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广东省开平市风采华侨高一数学必修2课件:正弦定理


第一章
zxxkw

解三角形
正弦定理 2

1.1

正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.

?



a b c ? ? sin A sin B sin C

?

运用正弦定理,可以直接解决以下两类有关三 角形的问题:

(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进 一步求出其他的边和角.

[活学活用]
?

在△ABC中,c=10, ?A ? 45 , ?C ? 30, 求a,b和 ? B .
0 0

?

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ? 若b ? 1, a ? 3 , ?A ? ,则?B ? .
3

[自主迁移]
?

?B ? 600 , ?C ? 750 ,则b等于( ) 1、在△ABC中,已知a=8, C 32 D. C.4 6 B.4 3 A.4 2 3

?

2、在△ABC中, ?A ? 300 , a ? 2 3, b ? 6, 则角B等于( ) A

A.600 和1200
C.600

B.1200 D.以上答案都不对

[问题]:已知两边和其中一边的对角,解三角形时会 出现两解的情况.为什么?还会出现其他情况吗?
zxxkw

?

?

在△ABC中,已知a,b和A, 以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射 线的公共点个数,即为三角形解的个数. C b A a



三角形解的个数的判断:
?

在△ABC中,已知a,b和A,解的情况如下: A为直角 A为钝角

C 图 形 A
关系式 解的 个数

C a b A a

C b A a C C C a b B A B b A B

b

a b


a







a>b 一解

a=b

a<b

a>b

a=b

a<b

无解

无解

一解

无解

无解

A为锐角

图 b 形 A
关系式 解的 个数


a b A





C b a b


a

a

b

a A



B A



B1


B2



a<b
a>b
一解

a=b
一解

a=bsinA

bsinA < a < b

a<bsinA

一解

两解

无解

三角形解的个数的判断:

? ?

当A为锐角时,先比较a与b的大小;若a<b则先求出 bsinA,再比较a与的bsinA 大小. 当A为钝角或直角时,直接比较a与b的大小.

?

由于已知两边和其中一边的对角,不能唯一确定三角形的 形状,因而这类解三角形问题会出现两解、一解或无解.

[例题讲解]

?

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
① b ? 1, a ? 3 , ?A ?

?
3

;

② ?A ? 300 , a ? 2 3, b ? 6;
③ ?A ? 45 , a ? 3 2 , b ? 8;
0

[活学活用]
已知下列各三角形中的 两边及其一边的对角, 先判断是否有解?有解 的作出解答 . (1)a ? 7, b ? 8, A ? 1050 ; (2)a ? 10, b ? 20, A ? 800 ; (3)b ? 10, a ? 5 6 , A ? 60 ;
0

(4)a ? 2 3 , b ? 6, A ? 300.

小结
C a 图 形 C b A A
关系 式

A为锐角 C
b C B b a B b AB C b a
B2

A为钝角或直角 C
a b

a


a

A C




a b



a

1



b
A B







a?b
a=bsinA

a<b
bsinA < a < b

a>b
a<bsinA

a?b
无解

解的 个数

一解

一解

两解

无解

一解

A

分析:设该市在点A,台风中心在点B,则AB=300km. 台风中心从点B向西北方向移动,在移动过 程中,当该中心到点A的距离不大于250km时,该 市受到影响.
AB=300km,





C










C1



C2
● ●





第一章
1.1

解三角形
正弦定理 3

三角形解的个数的判断:
(1)已知两角和一边,其解唯一; (2)已知两边和其中一边的对角: ? 首先判断是否有解,如果有解,是一个解还是两 个解, ? 然后再根据正弦定理去求解.
如在△ABC中,已知a,b和A,解的情况如下:

A为锐角 C a 图 C C b A A
关系 式 解的 个数

A为钝角或直角


b C b AB b a
B2


a b

a


a





b a B

A C




a b



a

1



b
A B







a?b
一解

a<b
a=bsinA bsinA < a < b a<bsinA

a>b 一解

a?b
无解

一解

两解

无解

[问题]: 正弦定理与三角形的外接圆半径有怎样的关系?
在Rt△ABC中,斜边AB是△ABC外接圆的直径(设 A Rt△ABC 外接圆的半径为R),则

a b c = = sinA sinB sinC

=2R.

O
B

b

C

那么,这个结论对于任意三角形是否成立?

A
O B B`

? ?B ? ?B '
C

b

A O
B` B b C

b ? 2R ' sin B b ? ? 2R sin B a b c 又? ? ? sin A sin B sin C a b c ? ? ? ? 2R sin A sin B sin C

[归纳结论]

(正弦定理的常见结论)

a b c (1) ? ? ? 2R sin A sin B sin C (2)a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C (3)a : b : c ? sin A : sin B : sin C a?b?c (4) ? 2R sin A ? sin B ? sin C

[活学活用]
1.在?ABC中, ?A, ?B, ?C所对的边长分别为a, b, c, 若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8, 则a : b : c ?
a?b?c 2.在?ABC中,已知A ? 60 , a ? 3, 则 sin A ? sin B ? sin C ?
0

三角形的面积公式
?

对于任意三角形,已知a,b及C,求△ABC的面积. 解:在△ABC中,
S ? 1 BC ? AD 2

A b B a D C

1 ? BC ? AC ? sin C 2 1 ? a ? b ? sin C 2

1 1 1 [归纳结论]:在△ABC中, S ? a ? b ? sin C ? b ? c ? sin A ? a ? c ? sin B 2 2 2

[活学活用]
1、在?ABC中,a ? 2, b ? 1, C ? 60 , 则S?ABC ?
0

2、已知?ABC中,AB ? 3, AC ? 1, ?B ? 300 , 则S?ABC为( )
3 A. 2 3 A. 或 3 2 3 B. 4 3 3 B. 或 4 2

[自主迁移]
根据下列条件 , 解?ABC. (1)已知 b ? 4, c ? 8, B ? 300 , 求C、A、a; (2)在?ABC中,已知 b ? 16, A ? 300 , B ? 1200 , 求边 a及S ?ABC.


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