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2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件:第46讲 空间点、线、面的位置关系


1.借助长方体模型,在直观地认识和理解 空间点、线、面的位置关系的基础上,抽 象出空间线、面位置关系的定义,并了解 可作为推理依据的公理(1~3). 2.了解空间两条直线的位置关系,掌握 异面直线所成的角的概念,会用平移法作 出异面直线所成的角,并求角的大小.

一、平面的基本性质及公理 公理1:如果一条直线上的① _______ 在一个平面内, 那么

这条直线在这个平面内. 公理2:过② ________________ 的三点,有且 只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们③ __________ 过该点的公共直线. 公理4: (平行公理)平行于④ ____________ 的两 直线互相平行.

二、直线与直线的位置关系 1.位置关系的分类 ? ?⑤ ?共面直线 ? ? ?⑥ ? ?异面直线:不同⑦ 2.异面直线所成的角

在一个平面内

?1? 定义:设a,b是两条异面直线,经过空间
中任一点O作直线a?//a,b?//b,把a?与b?所成的 ⑧ ______ 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

? 2 ? 范围:⑨ __________________ .

三、直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在 平面a内 直线a在 平面a内 直线a在 平面a内 ____个公共 点 _________

公共点 符号表示

有且只有 有⑩____个 ____个公共 公共点 点 __________ __________

图形表示

四、两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 图示 表示法 ______ 公共点个数

__________ 公共点
有____个公共点, 且都在一条直线上

两 平 面 相 交

斜交

垂直

有____个公共点, 且都在一条直线上

五、等角定理 空间中如果两个角的两边分别对 应平行,那么这两个角 _______ .

【要点指南】 ①两点;②不在同一直线上;③有一条; ④同一直线;⑤相交直线;⑥平行直线; ⑦任何;⑧锐角或直角;⑨(0, ]; 2 ⑩无数; 1; 没有; a ? a; a ? a ? A; a //a; a //?; 没有; a ? ? ? l; 无数; a ? ?; 无数; 相等或互补

?

1.已知直线 a∥直线 b,b∩c=A,则直线 a 与直线 c 的 位置关系是( ) B.一定是相交直线 D.相交直线或异面直线

A.一定是异面直线 C.一定是平行直线

【解析】 直线 a 与 c 不可能是平行直线,否则与 条件矛盾.

2.下列四个命题中,真命题的个数为(

)

①如果两个平面有三个公共点, 那么这两个平面重合; ②两条直线可以确定一个平面; ③若 M∈α,M∈β,α∩β=l,则 M∈l; ④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内. A.1 C.3 B.2 D.4

【解析】 ①两个平面有三个公共点,若这三个公 共点共线,则这两个平面相交,故①不正确;两异面直 线不能确定一个平面, 故②不正确; 在空间交于一点的 三条直线不一定共面(如墙角),故④不正确;据平面的 性质可知③正确,故选 A.

3.如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,C?l,直线 AB∩l=M,过 A、B、C 三点的平面记作 γ,则 γ 与 β 的交线必通过( A.点 A C.点 C 但不过点 M ) B.点 B D.点 C 和点 M

【解析】 通过 A、B、C 三点的平面 γ,即是通过直线 AB 与点 C 的平面,M∈AB,所以 M∈γ,而 C∈γ,又因为 M ∈β,C∈β,所以 γ 和 β 的交线必通过点 C 和点 M.

4.下列结论: ①平行与同一直线的两条直线平行; ② 如果两个角的两边分别对应平行,则这两个角相等;③ 如果两异面直线所成的角是直角,则它们垂直.则其中 正确的有______个.( A.0 C.2 ) B.1 D.3

【解析】如果两个角的两边分别对应平行,则这两个角相 等或互补,所以②不正确.

5.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别 为 AB、 的中点, AD1 与 EF 所成角的大小为 60° . AD 则

【解析】连接 B1D1(图略),因为 EF∥B1D1,而三角形 AB1D1 是等边三角形, 所以 AD1 与 B1D1 所成的角为 60° ,从而 EF 与 B1D1 所 成的角为 60° .

一 平面的基本性质及平行公理的应用

【例 1】 (2010· 淮安模拟)如图所示,正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点,求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点.

【解析】 (1)连接 EF,CD1,A1B.

因为 E、F 分别是 AB、AA1 的中点,所以 EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,所以 EF∥CD1, 所以 E、C、D1、F 四点共面.

(2)因为 EF∥CD1,EF<CD1, 所以 CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 则由 P∈CE,CE?平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1, 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, 所以 P∈直线 DA,所以 CE、D1F、DA 三线共点.

【点评】1.证点、线共面的常用方法: (1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线 在此平面内; (2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面 α,再证 明其余元素确定平面 β,最后证明 α、β 重合.

2.点共线问题 证明空间点共线问题, 一般转化为证明这些点是某两个 平面的公共点, 再根据公理 3 证明这些点都在这个平面的交 线上. 3.证线共点问题 证明空间三线共点问题, 先证明两条直线交于一点, 再 证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上.

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么?

所以四边形 BEFG 为平行四边形,所以 EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH, 所以 EF∥CH, 所以 EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,所以 C、D、F、E 四点共面.

二 空间线面的位置关系
【例 2】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 CD 的 中点,连接 AE 并延长与 BC 的延长线交于点 F,连接 BE 并延长交 AD 的延长线于点 G,连接 FG.求证:直线 FG?平面 ABCD 且直线 FG∥A1B1.

【解析】因为 E 为 CD 的中点,在正方体中,AE?平面 ABCD,又 AE∩BC=F,所以 F∈AE,所以 F∈平面 ABCD. 同理 G∈平面 ABCD,所以 FG?平面 ABCD.

所以四边形 CFGD 是平行四边形,所以 FG∥CD. 又 CD∥AB,AB∥A1B1,所以直线 FG∥A1B1.

【点评】 空间直线的位置关系, 常需利用线面、 面面、 线线的关系确定,推导时需有理有据.

素材2
在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M,N 分别在 AB1,BC1 1 1 上,且 AM=3AB1,BN=3BC1,则下列结论:①AA1⊥MN;② A1C1∥MN;③MN∥平面 A1B1C1D1;④B1D1⊥MN 中,正确命题 的个数是( ) B.3 个 D.1 个

A.4 个 C.2 个

所以 MNPQ 为平行四边形,所以 MN∥PQ,所以①③对. BP 1 BQ 2 由BC=3, BA =3知 PQ 不平行于 AC. 所以 MN 不平行于 A1C1,所以②错. 由 B1D1⊥A1C1,而 MN 不垂直于 B1D1.



求异面直线所成的角

【例 3】如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长 为 2 的菱形,∠DAB=60° ,对角线 AC 与 BD 交于点 O, PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60° 。

(1)求四棱锥的体积; (2)若 E 是 PB 的中点, 求异面直线 DE 与 PA 所成角的 余弦值.

【解析】 (1)在四棱锥 P-ABCD 中, 因为 PO⊥平面 ABCD, 所以∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, 即∠PBO=60° . 在 Rt△AOB 中,BO=AB· sin30° =1, 又 PO⊥OB,所以 PO=BO· tan60° 3. = 1 3 因为底面菱形的面积 S=2× ×2×2× =2 3, 2 2 所以四棱锥 P-ABCD 的体积 1 VP-ABCD= ×2 3× 3=2. 3

(2)取 AB 的中点 F,连接 EF、DF. 因为 E 为 PB 的中点, 所以 EF∥PA. 所以∠DEF 为异面直线 DE 与 PA 所成的角(或其补角). 在 Rt△AOB 中, AO=AB· cos30° 3=OP, =

6 所以在 Rt△POA 中,PA= 6,所以 EF= 2 . 在正△ABD 和正△PDB 中,DF=DE= 3. DE2+EF2-DF2 由 余 弦 定 理 , 得 cos ∠ DEF = = 2DE· EF 62 6 2 ? 3? +? 2 ? -? 3? 4 2 = = . 6 3 2 4 2× 3× 2
2

2 所以异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 4 .

【点评】 异面直线所成的角一般采用平移法解决, 解题 中要注意异面直线所成的角的范围为(0,90° ].

素材3

正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成 角的大小.

【解析】(1)如图所示,连接 B1C.

由 ABCD-A1B1C1D1 是正方体,易知 A1D∥B1C, 从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角. 因为 AB1=AC=B1C,所以∠B1CA=60° , 即 A1D 与 AC 所成的角为 60° .

(2)如图所示,连接 BD,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC⊥BD,AC∥A1C1.

因为 E、F 分别为 AB、AD 的中点, 所以 EF∥BD,所以 EF⊥AC,所以 EF⊥A1C1, 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90° .

备选例题

已知三个平面 α,β,γ,若 β⊥γ,且 α 与 β、α 与 γ 均 相交但不垂直,a,b 分别为 α,β 内的直线,则( A.?b?β,b⊥γ C.?a?α,a⊥γ B.?b?β,b∥γ D.?a?α,a∥γ )

【解析】 选项 A 中 β⊥γ, 但并不是平面 β 内的任意直线 都与平面 γ 垂直,故选项 A 不正确;由于 β⊥γ,只有在平面 β 内与平面 β 与 γ 的交线平行的直线才和平面 γ 平行, 选项 B 不正确;若存在 a?α,a⊥γ,则必然 α⊥γ,选项 C 不正确; 只要在平面 α 内存在与平面 α 与 γ 的交线平行的直线,则此 直线平行于平面 γ,故选项 D 正确.

1.平面的三个基本性质是立体几何的推理依据, 要注意通过作图(特别是截面图)的训练,加深对 公理的掌握和理解.确定平面的公理2及三个推 论是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据. 2.证明若干个点共线的重要方法之一是证明这 些点分别是两个平面的公共点,再由公理3可知 它们共线. 3.证明点共面,线共面的基本途径是由满足确 定平面条件的几个点或几条直线作出平面,再证 明其他元素也在该平面内.

4.学习空间平行直线时,要掌握等角定理,并 能熟练地应用公理4论证有关直线平行问题. 5.理解异面直线的定义,对“不同在任何一个平 面内的两条直线”要有深刻的认识. 6.求两条异面直线所成角的大小的具体步骤是: ①选点平移;②证明所作角为异面直线的夹角; ③解三角形求角. 7.处理异面直线问题,通常的思路是将空间问 题平面化处理.


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