2013年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高一年级)
１ １ ２
数学通讯 ——２ ０ １ ３年 第 ７ 、 ８期 （ 上 半 月）
? 课 外 园地 ?
因为 ≤一 １ ， 所 以 ０≤ １ 一 １＜ １ ， １ ≤ １ ＋
Ｊ
从 而
＜ ２ 以 丢 ＜ 赢 ＋ √ 一 专 ＜
≤ １ ．
ｓ △ 柚 一 号 Ａ Ｃ ? Ｂ Ｃ ? ｓ ｉ ｎ ｃ 丢 Ａ Ｃ ? Ｂ Ｃ ? 丽
＝
１ 。
。
。
．
。
综 合可 知 ： ｙ ＞ １， 故 函数 ｙ—ｚ 。 ＋
一
的值域为（ 去， ＋∞） ．
＝
告?
．
１ ２ ． 因为 口 ， ６ ， ｃ 成 等 比数 列 ， 所 以ｂ 。 一 ， 所 以
ｌ ｏ ｇ ＋ｌ ｏ ｇ ｂ ｃ一 ２ ， 设ｌ ｏ ｇ ｂ ａ— ， ｌ ｏ ｇ ｉ ｃ— ， 则 ＋ ＝ ２ ①
一
￣ ／ ＝
告?
一
，
又 因为 ｌ ｏ ｇ ￣ ａ， ｌ ｏ ｇ ｂ ｃ ， ｌ ｏ ｇ 。 ｂ构成 等差 数列 ， 所 以
１ ｌ ｏ ｇ ． ａ＋ ｌ ｏ ｇ ￣ ｂ一 ２ １ ｏ ｇ ６ ｃ， 又 ｌ ｏ ｇ ￣ ａ一 三 ， ｌ ｏ ｇｂ ＝ 一
￣
≤ １?
，
当且 仅 当 一 ２时等 号成立 ．
所 以
所以， ＡＡ Ｂ Ｃ的面积的最大值为√
詈 Ｖ ＋ 专一 ２ ｙ
②
则
设Ａ Ｍ 一． Ｔ ＡＢ， Ａ Ｎ 一 Ｃ， Ｄ为Ｂ Ｃ的 中点 ，
＝
义
由 ① 得 ＝ ２ 一ｚ， 代入 ② 后 整理得 ２ ｚ 。 一９ ＋９ ｚ一２ ， 分解 因式得 （ 一 １ ） （ ２ ｘ 。 一７ ｘ＋２ ）＝ ０ ，
解 ＿１ ， 一 ， ２ ３＝ ４
Ｓ △ ＾ Ｍ Ⅳ一 Ｓ △ 舢 上Ｓ △ 剧 Ｂ
Ｓ伽
一
Ｍ
Ａ
Ｓ 伽
。 Ｓ
当 一 １ 时， 口＝ ｂ ， 不合 题 意 ， 舍去；
２ （ 、 Ｓ
△ Ａ８Ｄ
＋ Ｓ 垒 ）
‘
当 ：
时， 解 得Ｙ ＝ ＿ － 亘， 此 时
一 ： ＝＝
△＾ ｃＤ
Ｃ
１． ２ ｘ ＿ ２ ３ ／）
图 １
所 求公 差 ｄ＝ ｌ ｏ ｇ ６ ｃ —ｌ ｏ ｇ 口一 一 三 一 ３；
言 （ ＋ ３ ， ） ，
当 ＝７ ＿二
时 解得 ＝
，
４
， 此 时
．
所 以 ＝ 昙 （ ｚ ＋ ３ ， ） ．
所求 公差 ｄ＝ ｌ ｏ ｇ ６ ｃ —ｌ ｏ ｇ 口＝ 一 三 一 ３ 因此 ， 所 求公差 ｄ一 ．
由 ： ÷ （ 计３ ， ） ≥ 可 得 ≥ 吾 ，
所以ｓ △ Ａ Ｍ Ｎ≥ 可 ４ ｓ
＆ ＡＢＣ
从而 ｓ ｃ Ｂ≤ 百 ５ ｓ △
＾Ｂｃ ．
１ ３ ． 设Ｂ Ｃ＝ ｔ ， 则Ａ Ｃ一 瓶 ， 所以
，、
ＡＣ０ ＋ ＢＣ０一 ＡＢ ０
４ ｔ ０— ４
∞ ｓ 一—
２ 一 ２
一
丽
因 此 ， ｓ ≤ 吾 ｓ △ Ａ Ｂ ｃ ≤ 学， 即 四 边 形
ＭＮＣ Ｂ 的面积 的最大 值为 ， 当且 仅 当 Ｂ Ｃ一２
√ ３ ｔ ０
且 ＭＮ ／ ／Ｂ Ｃ时取 得．
