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2013年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高一年级)


1 1 2  

数学通讯 ——2 0 1 3年 第 7 、 8期 ( 上 半 月)  

? 课 外 园地 ?  

因为  ≤一 1 , 所 以 0≤ 1 一  1< 1 , 1 ≤ 1 + 
J 

从 而 

< 2   以 丢 < 赢 + √   一    专

<  
≤ 1 .  

s △ 柚   一 号 A C ? B C ? s i n c   丢 A C ? B C ?   丽 


1   。  
。 

。  

.  

。  

综 合可 知 : y >  1, 故 函数 y—z 。 + 


的值域为( 去, +∞) .  
=  

告?  


1 2 . 因为 口 , 6 , c 成 等 比数 列 , 所 以b 。 一  , 所 以 
l o g   +l o g b c一 2 , 设l o g b a—  , l o g i c—  , 则  +  = 2   ① 


 ̄ / =  

告?  
一 
,  

又 因为 l o g  ̄ a, l o g b c , l o g 。 b构成 等差 数列 , 所 以 
1 l o g . a+ l o g  ̄ b一 2 1 o g 6 c, 又 l o g  ̄ a一 三 , l o gb = 一


≤  1?  

,  

当且 仅 当  一 2时等 号成立 .  

所 以 

所以, AA B C的面积的最大值为√  

詈 V   + 专一 2 y  

②  
则 

设A M 一. T AB, A N 一  C, D为B C的 中点 ,  
=  
义  

由 ① 得  = 2 一z, 代入 ② 后 整理得 2 z 。 一9   +9 z一2 , 分解 因式得 (  一 1 ) ( 2 x 。 一7 x+2 )= 0 ,  
解  _1 , 一   , 2 3=   4  

S △ ^ M Ⅳ一 S △ 舢 上S △ 剧   B 
S伽
一  

M 

A 

S 伽

。 S  

当  一 1 时, 口= b , 不合 题 意 , 舍去;  

2   ( 、   S
△ A8D

+  S   垒   )


当  :  

时, 解 得Y =  _ -   亘, 此 时  
一   : ==

△^ cD 

C 

1. 2 x   _ 2 3 /)  

图 1  

所 求公 差 d= l o g 6 c —l o g   口一  一 三 一  3;  

言 (   + 3 , ) ,  

当   =7 _二 

时 解得  = 


4  

, 此 时 
. 

所 以  = 昙 ( z + 3 , ) .  

所求 公差 d= l o g 6 c —l o g   口=  一 三 一  3 因此 , 所 求公差 d一  .  

由  : ÷ ( 计3 , ) ≥   可 得  ≥ 吾 ,  
所以s △ A M N≥ 可 4   s
& ABC

从而 s  c B≤ 百 5   s △

^Bc .  

1 3 . 设B C= t , 则A C一 瓶 , 所以  
,、 

AC0 + BC0一 AB  0  

4 t 0— 4  

∞ s   一—  
2   一 2  


丽  

因 此 , s  ≤ 吾 s △ A B c ≤ 学, 即 四 边 形  
MNC B 的面积 的最大 值为  , 当且 仅 当 B C一2  

√ 3 t 0  

且 MN / /B C时取 得.  


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