 120° . 2 三、解答题 2c-b tanA 13.已知△ABC 中,BC=a,AB=c,且 = ,求 A. tanB b [解析] 由已知条件及正弦定理可得 2sinC-sinB sinA cosB · = ,化简整理得 cosA sinB sinB sinAcosB+cosAsinB= 2sinCcosA, ∴sin(A+B)= 2sinCcosA, 即 sinC(1- 2cosA)=0, 2 ∵sinC≠0,∴1- 2cosA=0,cosA= , 2 ∵0° <A<180° ,∴A=45° . 14. 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角, 先判断三角形是否有解?有解的作出 解答. (1)a=7,b=8,∠A=105° ; (2)a=10,b=20,∠A=80° ; (3)b=10,c=5 6,∠C=60° ; (4)a=2 3,b=6,∠A=30° . [解析] (1)∵a=7,b=8, ∴a<b,又∵∠A=105° >90° ,∴无解. (2)a=10,b=20,a<b,∠A=80° <90° , ∵bsinA=20· sin80° >20· sin60° =10 3, ∴a<b· sinA,∴无解. (3)b=10,c=5 6,b<c,∠C=60° <90° ,∴有一解. bsinC 10· sin60° 2 ∵sinB= = = , c 2 5 6 ∴∠B=45° ,∠A=180° -(∠B+∠C)=75° . 6+ 2 10× 4 bsinA 10· sin75° ∴a= = = =5( 3+1). sinB sin45° 2 2 ∴a= (4)a=2 3,b=6,a<b,∠A=30° <90° , 又∵bsinB=6sin30° =3,a>bsinA,∴有两解.

bsinA 6sin30° 3 由正弦定理,得 sinB= = = , a 2 2 3 ∴∠B=60° 或 120° . 当∠B=60° 时,∠C=90° , asinC 2 3sin90° c= = =4 3; sinA sin30° 当∠B=120° 时,∠C=30° , asinC 2 3sin30° c= = =2 3. sinA sin30° 15.(2009· 全国Ⅱ)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,cos(A-C)+cosB 3 = ,b2=ac,求 B. 2 3 [解析] 由 cos(A-C)+cosB= 及 B=π-(A+C)得 2 3 cos(A-C)-cos(A+C)= , 2 3 ∴cosAcosC+sinAsinC-cosAcosC+sinAsinC= , 2 3 ∴sinAsinC= . 4 2 又∵b =ac,由正弦定理,得 sin2B=sinAsinC, 3 3 π 2π ∴sin2B= ,∴sinB= .∴B= 或 . 4 2 3 3 2π 若 B= 时,边 b 为最大边,∴b>a,b>c, 3 ∴b2>ac 这与已知 b2=ac 矛盾, 2π π ∴B≠ .故 B= . 3 3 16. (2008· 宁夏、 海南文)如图, △ACD 是等边三角形, △ABC 是等腰直角三角形, ∠ACB =90° ,BD 交 AC 于 E,AB=2.

(1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE. [解析] (1)∵∠BCD=90° +60=150° ,CB=AC=CD, ∴∠CBE=15° . ∴cos∠CBE=cos(45° -30° )=cos45° cos30° +sin45° .sin30° = (2)在△ABE 中,AB=2,由正弦定理,得 AE AB = , sin∠ABE sin∠AEB AE 2 = , sin(45° -15° ) sin(90° +15° ) 1 2× 2 2sin30° 故 AE= = = 6- 2. cos15° 6+ 2 4 即 6+ 2 . 4

1 17.在△ABC 中,已知 tanB= 3,cosC= ,AC=3 6,求△ABC 的面积. 3 [解析] 设在△ABC 中 AB、BC、CA 的长分别为 c、a、b. 3 1 由 tanB= 3得,B=60° ,∴sinB= ,cosB= . 2 2 1 2 2 又 cosC= ,∴sinC= 1-cos2C= . 3 3 2 2 3 6× 3 bsinC 由正弦定理,得 c= = =8. sinB 3 2 3 2 又∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= + , 6 3 1 1 3 2 ∴S△ABC= bcsinA= ×3 6×8×( + )=6 2+8 3. 2 2 6 3


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