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直线的斜率和倾斜角教案


2 江苏省吴中职业教育中心校教师教学简案 学科 简 介 授课班级 授课地点 地位作用 数学 课 题 直线的倾斜角和斜率

授课教师 授课时间

直线是最基本的曲线,直线的倾斜角和斜率是解析几何的开篇之作,是直线部分最最 重要的内容之一,也是今后学习直线方程以及研究直线的位置关系的基础。 知识目标 理解直线的倾斜角及斜率的概念,熟记过两点的直

线斜率的计算公式 提高学生分析、比较、概括等数学能力,培养学生运用知识解决问题的 能力 养成细心观察、自主探究的良好习惯,通过数与形的统一美,激发学生 的学习兴趣

教 学 目标

能力目标 情感目标

学情 分析 教 学 重 点 教 学 难 点 教 学 方 法 学习 方法 教学 用 具

中职班学生,数学思维能力不够强,对直角三角形有所熟悉,能在老师的引导下完成 学习任务,能在坐标系内表示点 倾斜角、斜率的概念及斜率公式的应用 直线的倾斜角和斜率之间的关系以及斜率公式的推导 多媒体演示、直观教学、引导探究、讲练结合、评价反馈,师生互动、激发兴趣 教师作引导、学生为主体、问题为主线、自主探究、边学边练,观察、思考、尝试、 合作 三角板,多媒体设备

教 教 学 环 节





程 手段、方法 媒体运用 幻灯片

教 (一)创设情境、激发兴趣







图片展示美丽的苏通大桥,绚烂多姿,给人以美的享受,唤起学 第一部分 生对现实世界中多姿多彩的曲线的注意,直观感受到直线是最基本的 引出新课 图形,是最简单的曲线。 (二)提出问题、自主探究 1.经过一点,可以确定多少条直线?(让学生画) 2. 几点可以确定一条直线? 让学生观察、思考,用什么量来刻画直线的倾斜程度? 引出直线倾斜角的概念.

学生尝试、观 察 引出倾斜角 的概念

( ( 第二部分: 新课





一、倾斜角 (三)深入讨论、提炼结论 1.倾斜角:设直线 l 是直角坐标系中一条和 x 轴相交的直线, x 轴绕 着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角 ? , 可以很 好的反应直线 l 的倾斜程度,我们把 ? 叫做直线 l 的倾斜角. 用几何画板演示直线倾斜角的范围: 0 ? ? < ? 特殊情况:1.直线和 x 轴平行时,倾斜角规定为 0°; 2.直线和 x 轴垂直时,倾斜角是 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直 线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角 ? 来表示平面直角坐标系内 的每一条直线的倾斜程度. 几何画板演 示 横线 竖线

1.概念 2.范围 3.注意点

y

o

x

故确定平面直角坐标系内的一条直线位置还可以有一个点和直线的 ....... 倾斜角唯一确定. ....... . 二、斜率 1.概念 2. ? 和 k 为了更好的表示直线的倾斜程度,我们再引入一个新的概念------斜 率 .什么是斜率? 我们把直线的倾斜角 ? ( ? ? 通常用 k 表示,即 k = tan ?

?
2

)的正切值 tan ? 叫做直线的斜率,

倾斜角 ? 和斜率 k 之间的关系为: (1) 当 ? =0 时,直线和 x 轴平行,即 k =0;

学生填写学 案内容

(2) 当 0< ? < (3) 当 ? = (4) 当

? < ? < ? 时,直线的倾斜角为钝角,即 k <0. 2

? ,时,直线的倾斜角为 90°,即 k 不存在; 2

? 时,直线的倾斜角为锐角,即 k >0; 2

判断: ①直线的倾斜角为α ,则直线的斜率为 tan ? ; ( ②直线的斜率的范围是 (??, ??) ; ( )

) 探究过两点 ) 的直线的斜 率

③任一条直线都有倾斜角,所以任一条直线都有斜率; ( ④两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也相等 ; ( ) ⑤平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0 或π 。 ( ) 两点可以确定一条直线,那么直线的倾斜角肯定也能确定了.

下面我们要来研究: 给定直线 l 上两点的坐标 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) , 1 2 并且 x1 ? x2 ,如何计算直线 l 的斜率 k ?(如下图)

根据平行和直角三角形中正切的计算可以得:

tan ? ?

y2 ? y1 x2 ? x1

特殊情况:1.直线和 x 轴平行时,倾斜角规定为 0°,即 k =0; 2.直线和 x 轴垂直时,倾斜角是 90°,即斜率 k 不存在. 3.斜率公式 直线上两点的斜率公式: 平面上的过两点 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) , x1 ? x2 )的直线 l 的斜率 ( 1 2 公式及公式 的注意点

k 为:k= tan ? ?

y2 ? y1 x2 ? x1

( x1 ? x2 )

公式的特点: (1)与两点的顺序无关; (2) 公式表明直线对于 x 轴的倾斜度,可以通过直线上任意两点的坐 标来表示,而不需要求出直线的倾斜角; (3)当 x1 ? x2 时,公式不适用,此时直线与 x 轴垂直,斜率不存在. (四)学以致用、深化理解 例 1.设直线 l 经过点 A(3,-1) ,B(-1,-4) ,试求出 l 的斜率 k . 例 2.设直线 l 经过点 A(-2,4) ,B(3,2) ,试求出 l 的斜率 k 学生练习:求经过下列两点的直线的斜率,并确定倾斜角的取值范围 (说明倾斜角是零角、锐角、直角还是钝角).

应用公式

学生完成学 案,巩固知 识,熟悉公式 的应用

( 1. A 3, 2) 和 B(0,-1) 2. A 4,1 (- )和B(0,-1)
3. A 0,3 ( )和B(0,-1)4. A 2, ?1 ( )和B(0,-1) 知识提升

第三部分例 题和学生练 习

思考题: 已知直线 l 经过三点 P (3,5), P ( x,7), P (?1, y) ,若直线 l 的斜率 1 2 3 学生小结、补 充

k ? 2, 求x, y的值.
(五)总结评价、巩固提高(由学生总结) 1. 直线的倾斜角的定义; 2. 直线的斜率的定义; 3. 两点间的斜率公式. 作业布置:1.上交学案 2.p34 课内练习 2 2.

第四部分: 小结

板书设计 一、倾斜角 1.概念 2.范围 二、斜率 1.概念 2.公式

直线的倾斜角和斜率 例题 1 例题 2 例题 3 1,2,3 学生练习 坐标系图 (练习时擦掉)



第五部分 作业布置

教学反思: 整个教学活动中,在学生已有的认知基础上进行设问和引导,关 注学生的认知过程,重视讨论、交流、合作,利用几何画板等多媒体

手段,帮助学生自主学习,让学生展示自我,体验成功。不足的是, 本节内容偏多,比较抽象,学生理解需要增加练习。我的体会以及今 后的努力方向是:只要我们教师真正把探究的主动权交给学生,学生 就多一些学习的兴趣,多一些表现的机会,也就多一份创造的信心。 附: 直线的倾斜角和斜率 学案 2.画出经过下面两点的直线(5 分)

1.画出经过下面一点的直线(5 分)

y y

x O O

x

3.倾斜角 ? 和斜率 k 之间的关系为: (40 分)

(1) 当 ? =0 时,直线和 x 轴平行,则 k = (2) 当 0< ? <



? 时,直线的倾斜角为锐角,则 k 2



(3) 当 ? =

? ,时,直线的倾斜角为 90°,则 k 2
.



(4) 当

? < ? < ? 时,直线的倾斜角为钝角,则 k 2

当 ? ? 45? 时,则 k =

;当 ? ? 30? 时,则 k =



当 ? ? 60? 时,则 k =

; 当 ? ? 120? 时,则 k =

.

4.判断: (10 分) (1)所有的直线都有倾斜角. (2)所有的直线都有斜率. ( ( ) )

5. 求经过下列两点的直线的斜率,并确定倾斜角的取值.(40 分)

( (1) A 3, 2) 和 B(0,-1),则 k =



(2) A 4,1 (- )和B(0,-1),则 k =



(3) A 0,3 ( )和B(0,-1),则 k =



(4) A 2, ?1 ( )和B(0,-1),则 k =



自我评价表 序号 主要 内容 练习 任务 要求 知识回顾,能否顺利完 成练习,并能讨论,得 出结果 是否熟练作对 是否题解 是否掌握,计算正确 分值 自评 互评

1,2

10

3 4 5 疑问

? 和k 的关
系 判断 斜率公式 的运用

40 10 40 合计


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