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§3.2.2 函数模型的应用实例


§ 3.2.2 函数模型的应用实例导学案
班次 姓名

【学习目标】其中 2 是重点和难点
1. 通过一些实例,来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函 数的广泛应用, 体会解决实际问题中建立函数模型的过程,从而进一步加深对这 些函数的理解与应用; 2. 了解分段函数、指数函数、对数函数等函数模型的应用; 3. 能归纳掌握求解函

数应用题的步骤.

【课前导学】预习教材第 101-106 页,找出疑惑之处,完成新知学习
知识链接: 指数函数定义: 对数函数定义: 幂函数定义:

【预习自测】首先完成教材上 P104 第 1、2 题;P106 第 1、2 题然后做自测题
1. 某林场计划第一年造林 10000 亩,以后每年比前一年多造林 20%,则第四年造林( ) A.14400 亩 B.172800 亩 C.20736 亩 D.17280 亩 2. 由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,每隔 5 年计算机的价格降低

1 ,现 3

在价格为 8100 元的计算机经过 15 年的价格为 元. 3. 某 公 司 招 聘 员 工 , 面 试 人 数 按 拟 录 用 人 数 分 段 计 算 , 计 算 公 式 为 :

1 ? x ? 10, x ? N *, ?4 x, ? y ? ?2 x ? 10, 10 ? x ? 100, x ? N *, 其中, x 代表拟录用人数, y 代表面试人数,若 ?1.5x, x ? 100, x ? N *, ?
应聘的面试人数为 60,则该公司拟录用人数为( A.15 B.40 C.25 ) D.130

4. 某农家旅游公司有客房 300 间,每间日房租为 20 元,每天都客满. 公司欲提

高档次,并提高租金,如果每间客房日增加 2 元,客房出租数就会减少 10 间. 若不考虑其他因素,旅社将房间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入 最高? 5. 某同学完成一项任务共花去 9 个小时,他记录的完成工作量的百分数如下: 2 3 4 5 6 7 8 9 时间/小时 1 完成 15 30 45 60 60 70 80 90 100 百分数 (1)如果用 T (h) 来表示 h 小时后完成的工作量的百分数,请问 T (5) 是多少?求 出 T (h) 的解析式,并画出图象; (2)如果该同学在早晨 8:00 时开始工作,什么时候他未工作?

【课中导学】首先独立思考探究,然后合作交流展示
※ 典型例题 例 1、 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如右图: (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际意义; (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004km,试建立 汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 S 和时间 t 的函数解析 式,并作出相应的图像。

变式:某客运公司定客票的方法是:如果行程不超过 100km ,票价是 0.5 元/ km , 如果超过 100km ,则超过 100km 的部分按 0.4 元/ km 定价. 则客运票价 y 元与行程公 里 x km 之间的函数关系是 .

小结:分段函数是生产生活中常用的函数模型,与生活息息相关,解答的关键是 分段处理、分类讨论. 例 2、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可 以为有效控制人口增长提供依据. 早在 1798 年,英国经济学家马尔萨斯(1766 -1834) 就提出了自然状态下的人口增长模型:y ? y0ert , 其中 t 表示经过的时间, y0 表示 t ? 0 时的人口数,r 表示人口的年平均增长率. 下表是 1950~1959 年我国 的人口数据资料: (单位:万人) 年份 人数
1950 55196 1951 56300 1952 57482 1953 58796 1954 60266 1955 61456 1956 62828 1957 64563 1958 65994 1959 67207

(1 )若以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到 0.0001) ,用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型, 并检验所得模型与实际人口数据是否相符; (2)如果按表中的增长趋势,大约在哪一年我国的人口将达到 13 亿?

小结:人口增长率平均值的计算;指数型函数模型. ※ 动手试试 练 1. 某书店对学生实行促销优惠购书活动,规定一次所购书的定价总额:①如 不超过 20 元,则不予优惠;②如超过 20 元但不超过 50 元,则按实价给予 9 折 优惠;③如超过 50 元,其中少于 50 元包括 50 元的部分按②给予优惠,超过 50 元的部分给予 8 折优惠. (1)试求一次购书的实际付款 y 元与所购书的定价总额 x 元的函数关系; (2)现在一学生两次去购书,分别付款 16.8 元和 42.3 元,若他一次购买同样的 书,则应付款多少?比原来分两次购书优惠多少?

例 3、 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价 是 5 元. 销售单价与日均销售量的关系如下表所示: 6 7 8 9 10 11 12 销售单价/元 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

小结: 找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量间的关系建立函数模型→利用 模型解决实际问题→小结:二次函数模型。

例 4、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表(身高:cm;体重:kg) 身 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 高 体 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 重 (1)根据表中提供的数据,建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个 地区未成年男性体重与身高 ykg 与身高 xcm 的函数模型的解析式. (2)若体重超过相同身高男性平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为偏瘦,那么 这个地区一名身高为 175cm ,体重 78kg 的在校男生的体重是否正常?

小结: 根据收集到的数据的特点, 通过建立函数模型, 解决实际问题的基本过程: 收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际, 用函数模 型解释实际问题;不符合实际,则重新选择函数模型,直到符合实际为止.

【自我评价】你完成本节导学案的情况为(
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

).

【基础检测】当堂达标练习, (时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 按复利计算,若存入银行 5 万元,年利率 2%,3 年后支取,则可得利息(单位: 万元) 为( ). 3 A. 5(1+0.02) B. 5(1+0.02) 2 C. 5(1+0.02) 3 -5 C. 5(1+0.02) 2 -5 2. x 克 a%盐水中,加入 y 克 b%的盐水,浓度变为 c%,则 x 与 y 的函数关系式 为( ). A. y=
c?a x c?b

B. y=

c?a x b?c

C. y=

a?c x b?c

D. y=

b?c x c?a

3. A、B 两家电器公司在今年 1—5 月份的销售量如下图所示,

(万台) 100 80 60 40 20 1 2 3 4

A B

5 (月)

则 B 相对于 A 其市场份额比例比较大的月份是( A. 2 月 B. 3 月 C. 4 月 D. 5 月

).

4. 拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由 f(m)=1.06(0.5×[m]+1)元给出, 其中 m>0,[m]是大于或等于 m 的最小整数(职[3]=3,[3.7]=4) ,则从甲地到 乙 地通话时间为 5.5 分钟的话费为 元. 5. 已知镭经过 100 年, 质量便比原来减少 4.24%,设质量为 1 的镭经过 x 年后的 剩留量为 y ,则 y ? f ( x) 的函数解析式为 .

【能力提升】可供学生课外做作业
1.某电脑公司 2011 年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为 400 万元,占 全年经营总收入的 40%.该公司预计 2013 年经营总收入要达到 1690 万元,且 计划从 2011 年到 2013 年,每年经营总收入的年增长率相同,2012 年预计经 营总收入为________万元.

2.某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过 800 元,不 享受任何折扣, 如果顾客购物总金额超过 800 元,则超过 800 元部分享受一定 的折扣优惠,按下表折扣分别累计计算. 可以享受折扣优惠金 额 不超过 500 元的部分 超过 500 元的部分 折扣率 5% 10%

某人在此商场购物总金额为 x 元,可以获得的折扣金额为 y 元,则 y 关于 x 的解 析式为
0 ? x ? 800, ?0, ? y ? ?5% x ? 800, 800 ? x ? 1300, ?10%x ? 1300 ? 25, x ? 1300, ?

若 y ? 30 元,则他购物实际所付金额为________元.

3.我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同, 甲家每张球台每小时 5 元; 乙家按月计费,一个月中 30 小时以内(含 30 小时) 每张球台 90 元, 超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元.小张准备下个月从 这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超过 40 小时. (1)设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f ( x) 元( 15 ? x ? 40 ), 在乙家 租一张球台开展活动 x 小时的收费为 g ( x) 元( 15 ? x ? 40 ).试求 f ( x) 和 g ( x) ; (2)小张选择哪家比较合算?为什么?

4.某地上年度电价为 0.8 元,年用电量为 1 亿千瓦时.本年度计划将电价调至 0.55 元~0.75 元之间,经测算,若电价调至 x 元,则本年度新增用电量 y(亿 千瓦时)与(x-0.4)元成反比例.又当 x=0.65 时,y=0.8. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)若每千瓦时电的成本价为 0.3 元,则电价调至多少时,本年度电力部门的 收益将比上年增加 20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)]

【课后反思】学完本节课,你在知识、方法等方面有什么收获与感受?请写下来!


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