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1.6函数奇偶性的判断


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熟用奇偶性
【基础知识】 定义 图像特征 y 定义域关于 偶 函 数 定义域内的 x f(-x)=f(x) 图像关于 ( y 轴为 两个对称的区间单调性 y 定义域关于 奇 函 数 图像关于 定义域内的 x ( f -x) =–( f x) ( 原点为 对称 对称 对称) -x 0 f(-x) ) ) 正比例函数:y

=kx 反比例函数 y=kx-1 对称 对称 对称) f(-x) ) ) -x f(x) ) x ) 特殊的二次函数: y=ax? +c(a≠0) x 分段函数 y=|x|. 直线 y=0 代表函数

0

x

x

f(x) 三次函数 y=x? ) 两个对称的区间单调性 ) 直线 y=0 若 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0) =

注意: ⑴上表中,f(x)与 f(-x)中的 x 与-x 本质是指两个互为相反数的自变量。 若 a+b=0,且 f(a)=f(b) ,则函数 f(x)为 若 a+b=0,且 f(a)=-f(b) ,则 f(x)为 函数; 函数. 是否 函数.
0 x y

⑵判断一个函数是否是奇函数或者偶函数,首先考虑其 关于 对称.但是定义域可以是不连续的.如右图 y= f(x)为

⑶一个函数不满足奇函数的定义,也不满足偶函数的定义时,则这个函数 即不是奇函数也不是偶函数.

常识: ① 一次函数 f(x)=kx+b(k≠0)中,当 b= ② 二次函数 f(x)=ax? +bx+c(a≠0)中,当 1、若 f(x)=(x+a) (x–4)为偶函数,则实数 a= 2、若 f(x)= 时,f(x)为奇函数; 时,f(x)为偶函数. .

2x ? b 为奇函数,则 b= ( x ? 1)(x ? 1)

. 若 f(x)=

x 为奇函数,则 a= (2 x ? 1)(x ? a)

.

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【例题讲解】 例1 判断下列函数的奇偶性.(注意:判断函数奇偶性先判断 ) ⑶f(x)= x 2 ? 1 ? 1 ? x 2

⑴f(x)= x ?

1 x

⑵f(x)=2-|x|

⑷f(x)=

3x x ?3
2

⑸f(x)=|x+1|+|x-1|

⑹f(x)=

x x ?1

例 2 已知 f(x)是偶函数,且图像与 x 轴有四个交点,则方程 f(x)=0 的所有实数根之和为 ( A. 4 B. 2 C. 1 D. 0



2 ? ? x ? x(x>0) 例3 判断函数 f(x)= ? 的奇偶性. 2 ? ?? x ? x(x<0)

【抽象函数奇偶性判断】 例4 已知函数 f(x)(x ? R ) ,若对于任意实数 m、n,f(m+n)+f(m-n)=2f(m)f(n). 求证:f(x)是偶函数.

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【利用奇偶性求值】 例 5 已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)= x ?
2

1 ,则 f(-1)= x

.

[方法一:求 f(1)]

[方法二:求 x<0 时,f(x)的解析式]

【课堂练习】 1、 判断下列函数的奇偶性. ⑴f(x)=x5+x? +x ⑶f(x)=x? +1 ( ( ) ) ) ⑵f(x)=x4+x? +x0 ⑷f(x)=x? +x ⑹f(x)=(x–1)? ,b= ( ( ( . ) ) )

⑸f(x)=x?,x ? (-1,3)(

2、已知 f(x)=3x3+4bx+3a+b,x ? [2a–6,a]是奇函数,则 a 3、已知 f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,给出下表: x f(x) 则 f[g(1)]= 1 2 2 1 3 1 ;g[-f(2)]= x g(x) 1 3

2 2 ;

3 1

; g[f(-1)]=

;f[g(-3)]=

4、已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上为增函数,若 f(a)≤f(2) ,a 的取值范围是( A. a≤2 B.a≥-2 C. -2≤a≤2 D.a≤-2 或 a≥2



5、已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意 a,b ? R 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a). ⑴求 f(0) ,f(1) ,f(-1)的值. ⑵判断 f(x)的奇偶性,并证明.

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课 堂 检 测
(时量 10 分钟,满分 100 分) 1、f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x? –x,则 f(1)= . )

2、已知函数 y=f(x),x ? R .且对于任意实数 m,n 都有 f(m+n)=f(m)+f(n).则 f(x)是 ( A. 奇函数 B.偶函数 C.即是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数

3、已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f( A. ? ? , ?

1 )的 x 的取值范围是( 3



?1 2? ?3 3?

B. ? , ? ?3 3 ?

?1 2 ?

C. ? ?

?1 2? , ? ?2 3?

D. ? , ? ?2 3 ?

?1 2 ?

4、已知 f(x)=ax? +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a]. ⑴求 a、b 的值; ⑵求 f(x)在其定义域上的最大值.

5、已知奇函数 f(x)=2x+b,x ? [-2,2]. ⑴求 b 的值. ⑵解不等式 f(t-1)+f(t)<0.


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