2013年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高一年级)

１ １ ２ 　

数学通讯 ——２ ０ １ ３年 第 ７ 、 ８期 （ 上 半 月） 　

? 课 外 园地 ? 　

因为　 ≤一 １ ， 所 以 ０≤ １ 一　 １＜ １ ， １ ≤ １ ＋　
Ｊ　

从 而　

＜ ２ 　 以 丢 ＜ 赢 ＋ √ 　 一 　 　专

＜ 　
≤ １ ． 　

ｓ △ 柚 　 一 号 Ａ Ｃ ? Ｂ Ｃ ? ｓ ｉ ｎ ｃ 　 丢 Ａ Ｃ ? Ｂ Ｃ ? 　 丽　
＝

１ 　 。 　
。　

。 　

． 　

。 　

综 合可 知 ： ｙ ＞　 １， 故 函数 ｙ—ｚ 。 ＋　
一

的值域为（ 去， ＋∞） ． 　
＝ 　

告? 　
．

１ ２ ． 因为 口 ， ６ ， ｃ 成 等 比数 列 ， 所 以ｂ 。 一　 ， 所 以　
ｌ ｏ ｇ 　 ＋ｌ ｏ ｇ ｂ ｃ一 ２ ， 设ｌ ｏ ｇ ｂ ａ—　 ， ｌ ｏ ｇ ｉ ｃ—　 ， 则　 ＋　 ＝ ２ 　 ①　
一

￣ ／ ＝ 　

告? 　
一　
， 　

又 因为 ｌ ｏ ｇ ￣ ａ， ｌ ｏ ｇ ｂ ｃ ， ｌ ｏ ｇ 。 ｂ构成 等差 数列 ， 所 以　
１ ｌ ｏ ｇ ． ａ＋ ｌ ｏ ｇ ￣ ｂ一 ２ １ ｏ ｇ ６ ｃ， 又 ｌ ｏ ｇ ￣ ａ一 三 ， ｌ ｏ ｇｂ ＝ 一
￣

≤　 １? 　

， 　

当且 仅 当　 一 ２时等 号成立 ． 　

所 以　

所以， ＡＡ Ｂ Ｃ的面积的最大值为√ 　

詈 Ｖ 　 ＋ 专一 ２ ｙ 　

② 　
则　

设Ａ Ｍ 一． Ｔ ＡＢ， Ａ Ｎ 一　 Ｃ， Ｄ为Ｂ Ｃ的 中点 ， 　
＝ 　
义 　

由 ① 得　 ＝ ２ 一ｚ， 代入 ② 后 整理得 ２ ｚ 。 一９ 　 ＋９ ｚ一２ ， 分解 因式得 （ 　一 １ ） （ ２ ｘ 。 一７ ｘ＋２ ）＝ ０ ， 　
解　 ＿１ ， 一 　 ， ２ ３＝ 　 ４ 　

Ｓ △ ＾ Ｍ Ⅳ一 Ｓ △ 舢 上Ｓ △ 剧 　 Ｂ　
Ｓ伽
一 　

Ｍ　

Ａ　

Ｓ 伽

。 Ｓ 　

当　 一 １ 时， 口＝ ｂ ， 不合 题 意 ， 舍去； 　

２ 　 （ 、 　 Ｓ
△ Ａ８Ｄ

＋　 Ｓ 　 垒 　 ）
‘

当 　： 　

时， 解 得Ｙ ＝ 　＿ － 　 亘， 此 时 　
一 　 ： ＝＝

△＾ ｃＤ　

Ｃ　

１． ２ ｘ 　 ＿ ２ ３ ／） 　

图 １ 　

所 求公 差 ｄ＝ ｌ ｏ ｇ ６ ｃ —ｌ ｏ ｇ 　 口一　 一 三 一　 ３； 　

言 （ 　 ＋ ３ ， ） ， 　

当 　 ＝７ ＿二　

时 解得　 ＝　
，

４ 　

， 此 时　
．　

所 以 　＝ 昙 （ ｚ ＋ ３ ， ） ． 　

所求 公差 ｄ＝ ｌ ｏ ｇ ６ ｃ —ｌ ｏ ｇ 　 口＝　 一 三 一　 ３ 因此 ， 所 求公差 ｄ一　 ． 　

由 　： ÷ （ 计３ ， ） ≥ 　 可 得 　≥ 吾 ， 　
所以ｓ △ Ａ Ｍ Ｎ≥ 可 ４ 　 ｓ
＆ ＡＢＣ

从而 ｓ 　ｃ Ｂ≤ 百 ５ 　 ｓ △

＾Ｂｃ ． 　

１ ３ ． 设Ｂ Ｃ＝ ｔ ， 则Ａ Ｃ一 瓶 ， 所以 　
，、　

ＡＣ０ ＋ ＢＣ０一 ＡＢ　 ０ 　

４ ｔ ０— ４ 　

∞ ｓ 　 一— 　
２ 　 一 ２ 　
一

丽 　

因 此 ， ｓ 　≤ 吾 ｓ △ Ａ Ｂ ｃ ≤ 学， 即 四 边 形 　
ＭＮＣ Ｂ 的面积 的最大 值为　 ， 当且 仅 当 Ｂ Ｃ一２ 　

√ ３ ｔ ０ 　

且 ＭＮ ／ ／Ｂ Ｃ时取 得．