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第1节 数列的概念与简单表示法


第一节 数列的概念与简单表示法 [考情展望] 1.以数列的前 n 项为背景写数列的通项.2.考查由数列的通项公式或递推关系求数列的某一 项.3.考查已知数列的递推关系或前 n 项和 Sn 求通项 an. 一、数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通 数列{an}的第 n 项 an 叫做数列的通项 项 数列{an}的第 n 项

an 与 n 之间的关系能用公式 an=f(n)表达, 这个公式叫做数列 通项公式 的通项公式 前 n 项和 数列{an}中,Sn=a1+a2+?+an 叫做数列的前 n 项和 二、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 有穷数列 项数有限 项数 无穷数列 项数无限 递增数列 an+1>an 项与项间的 递减数列 an+1<an 其中 n∈N* 大小关系 常数列 an+1=an 判断数列递增(减)的方法 (1)作差比较法: ①若 an+1-an>0,则数列{an}为递增数列. ②若 an+1-an=0,则数列{an}为常数列. ③若 an+1-an<0,则数列{an}为递减数列. (2)作商比较法:不妨设 an>0. an+1 ①若 >1,则数列{an}为递增数列. an an+1 ②若 =1,则数列{an}为常数列. an an+1 ③若 <1,则数列{an}为递减数列. an 三、数列的表示方法 数列有三种表示方法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 四、an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn,通项公式为 an, ? ?n=1?, ?S1, 则 an=? ? ?Sn-Sn-1, ?n≥2?. 已知 Sn 求 an 的注意点 利用 an=Sn-Sn-1 求通项时,注意 n≥2 这一前提条件,易忽略验证 n=1 致误,当 n=1 时,a1 若适合通 项,则 n=1 的情况应并入 n≥2 时的通项;否则 an 应利用分段函数的形式表示. 【基础自测】 1.已知数列{an}的前 4 项分别为 2,0,2,0,则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是( )

A.an=1+(-1)n

+1

B.an=2sin

nπ C.an=1-cos nπ 2

?2,n为奇数 ? D.an=? ? ?0,n为偶数

1

2.在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1,则 a5 的值为( A.30 B.31 C.32 D.33 n 3.已知数列{an}的通项公式为 an= ,则这个数列是( n+1 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 4.数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+1,则 an=________.

)

)

2?n? ? ? 5.(浙江高考)若数列?n?n+4?? ?3? 中的最大项是第 k 项,则 k=________.
? ?

2 1 6.(课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式是 an=________. 3 3

考向一 [083] 由数列的前几项归纳数列的通项公式 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式. (1)-1,7,-13,19,?; (2)0.8,0.88,0.888,?; 1 1 5 13 29 61 (3) , ,- , ,- , ,?. 2 4 8 16 32 64 规律方法 1 1.求数列的通项时,要抓住以下几个特征.,?1?分式中分子、分母的特征;?2?相邻项的变化特 征;?3?拆项后的特征;?4?各项符号特征等,并对此进行归纳、化归、联想. 2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由 + 不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用?-1?n 或?-1?n 1 来调整. 考向二 [084] 由递推关系求通项公式 根据下列条件,求数列的通项公式 an. (1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n;

n+2 (2)在数列{an}中,an+1= a ,a1=4; n n

(3)在数列{an}中,a1=3,an+1=2an+1.

规律方法 2 递推式的类型
2

递推式 an+1=an+f(n) an+1 =f(n) an an+1=pan+q (p≠0,1,q≠0) + an+1=pan+q· pn 1 (p≠0,1,q≠0)

方法 叠加法 叠乘法 化为等比数列 化为等差数列

示例 a1=1,an+1=an+2n an+1 a1=1, =2n an a1=1,an+1=2an+1 a1=1,an+1=3an+3n
+1

考向三 [085] 由 an 与 Sn 的关系求通项 an 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn,求{an}的通项公式: (1)Sn=2n2-3n;

(2)Sn=3n+b.(b 为常数)

规律方法 3 已知 Sn 求 an 时的三个注意点,?1?重视分类讨论思想的应用,分 n=1 和 n≥2 两种情况讨论; 特别注意 an=Sn-Sn-1 中需 n≥2. ?2?由 Sn-Sn-1=an 推得 an,当 n=1 时,a1 也适合“an 式”,则需统一“合写” . ?3?由 Sn-Sn-1=an 推得 an,当 n=1 时,a1 不适合“an 式”,则数列的通项公式应分段表示?“分写”?, ?S1,n=1, ? 即 an=? ? ?Sn-Sn-1,n≥2. 对点训练 若 Sn 满足的条件变为如下形式,则又如何求 an? (1)Sn=n2+n+1;

(2)log2(2+Sn)=n+1.

易错易误之十 明确数列中项的特征,慎用函数思想解题 (安阳模拟)已知数列{an}中,an=n2-kn(n∈N*),且{an}单调递增,则 k 的取值范围是( A.(-∞,2] B.(-∞,3) C.(-∞,2) D.(-∞,3]

)

3

【防范措施】 1.明确函数单调性与数列单调性的关系,?1?若数列所对应的函数是单调的, 则该数列一定单调. ?2?若数列是单调的,其对应的函数未必单调,原因是数列是定义在 n∈N*上的特殊函数. 2.数列单调性的判断,一般通过比较 an+1 与 an 的大小来判断:,若 an+1>an,则该数列为递增数列;若 an+ 1<an,则该数列为递减数列. (济南模拟)已知{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N*,an=n2+λn 恒成立,则实数 λ 的取值范围是 ________.

课时限时检测(二十九) 数列的概念与简单表示法 一、选择题 1.如图 5-1-1,关于星星的图案中星星的个数构成一个数列,该数列的一个通项公式是(

)

图 5-1-1 n?n-1? A.an=n2-n+1 B.an= 2 n?n+1? n?n+2? C.an= D.an= 2 2 2.在数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是( ) 865 A.103 B. 8 825 C. D.108 8 3.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=an+2n,则 a10=( ) A.1 024 B.1 023 C.2 048 D.2 047 * 4.已知 a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N ),则数列{an}的通项公式是( ) n+1?n-1 ? A.2n-1 B. ? n ? 2 C.n D.n 5.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6=( ) A.3×44 B.3×44+1 C.45 D.45+1 6.对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,?)”是“{an}为递增数列”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1 1 7.已知数列{an}中,a1= ,an+1=1- (n≥2),则 a16=________. 2 an 8.数列{an}中,a1=1,对于所有的 n≥2,n∈N*,都有 a1· a2· a3· ?· an=n2,则 a3+a5=________. 2 1 9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N*都有 Sn= an- ,且 1<Sk<9(k∈N*),则 a1 的值为 3 3 ________,k 的值为________. 三、解答题 n+2 10.已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn= a. 3 n
4

(1)求 a2,a3; (2)求数列{an}的通项公式.

2 11.(12 分)已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}满足 bn= ,且前 n 项和为 Tn,设 cn= an+1 T2n+1-Tn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性.

an 12.(13 分)在数列{an},{bn}中,a1=2,an+1-an=6n+2,点( ,bn)在 y=x3+mx 的图象上,{bn}的最 n 小项为 b3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 m 的取值范围.

5


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