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函数的单调性第二课时


复习:一、函数单调性定义

1.增函数

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 , x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x) 在区间D上是增函数.

一、函数单调性定义

2.减函数


一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 , x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x) 在区间D上是减函数.

二、函数单调区间定义
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函 数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性,区间D叫 做y=f(x)的单调区间.

三、函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤:
1 取值:任取x1,x2∈D,且x1<x2;

2 作差:f(x1)-f(x2);
3 变形:(通常是因式分解或配方等);

4 定号:(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
5 结论 : (即指出函数 f(x) 在给定的区间 D 上的 单调性).

大值和最小值. 解:设x1, x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且 y x1<x2,则
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 2[( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] ? ( x2 ? 1)( x1 ? 1)

2 y ? 例2.求函数 x ? 1 在区间[2,6]上的最

o

x

2( x2 ? x1 ) ? . ( x2 ? 1)( x1 ? 1)

由2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0, 于是 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,

上分别取得最大值和最小值.
3.5

2 y ? 所以,函数 x ? 1 是区间[2,6]上的减函数. 2 y ? 因此,函数 x ? 1 在区间[2,6]上的两个端点
y

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ).

33 当x=2时取最大值 2.5 ymax ? f (2) ? 2 ? 2; 22 2?1 1.5 11 当x=6时取最小值 0.5 ymin ? f (6) ? 2 ? 2 . 0 o0 6?1 5

1 1

2

2 3 3

4

4 5 5 6 6

7

8

x

上面我们从直观的感受知道了最值的概念, 下面给出严格的定义. 1.函数的最大值: 设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x?I,都有f(x)≤M; (2)存在x0?I,使得f(x0)=M. 则称M是函数的最大值(maximum value) 注意:1.函数最大值首先应该是某一个函数值, 即存在x0∈I,使得f(x0) = M; 2. 函数最大值应该是所有函数值中最大 (小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M.

2.函数的最小值: 设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x?I,都有f(x)≥M; (2)存在x0?I,使得f(x0)=M.

则称M是函数的最小值(minimum value) 函数的最大值从图象上看是在指定的区间 里 最高位置对应的点的纵坐标 , 好象有一种一 览众山小的情景 . 同样函数的最小值从图象上 看是在指定的区间里最低位置对应的点的纵坐 标,好像有一种坐井观天的情景.

请大家思考, 是否每个函数都有最大值,最 小值?举例说明.
(2) f ( x ) ? x ; 2 (3) f ( x ) ? x ? 2 x ? 1, x ? [0,3)
2

(1) f ( x) ? x ? 1;

y
2

o
-1

3

x

-2 ?一个 函数不一定有最值. ?有的函数可能只有一个最大(或小)值. ?如果一个函数存在最值,那么函数的最 值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有 多个.

例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一 般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的 2 高度h m与时间t s之间的关系为 h(t ) ? ?4.9t ? 14.7t ? 18, 那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时 距地面的高度是多少(精确到1m)?

例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一 般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的 2 高度h m与时间t s之间的关系为 h(t ) ? ?4.9t ? 14.7t ? 18, 那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时 距地面的高度是多少(精确到1m)?

解:作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象. 则函数图象的顶点就是 烟花上升的最高点,顶点 的 横坐标就是烟花爆裂的最佳 时刻,纵坐标就是这时距地面 的高度.

例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一 般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的 高度h m与时间t s之间的关系为h(t ) ? ?4.9t 2 ? 14.7t ? 18, 那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时 距地面的高度是多少(精确到1m)?

由二次函数的知识,对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18, 我们有: 当t ? ? 14.7 ? 1.5时,
2 ? ( ?4.9)

函数有最大值
4 ? ( ?4.9) ? 18 ? 14.7 2 h? ? 29. 4 ? ( ?4.9)

答:烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距 地面的高度为29 m.

【1】求函数y=x2-2x-1的值域和最值. (1) x∈[0, 3] (2) x∈(2, 4] 几何画板 (3) x∈[-2, -1]
ymin=f(1)=-2,
ymax=f(3)=2. 值域[-2,2] 值域(-1,7] ymax=f(4)=7. ymin=f(-1)=2,

ymax=f(-2)=7.
值域[2,7]

【3】在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2] 上递减,在[-2,+∞)上递增,则f(x)在[1,2]上的值 域__________. [21,49]

m ? ?16,
f ( x ) ? 4 x 2 ? 16 x ? 1 ? 4( x ? 2)2 ? 15.

1.函数的最大(小)值的定义及几何意义. 函数在其定义域上的最大值,其几何 意义是图象上最高点的纵坐标;最小值为 图象上最低点的纵坐标. 2.三类函数的最值的求法. ?利用图象求函数的最大(小)值. ?利用二次函数的性质 ( 配方法 ) 求函数的 最大(小)值. ?利用函数单调性求函数的最大(小)值 如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上单调递增 , 则函数 y=f(x)在 x=a处有最小值 f(a),在 x=b 处有最大值f(b).

利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最 大( 小) 值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增, 则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处 有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减, 在区间 [b,c] 上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最小值f(b).


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