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江西省宜春市宜春中学、樟树中学、高安中学等五校2015-2016学年高二(2017届高三)7月联考数学(文)试卷


宜春中学、丰城中学、樟树中学、高安中学 2017 届高二联考数学(文)试卷
命题人:丰城中学 周魁良 审题人:丰城中学 周魁良

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的) 1.若集合 A ? x | x ? x ? 4 ? ? 0 , B ? x | log 2

x ? x ? 1 ,则 A ? B ? ( )
2

?

?

?

?

? ?

A. ? 2, 4?

B. ? 2, 4?

C. ? ??,0? ? ?0,4?

D. ? ??, ?1? ? ?0, 4?

2.设 i 是虚数单位,复数 A. 1

a ?i 为纯虚数,则实数 a 的值为( ) 1? i 1 B. ?1 C. D. ? 2 2
1 0.3 1 ( ) ,c ? ,则( ) 2 3
C. b ? a ? c D. b ? c ? a

3. a ? log 1 2 , b ? log 1
2
2

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

4.已知 ? , ? 是两个不重合的平面,直线 m ? ? ,直线 n ? ? ,则“ ? , ? 相交”是“直线

m , n 异面”的( )
A.充分不必要条件 5.已知 sin ? ? B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3 ? ,且 ? ? ( , ? ) ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0)的图象的相邻两条对 5 2 ? ? 称轴之间的距离等于 ,则 f ( ) 的值为( ) 2 4 3 4 3 4 A. ? B. ? C. D. 5 5 5 5 6.?ABC 的三内角 A 、 B 、C 所对边的边长分别为 a 、b 、c ,
若a ?

5 b , A ? 2 B ,则 cos B 等于( ) 2
B.

A.

5 6

5 3

C.

5 4

D.

5 5

7.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中左视图是 一个边长为 2 的正三角形,则这个几何体的体积是( ) A. 2 cm2 B. 3 cm3 C. 3 3 cm3 D. 3 cm3

8.已知 x ? 0 ,由不等式 x ?

1 1 4 x x 4 x x 4 ? 2 x ? ? 2, x ? 2 ? ? ? 2 ? 3 3 ? ? 2 ? 3, ? 我 x x x 2 2 x 2 2 x

们可以得出推广结论: x ? A. 2 n B. n2

a ? n ? 1? n ? N ? ? ,则 a ? ( ) n x
C. 3n D. n n
开始 i=1

9.已知抛物线 x2 ? 4 y 上一点 M 到焦点的距离为 3,则点 M 到 x 轴的距离为( )

1 A. 2

B. 1

C. 2

D.

4

S=0 S< ? N

10.执行如图所示的程序框图,若输出 i 的值是 9,则判断框中 的横线上可以填入的最大整数是( ) A. 4 11.函数 y ? ( A. 2 B. 8
1 2

C. 12

D. 16

Y S=S+i i=i+2

输出i 结束

2016 x ) ? x 的零点的个数为( ) 2017
B. 0 C. 1 D. 3

2 2 12 . 已 知 函 数 f ? x ? ? x ? sin x ? x ? R ?,且f y ? 2 y ? 3 ? f x ? 4 x ? 1 ? 0 , 则 当

?

?

?

?

y ? 1 时,
A. ? , ? 4 4

y 的取值范围是( ) x ?1
B. ?0, ? 4

?1 3? ? ?

? 3? ? ?

C. ? , ? 4 3

?1 4? ? ?

D. ?0, ? 3

? 4? ? ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.设向量 a ? (1, 2m) , b ? (m ? 1,1) ,若 a ? b ? 0 ,则 m =_____________. 14.已知 ? 为锐角,且 cos(? ?

?

?

? ?

?
4

)?

4 , 则 cos ? =_____________. 5

15. 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? ay ?10 ? 0 ( a 为实数)上任意一点关于直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的 对称点都在圆 C 上,则 a =_____________. 16.以下四个命题: ①若函数 y ? e x ? mx (m ? R) 有大于零的极值点,则实数 m ? 1 ; ②命题“ ?x ? R, x ? 1 ? 3x ”的否定是“ ?x ? R, x ? 1 ? 3x ” ;
2 2

③方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
2

④已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a ? 7a 在 x ? 1 处取得极大值 10, 则
3 2 2

a 2 的值为-2 或 ? . b 3

其中真命题的序号为_____________(写出所有真命题的序号). 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤) 17. (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2an ? 1?n ? 1, 2, ...? . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn?1 ? an ? bn ?n ? 1, 2, ...?, b1 ? 2 ,求数列 ?bn ? 的通项公式.

18. (本小题满分 12 分)某工厂为了对新研发的产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的 价格进行试销,得到一组检测数据 ( xi , yi )(i ? 1,2,? ? ?,6) 如下表所示: 试销价格 x (元) 产品销量 y (件) 4 5 84 6 83
6

7 80

a
75

9 68

b

已知变量 x , y 具有线性负相关关系,且

?x
i ?1

6

i

? 39, ? yi ? 480, 现有甲、乙、丙三位同学通
i ?1

过计算求得其线性回归方程分别为: 甲 y ? 4 x ? 54 ; 乙 y ? ?4 x ? 106; 丙 y ? ?4.2 x ? 105, 其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的. (1)试判断谁的计算结果正确?并求出 a , b 的值; (2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过 1 ,则该检测数据是“理 想数据”.现从检测数据中随机抽取 2 个,求这两个检验数据均为“理想数据”的概率.

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 直 角 梯 形 ABCP 中 , C P/ / A B, C P ?

C, B

AB ? BC ?

1 CP ? 2 , D 是 CP 的中点,将 ?PAD 沿 AD 折起,使得 PD ? 面 ABCD . 2

(1)求证:平面 PAD ? 平面 PCD ; (2)若 E 是 PC 的中点,求三棱锥 D ? PEB 的体积.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上任意一点到两焦点 F1 , F2 的距 a 2 b2

离之和为 4 2 ,离心率为 (1)求椭圆的标准方程; (2) 若直线 l 的斜率为 的面积的最大值.

3 . 2

1 , 直线 l 与椭圆交于 A, B 两点, 点 P(2,1) 为椭圆上一点, 求 ?PAB 2

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a x ? x2 ? x ln a(a ? 0且a ? 1) (1)求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间;

(3)若存在 x1, x2 ???1,1? ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1( e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的取值范围. 请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一个题目计 分,本题共 10 分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在 ?ABC 中,CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ADC 的 外接圆交 BC 于点 E , AB ? 2 AC . (1)求证: BE ? 2 AD ; (2)当 AC ? 3 , EC ? 6 时,求 AD 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?4t ? a ( t 为参数) ,在直角坐标系 xOy 中,以 O 点为极点, ? y ? 3t ? 1

x 轴的非负半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,设圆 M 的方程为

? 2 ? 6? sin ? ? ?8 .
(1)求圆 M 的直角坐标方程; (2)若直线 l 截圆 M 所得弦长为 3 ,求实数 a 的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | (a ? R) (1)当 a ? 4 时,求不等式 f ( x) ? 5 的解集; (2)若 f ( x) ? 4 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围.

宜春中学、丰城中学、樟树中学、高安中学 2017 届高二联考数学(文)答案
1—6
13. ?

AABBBC
1 3
14.

7—12
7 2 10

BDCDCA
15. ?2 16.①②③

17.解: (1)因为 S n ? 2an ? 1?n ? 1, 2, ...? , 则 S n?1 ? 2an?1 ? 1?n ? 2, 3, ...? , 所以当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2an ? 2an?1 , 整理得 an ? 2an?1 , 由 S n ? 2an ? 1,令 n ? 1 ,得 a1 ? 2a1 ? 1 ,解得 a1 ? 1 . 所以 ?an ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,可得 an ? 2 n?1 (6 分) (2)因为 an ? 2 n?1 , 由 bn?1 ? an ? bn ?n ? 1, 2, ...? ,得 bn?1 ? bn ? 2 n?1 , 由累加得 bn ? b1 ? ?b2 ? b1 ? ? ?b3 ? b2 ? ? ... ? ?bn ? bn?1 ?

? 2?

1 ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ? 1, ?n ? 2? , 1? 2

当 n ? 1 时也满足,所以 bn ? 2 n?1 ? 1 .(12 分) 18.解: (1)∵变量 x , y 具有线性负相关关系,∴甲是错误的.(2 分) 又∵

? xi ? 39, ? yi ? 480, ∴ x ? 6.5, y ? 80,
i ?1 i ?1

6

6

满足方程 y ? ?4 x ? 106,故乙是正确的.(4 分)



? xi ? 39, ? yi ? 480, 得 a ? 8, b ? 90 .(6 分)
i ?1 i ?1

6

6

(2)由计算可得“理想数据”有 3 个,即 (4,90), (6,83), (8,75) .(8 分) 从检测数据中随机抽取 2 个,共有 15 种不同的情形,

其中这两个检测数据均为“理想数据”有 3 种情形.(10 分) 故所求概率为 P ?

3 1 ? .(12 分) 15 5

19.解: (1)证明 :∵PD⊥底面 ABCD,∴PD⊥AD. 又由于 CP∥AB,CP⊥CB,AB=BC,∴ABCD 为正方形, ∴AD⊥CD,又 PD∩CD=D,故 AD⊥底面 PCD, 因 AD ? 平面 PAD,所以平面 PAD⊥底面 PCD. (6 分) (2)∵PD=DC,E 是 PC 的中点,∴DE⊥PC. 由(1)知有 AD⊥底面 PCD,所以有 AD⊥DE. 由题意得 AD∥BC,故 BC⊥DE. 于是,由 BC∩PC=C,可得 DE⊥底面 PBC. ∴DE= 2 ,PC=2 2 , 又∵AD⊥底面 PCD,∴AD⊥CP, ∵AD∥BC,∴AD⊥BC.

1 1 1 S△PBC= × ( ? BC ? PC ) = 2 2 2 2 1 2 ∴VD-PEB= ×DE×S△PEB= . (12 分) 3 3
∴S△PEB=

? 2a ? 4 2 ? c 3 ? 20.解: (1)由条件得: ? e ? ? ,解得 a ? 2 2 , c ? 6 , b ? 2 , ? 2 a 2 22 ? ?a ? b ? c
所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (5 分) 8 2
1 x ? m ,点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 2

(2)设 l 的方程为 y ?

1 ? y? x?m ? ? 2 2 2 由? 2 消去 y 得 x ? 2mx ? 2m ? 4 ? 0 . 2 x y ? ? ?1 ? 2 ?8
2 2 令 ? ? 4m ? 8m ? 16 ? 0 ,解得 m ? 2 ,(7 分)

由韦达定理得 x1 ? x2 ? ?2m, x1x2 ? 2m ? 4 .
2

则由弦长公式得 AB ? 1 ?

1 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 5(4 ? m2 ) . 4

又点 P 到直线 l 的距离 d ?

m 1 1? 4

?

2m 5



∴ S?PAB ?

1 1 2m m2 ? 4 ? m2 AB d ? ? ? 5(4 ? m2 ) ? m2 (4 ? m2 ) ? ?2, 2 2 2 5

当且仅当 m 2 ? 2 ,即 m ? ? 2 时取得最大值.∴△PAB 面积的最大值为 2.(12 分) 21.解: (1)因为函数 f ( x) ? a x + x 2 ? x ln a (a ? 0, a ? 1) , 所以 f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a , f ?(0) ? 0 , 又因为 f (0) ? 1 ,所以函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 .(3 分) (2)由⑴, f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + (a x ? 1)ln a . 因为当 a ? 0, a ? 1 时,总有 f ?( x) 在 R 上是增函数, 又 f ?(0) ? 0 ,所以不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) , 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, +?) ,递减区间为

? ??,0?

(7 分)

(3)因为存在 x1 , x2 ? [?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成立, 而当 x ? [?1,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x) max ? f ( x) min , 所以只要 f ( x) max ? f ( x) min ≥ e ? 1 即可. 又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:

x

(??,0)

0 0
极小值

(0, +?)

f ?( x)

?
减函数

+
增函数

f ( x)

所以 f ( x) 在 [?1,0] 上是减函数,在 [0,1] 上是增函数,所以当 x ? [?1,1] 时, f ? x ? 的最小值

f ? x ?min ? f ? 0 ? ? 1 ,

f ? x ? 的最大值 f ? x ?max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大值.
因为 f (1) ? f (?1) ? ( a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ?

1 a

1 ? 2ln a , a

1 1 2 1 ? 2ln a(a ? 0) ,因为 g ?(a) ? 1 + 2 ? ? (1 ? ) 2 ? 0 , a a a a 1 所以 g (a ) ? a ? ? 2ln a 在 a ? ? 0,1?、 +? ? 上是增函数. ?1, a
令 g (a) ? a ? 而 g (1) ? 0 ,故当 a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ; 当 0 ? a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) . 所以,当 a ? 1 时, f (1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即 a ? ln a ≥ e ? 1 ,函数 y ? a ? ln a 在 a ? (1, ??) 上 是增函数,解得 a ≥ e ;当 0 ? a ? 1 时, f (?1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即

1 ? ln a ≥ e ? 1 ,函数 a

1 1 ? ln a 在 a ? (0,1) 上是减函数,解得 0 ? a ≤ . a e 1 综上可知,所求 a 的取值范围为 a ? (0, ] ? [e, +?) .(12 分) e y?
22.解:(1)连接 DE ,因为 ACED 是圆内接四边形,所以 ?BDE ? ?BCA, 又 ?DBE ? ?CBA, ? ?DBE ∽ ?CBA ,即有 又因为 AB ? 2 AC ,可得 BE ? 2DE, 因为 CD 是 ?ACB 的平分线,所以 AD ? DE , 从而 BE ? 2 AD (5 分)

BE DE ? , BA CA

(2)由条件知 AB ? 2 AC ? 6 ,设 AD ? t , 则 BE ? 2t , BC ? 2t ? 6 ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC ,
2 即 (6 ? t ) ? 6 ? 2t ? (2t ? 6), 即 2t ? 9t ? 18 ? 0 ,

解得 t ?

3 3 或 ? 6 (舍去) ,则 AD ? . (10 分) 2 2
2 2 2 2 2

23.解: (1)∵ ? ? 6? sin ? ? ?8 ? x ? y ? 6 y ? ?8 ? x ? ( y ? 3) ? 1 , ∴圆 M 的直角坐标方程为 x ? ( y ? 3) ? 1;(5 分)
2 2

(2) 把直线 l 的参数方程 ?

? x ? ?4t ? a ( t 为参数) 化为普通方程得:3x ? 4 y ? 3a ? 4 ? 0 , ? y ? 3t ? 1
3 , 且 圆 M 的 圆 心 M ( 0 , 3到 ) 直线 l 的距离

∵直线 l 截圆 M 所得弦长为

d?

37 |16 ? 3a | 3 1 9 , ? 12 ? ( )2 ? ? a ? 或 a ? 6 5 2 2 2 37 9 或 a ? .(10 分) 6 2

∴a ?

24.解:(1) x ? 1 ? x ? 4 ? 5 等价于

?x ? 1 ?1 ? x ? 4 或? ? ??2 x ? 5 ? 5 ?3 ? 5
解得: x ? 0 或 x ? 5 .

或?

?x ? 4 , ?2 x ? 5 ? 5

故不等式 f ( x) ? 5 的解集为 {x x ? 0 或 x ? 5} .(5 分) (2)因为: f ( x) ? x ?1 ? x ? a ? ( x ?1) ? ( x ? a) ? a ?1 (当 x ? 1 时等号成立) 所以: f ( x)min ? a ?1 由题意得: a ? 1 ? 4 , 解得 a ? ?3 或 a ? 5 .(10 分)


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