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考点33 直线与圆的位置关系


考点 33
一、选择题

直线与圆的位置关系

1. (2015·齐齐哈尔中考)如图,两个同心圆,大圆的半径为 5,小圆的半径为 3,若大圆 的弦 AB 与小圆有公共点,则弦 AB 的取值范围是 ( ) A. 8≤AB≤10 B. 8<AB≤10 C. 4≤AB≤5 D. 4<AB≤5

A

B

【答案】A 【解析】如图,作 OE⊥AB 交圆 O 于 E,过点 E 作 CD∥AB,交圆 O 于 C,D. 连接 OC, 则三角形 OCE 为直角三角形,且 OC=5,OE=3,由勾股定理求得 CE=4.所以 CD=8,根据题 意可知 AB 的取值范围是 8≤AB≤10,故选择 A.

2. (2015 吉林中考)如图,在⊙O 中,AB 为直径,BC 为弦,CD 为切线,连接 OC.若∠ BCD=50° ,则∠AOC 的度数为( ) A.40° B.50° C.80° D.100°

B A C O D

【答案】C 【解析】∵CD 为⊙O 的切线,∴∠OCD=90° ,又∵∠BCD=50° ,∴∠OCB=40° .∵OB =OC,∴∠OBC=∠BCO=40° ,∴∠AOC=2∠OBC=80° ,故选择 C. 3. (2015·张家界中考)如图,∠O=30°,C 为 OB 上一点,且 OC=6,以点 C 为圆心, 半径为 3 的圆与 OA 的位置关系是( )
1

A.相离

B.相交

C.相切

D. 以上三种情况均有可能

【答案】C 【解析】圆的半径为 3 ,点 C 到直线 OA 的距离为 3 ,∵ d=3 , r=3 ,∴ d=r ,∴直线 OA 与圆相切,故选择 C . 4. (2015·南京中考)如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC 分别与⊙O 相切于 E、 F、 G 三点, 过点 D 作⊙O 的切线交 BC 于点 M, 切点为 N, 则 DM 的长为 ( )

A.

13 3

B.

9 2

C.

4 13 3

D. 2 5

【答案】A 【解析】方法 1:连接 OE、OF、ON、OG,如下图:

∵四边形 ABCD 为矩形,∴∠A=∠B=90° ,CD=AB=4. ∵AD、AB、BC 分别与⊙O 相切于 E、F、G 三点,∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO= 90° , ∴四边形 AFOE、FBGO 都是正方形,∴AF=BF=AE=BG=2,∴DE=3. ∵DM 是⊙O 的切线,∴DN=DE=3,MN=MG.∴CM=5-2-MN=3-MN. 在 Rt△DMC 中, DM2=CM2+CD2, 即(3+NM)2=(3-NM)2+42, ∴NM= =

4 4 . ∴DM=3+ 3 3

13 . 3

故选择 A.
2

方法 2:设 MN=x,DN=y,根据切线长定理可得 GM=MN=x,ED=DN=y,AF=AE=5 -y,FB=BG=y-1,CM=6-(x+y),在 Rt△DMC 中,DM2=CM2+CD2, ∴(x+y)2=[6-(x+y)]2+42,解得 x+y=

13 13 ,即 DM= ,故选择 A. 3 3

5. (2015·青岛中考)如图,正六边形 ABCDEF 内接于⊙O,若直线 PA 与⊙O 相切于点 A, 则∠PAB 等于( ) A.30° B.35° C.45° D.60°

【答案】A 【解析】 如图, 连接 OA,OB, 因为正六边形 ABCDEF 内接于⊙O, 所以圆心角∠AOB 为 60°, 所以△AOB 是等边三角形,所以∠OAB=60°,又因为直线 PA 与⊙O 相切于点 A,所以∠ OAP=90°,∴∠PAB=∠OAP-∠OAB=90°-60°=30°.故选择 A.

D E O F A B P C

6.(2015·潍坊中考)如图,AB 是⊙O 的弦,AO 的延长线交过点 B 的⊙O 的切线于点 C, 若∠ABO=20° ,则∠C 的度数是( ) A.70° B.50° C.45° D.20°

3

【答案】B 【解析】∵OA=OB,∴∠A=∠ABO=20° ,∴∠COB=2∠A=40° ,∵BC 是⊙O 的切线,∴∠ OBC=90° .∴∠C=90° -∠COB=50° .故选择 B. 7. (2015 ·滨州中考 ) 若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2 ,则其内切圆半径的长为 ( ) A. 2 B. 2 2 ? 2 C. 2 ? 2 【答案】B 【解析】∵等腰直角三角形外接圆半径为 2, D. 2 ? 1

∴此直角三角形的斜边长为 4,两条直角边长为 2 2 ,
1 ∴它的内切圆半径为:r= ( 2 2 + 2 2 -4)= 2 2 ? 2 . 2

8. (2015·重庆中考)如图,AC 是⊙O 的切线,切点为 C,BC 是⊙O 的直径,AB 交⊙O 于点 D,连接 OD,若∠BAC=55° ,则∠COD 的大小为( ) A.70° B.60° C.55° D.35°

【答案】A 【解析】∵AC 是⊙O 的切线,∴∠ACB=90° ,∵∠BAC=55° ,∴∠B=35° ,∴∠COD=70° , 故选 A. 9. (2015·重庆中考)如图,AB 是⊙O 直径,点 C 在⊙O 上,AE 是⊙O 的切线,A 为切 点,连接 BC 并延长交 AE 于点 D.若∠AOC=80° ,则∠ADB 的度数为( ) A.40° B.50° C.60° D.20°

【答案】B 【解析】∵∠AOC=80° ,∴∠B=

1 1 ∠AOC= × 80° =40° . 2 2
4

∵AE 是⊙O 的切线,∴∠BAD=90° . ∴∠ADB=90° -∠B=90° -40° =50° ,故选择 B. 10. (2015·嘉兴中考)如图,△ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4,以点 C 为圆心的圆与 AB 相切,则⊙C 的半径为( ) A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6

C

A

B

【答案】B 【解析】△ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4,所以∠BCA=90° . 如图,过点 C 作 CD⊥AB,垂足为 D,则 CD=

AC ? BC 12 ? ,即 d=2.4. AB 5

因为直线 AB 与圆相切于 D,所以⊙C 的半径 r=d=2.4.故选 B. 11. (2015·乐山中考)如图,已知直线 y ?

3 x ? 3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点, P 4

是以 C (0,1) 为圆心, 1 为半径的圆上一动点,连结 PA 、 PB .则 ?PAB 面积的最大值 是

A. 8

B. 12 D.

21 C. 2
【答案】C

17 2

5

【解析】如图,平移 AB 使其与⊙C 相切于 P,此时 P 点距离 AB 最远, 连接AC,连接PC交AB于点H. ∵PC 经过⊙C 的圆心,MN∥AB,∴PH⊥AB.

3 x﹣3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,∴点 A 的坐标为(4,0) ,点 B 的坐标 4 1 1 16 16 21 为 (0, ﹣3) , 则 AB=5.∵S△ABC= · BC· AO= · AB· CH, ∴CH= , ∴PH=1+ = , ∴△PAB 2 2 5 5 5 21 21 面积的最大值是 ×5× = ,故选择 C . 5 2
∵直线 y= 12. (2015·南充中考)如图,PA 和 PB 是⊙O 的切线,点 A 和 B 是切点,AC 是⊙O 的直 径,已知∠P=40°,则∠ACB 的大小是( ) A.60° B.65° C.70° D.75° A

O

P

C

B

【答案】C 【解析】如图,连接 OB. 因为 PA 和 PB 是⊙ O 的切线,点 A 和 B 是切点,所以 ?OAP ? ?OBP ? 90? ,根据四边形内角和为 360? 且 ?P ? 40? 得 ?AOB ? 140? ,从而 得 ?COB ? 40? ,故 ?ACB ? 故选 C.
A

180? ? 40? ? 70? . 2

O

P

C

B

13.(2015·泸州中考) 如图,PA、PB 分别与⊙O 相切于 A、B 两点,若∠ C= 65° ,则 ∠P 的度数为( )
6

A. 65°

B. 130°

C. 50°

D. 100°

【答案】C 【解析】∵PA、PB 是⊙O 的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP.∴∠OAP=∠OBP=90° . 又∵∠AOB=2∠C=130° ,则∠P=360° -(90° +90° +130° )=50° .故选 C. 14. (2015·内江中考)如图,在⊙O 的内接四边形 ABCD 中,AB 是直径,∠BCD=120° , 过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于点 P,则∠ADP 的度数为( ) A.40° B.35° C.30° D.45°

【答案】C 【解析】如图,连接 OD,PD 是切线,所以∠PDO=90°,因为四边形 ABCD 是圆内接四 边形,∠BCD=120° ,所以∠DAB=60°,因为 OA=OD,所以∠ODA =∠OAD=60°,所以∠ ADP=∠PDO-∠ODA=30°,故选择 C.

15.(2015·贺州中考)如图,BC是⊙O的直径,AD是⊙O的切线,切点为D,AD与BC的 延长线交于点A,∠C=30°,给出下面四个结论: ①AD=DC;②AB=BD;③AB= 其中正确的个数为(

1 BC;④BD=CD, 2



7

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】如图,连接DO,∵BC是⊙O的直径,AD是⊙O的切线,切点为D,∴∠BDC=∠AD O=90°,∵DO=CO,∴∠CDO=∠C=30°,∴∠DOB=60°,∵∠ADO=90°,∴∠A=∠C= 30°,∴AD=DC,故①正确;∵∠A=30°,∠DBC=60°,∴∠ADB=30°,∴AB=BD,故 ②正确;∵∠C=30°,∠BDC=90°,∴BD= 法得到BD=CD,故④错误.故选B.

1 1 BC,∵AB=BD,∴AB= BC,故③正确;无 2 2

16.(2015·厦门中考)如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是边 BC 的中点,一个圆过点 A, 交边 AB 于点 E,且与 BC 相切于点 D,则该圆的圆心是( A.线段 AE 的中垂线与线段 AC 的中垂线的交点 B.线段 AB 的中垂线与线段 AC 的中垂线的交点 C.线段 AE 的中垂线与线段 BC 的中垂线的交点 D.线段 AB 的中垂线与线段 BC 的中垂线的交点 )

【答案】C 【解析】因为三角形的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点,选项 A 中,点 C 不在圆上, 错误;选项 B 中,点 B 不在圆上,错误;∵AB=AC,D 是边 BC 的中点 ,∴直线 AD 垂直 平分 BC,又∵此圆与 BC 相切于点 D,∴此圆的圆心一定在直线 AD 上,故该圆的圆心是 线段 AE 的中垂线与线段 BC 的中垂线的交点,选项 C 正确;选项 D 中,点 B 不在圆上,错 误,故选择 C. 17. (2015·漳州中考)已知⊙P 的半径为 2,圆心在函数 y ? ?

8 的图象上运动,当⊙P 与 x

坐标轴相切于点 D 时,则符合条件的点 D 的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 【答案】D 【解析】如图,若⊙P 与 x 轴相切,此时点 P 到 x 轴的距离为 2,即令 y=2 或 y=-2,有两 种情况;同理当点 P 到 y 轴的距离为 2 时,也有两种情况;综上可知对应的切点 D 有 4 个,
8

故选择 D .

18. (2015·广州中考)已知⊙O 的半径是 5,直线 l 是⊙O 的切线,在点 O 到直线 l 的距 离是( ) A.2.5 B.3 C.5 D.10 【答案】C 【解析】∵直线 l 是圆 O 的切线,∴点 O 到直线 l 的距离等于圆的半径 5,故选择 C .

19.(2015· 汕尾中考)如图,AB是⊙O的弦,AC是⊙O的切线,A为切点,BC经过圆心. 若∠B=20°,则∠C的大小等于( ) A.20° B.25° C.40° D.50°

【答案】D 【解析】如图,连接OA,∵AC是⊙O的切线,∴∠OAC=90°.∵∠B=20°,∴∠AOC= 40°,∴∠C=50°.故选D.

20. (2015·北海中考)三角形三条中线的交点叫做三角形的( ) A.内心 B.外心 C.中心 D.重心
9

【答案】D. 【解析】根据三角形的重心的概念,可知三角形三条中线的交点即为三角形的重心,故选择 D. 21. (2015·河池中考)我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”, 如图,直线 l:y=kx+4 3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,∠OAB=30° ,点 P 在 x 轴上、⊙P 与 l 相切,当 P 在线段 OA 上运动时,使得⊙P 成为“整圆”的点 P 的个数是( ) A.6 B. 8 C. 10 D. 12
y B l

O

P

A

x

【答案】A 【解析】∵直线 l:y=kx+4 3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,∴B(0,4 3 ),∴OB=4 3 , 在 Rt△ AOB 中,∠OAB=30° ,∴OA= 3 OB= 3 × 4 3 =12, ∵⊙P 与 l 相切,设切点为 M,连接 PM,如图,则 PM⊥AB,∴PM= 设点 P 坐标为(x,0),∴PA=12-x, ∴⊙P 的半径 PM=

1 PA, 2

1 1 PA=6- x, 2 2

∵x 为整数,PM 为整数, ∴x 可以取 0,2,4,6,8,10,6 个数,满足上述条件的点有(0,0) 、 (2,0) 、 (4,0) 、 (6,0) 、 (8,0) 、 (10,0) ,共 6 个 ,∴使得⊙P 成为“整圆”的点 P 的个数是 6.故选 择A.

二、填空题
1. (2015· 大庆中考)边长为1的正三角形的内切圆半径为
【答案】



3 6

10

【解析】如图,因为△ABC是正三角形,所以其内切圆的半径、外接圆的半径和三角形 的边的一半组成一个含30°角的直角三角形,则∠OBD=30°,BD=

1 ,所以tan∠OBD 2



OD 3 , ? BD 3 3 1 3 3 .故答案为 . ? ? 3 2 6 6

所以内切圆半径 OD ?

C 2. (2015·鄂州中考)已知点 P 是半径为 1 的⊙O 外一点,PA 切⊙O 于点 A,且 PA=1, AB 是⊙O 的弦,AB= 2 ,连接 PB,则 PB= 【答案】1 或 5 .

A P C
图1

B

A P B
图2

O

O

【解析】如图 1,延长 BO交⊙O于点C,连接PC, ∵PA 切⊙O 于点 A,∴OA⊥PA, ∵AB= 2 ,OA=OB=1,∴OA⊥OB, ∵OA⊥PA,OA⊥OC,∴PA∥OC. 由题可知 PA=1,OC=1,∴PA=OC, ∴四边形OAPC 是平行四边形. ∵OA⊥PA,∴∠OAP=90°,∴平行四边形 OAPC 是矩形. ∴∠PCB=90°,
11

PC=AO=1. 在 Rt△PCB 中,CP=1,BC=2, ∴PB= 12 ? 2 2 = 5 . 如图2,易证四边形 OAPB 是正方形,∴PB=1. 故答案为1或 5 .
3. (2015·镇江中考)如图,AB 是⊙O 的直径,OA=1,AC 是⊙O 的弦,过点 C 的切线 交 AB 的延长线于点 D.若 BD= 2 -1,则∠ACD=___________.

C A O B D

【答案】112.5° 【解析】如图,连接 OC,∵CD 是⊙O 的切线,∴∠OCD=90°,∵OB=1,BD= 2 -1, ∴OD=

2 ,∴CD= OD2 ? OC 2 =1=OC,∴∠COD=45°,∵OA=OC,∴∠OAC
1 ×45°=22.5°, ∴∠ACD=∠OCD+∠ACO=90°+22.5°=112.5°, 故答 2

=∠OCA=

案为 112.5°.

C A O B D

4. (2015·徐州中考)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 在 AB 的延长线上,CD 与⊙O 相切 于点 D,若∠C=20° ,则∠CDA= .

12

【答案】125° 【解析】连接 OD,如图.∵CD 是⊙O 切线,∴OD⊥CD,即∠CDO=90° ,∵∠C=20° ,∴∠COD =70° , 而∠COD=∠ODA+∠OAD, ∵OD=OA, ∴∠ODA=∠OAD, ∴∠COD=2∠ODA, ∴∠ODA =35° ,∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90° +35° =125° .故答案为 125° .

5. (2015·泰安中考)如图,AB 是⊙O 的直径,且经过弦 CD 的中点 N,过 CD 延长线上 一点 E 作⊙O 的切线,切点为 F,若∠ACF=65° ,则∠E= .

【答案】50° 【解析】连接 BC、OF,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90° ,∠ACF=65° ,∴∠BCF=25° , ∴∠BOF=50° ,又∵EF 是⊙O 的切线,∴∠OFE=90° ,∵AB 是⊙O 的直径,且经过弦 CD 的中点 N,∴CD⊥OA,即∠OND=90° ,∵四边形 ONEF 的内角和是 360° ,∴∠NOF+∠ E=180° ,∵∠BOF+∠NOF=180° ,∴∠E=∠BOF=50° .故答案为 50° .

6.(2015· 济南中考)如图,PA 是⊙O 的切线,A 是切点,PA=4,OP=5,则⊙O 的周长
13



(结果保留 π ) .

A

O

P

【答案】6π

【解析】∵连接 OA,PA 切⊙O 于 A 点, ∴OA⊥PA. 在 Rt△OPA 中,PA=4,OP=5, ∴OA= OP2 ? PA2 =3.
∴⊙O 的周长为 2π ×3=6π . 故答案为 6π . 7. (2015·甘南中考)如图,两个同心圆,大圆的半径为 5cm,小圆的半径为 3cm,若大 圆的弦 AB 与小圆相交,则弦 AB 的取值范围是 .

【答案】8<AB≤10 【解析】解:当 AB 经过圆心时最长,此时 AB=2×5=10. 如图,当 AB 与小圆相切于点 D 时,利用勾股定理可得 AD=4.利用垂径定理可得 AB=8.

根据直线与圆的位置关系可知,若大圆的弦 AB 与小圆相交,则 8<AB≤10.故答案为 8< AB≤10. 8. (2015·百色中考)如图,PA 是⊙O 的切线,切点为 A,PO 的延长线交⊙O 于点 B,若 ∠ABP=33°,则∠P=________°.

14

【答案】24 【解析】连接 OA, ∵PA 是⊙O 的切线, ∴∠OAP=90°, ∵∠ABP=33°, ∴∠AOP=66°, ∵∠OAP=90°, ∴∠P=24°. 故答案为 24 . 9.(2015·宁波中考)如图,在矩形 ABCD 中,AB = 8,AD = 12,过 A,D 两点的⊙O 与 BC 边相切于点 E. 则 ⊙O 的半径为 .

【答案】

25 4

【解析】如图,连接 EO 并延长交 AD 于点 F,连接 OA, ∵⊙O 与 BC 边相切于点 E,∴OE⊥BC, ∵四边形 ABCD 为矩形,AB = 8,AD = 12,∴BC∥AD,∴OF⊥AD,
15

∴AF=DF=6,设⊙O 的半径为 r,则 OF=8-r,在 Rt△OFA 中, OF ? AF ? OA ,
2 2 2

即 (8 ? r )2 ? 62 ? r 2 ,解得 r ?

25 25 ,故答案为 . 4 4

AD 的 10. (2015·广元中考)如图,在⊙O 中,AB 是直径,点 D 是⊙O 上一点,点 C 是 ?

中点,CE⊥AB 于点 E,过点 D 的切线交 EC 的延长线于点 G,连接 AD,分别交 CE、 CB 于点 P、Q.连接 AC.关于下列结论:① ? BAD= ? ABC;②GP=GD;③点 P 是△ ACQ 的外心,其中正确的结论是____(只需填写序号) .
G C Q P A E O B

D

【答案】②③ 【解析】如图,连接 OD,
G C Q P A E O B

D

∵DG 是⊙O 的切线,∴∠GDO=90° . ∴∠GDP+∠ADO=90° . 在 Rt△APE 中,∠OAD+∠APE=90° , ∵AO=DO,∴∠OAD=∠ADO. ∴∠APE=∠GPD=∠GDP,∴GP=GD,∴结论②正确. ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90° , ∴∠CAQ+∠AQC=90° . 又∵∠ABC+∠BCE=90° .
AD 的中点,∴∠CAQ=∠ABC. ∵点 C 是 ?

∴∠AQC=∠BCE,∴PQ=PC. ∵∠ACP+∠BCE=90° ,∠AQC+∠CAP=90° , ∴∠CAP=∠ACP,∴AP=CP, ∴AP=CP=PQ,∴点 P 是△ACQ 的外心,∴结论③正确.
? 与 CD ? 的大小关系,因而不能确定 ? BAD 与 ? ABC 的大小关系,∴结论 由于不能确定 BD

①不一定正确. 故答案是②③.

16

11. (2015·沈阳中考)如图,在△ABC 中, AB=AC,∠B=30° , 以点 A 为圆心,以 3cm 为半径作⊙A,当 AB= cm 时,BC 与⊙A 相切.

A C

A C

B

B

D

【答案】6 【解析】如图,作 AD⊥BC 于点 D,当 AD=3cm 时,BC 与⊙A 相切. ∵AD⊥BC 于点 D, ∠B=30° ,∴AB=2AD=6 cm,故答案为 6. 12. (2015·宜宾中考)如图,AB 为⊙O 的直径,延长 AB 至点 D,使 BD=OB,DC 切⊙

? 的中点, O 于点 C, 点 B 是 CF 弦 CF 交 AB 于点 E. 若⊙O 的半径为 2, 则 CF=



【答案】2 3 【解析】连结 OC,∵CD 是圆 O 的切线,∴OC⊥CD, ∵BD=OB,∴OD=2OC, ∴∠D=30° ,∠COD=90° -∠D=60° .

? 的中点, ∵AB 为⊙O 的直径,点 B 是 CF
∴AB⊥CF,CE=EF. ∴在 Rt△OCE 中,CE=OC· sin∠COD=2sin60° = 3 ,∴CF=2CE=2 3 .

三、解答题
1. (2015·黄石中考)如图,⊙O 的直径 AB=4,∠ABC=30° ,BC 交⊙O 于点 D,D 是 BC 的中点. (1)求 BC 的长; (2)过点 D 作 DE⊥AC,垂足为 E,求证:直线 DE 是⊙O 的切线.

17

C

D E A O B

解: (1)如图,连接 AD,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB = 90° ,又∠ABC = 30° ,AB = 4, ∴BD = 2 3 ,∵D 为 BC 的中点,∴BC = 2BD = 4 3 . 证明:(2)如图,连接 OD,∵D,O 分别为 BC,AB 的中点,∴DO 是△ABC 的中位线,∴ DO // AC,又∵DE⊥AC,∴DO⊥DE,∴直线 DE 是⊙O 的切线.
C D E A O B

2. (2015·常德中考)已知如图,以 Rt△ABC 的 AC 边为直径作⊙O 交斜边 AB 于点 E,连 接 EO 并延长交 BC 的延长线于点 D,点 F 为 BC 的中点,连接 EF. (1)求证:EF 是⊙O 的切线; (2)若 ? O 的半径为 3,∠EAC=60°,求 AD 的长.

证明: (1)如图,连接 FO. ∵点 F 为 BC 的中点,点 O 是 AC 的中点, ∴OF 是△ABC 的中位线, ∴OF∥AB, ∵AC 是⊙O 的直径, ∴CE⊥AE. ∵OF∥AB, ∴OF⊥CE, ∴OF 所在直线垂直平分 CE, ∴FC=FE,OE=OC, ∴∠FCE=∠FEC, ∠OEC=∠OCE, ∵∠ACB=90°,
18

即∠OCE+∠FCE=90°, ∴∠OEC+∠FEC=90°, 即∠FEO=90°, ∴FE 为 ? O 的切线.

解: (2)∵ ? O 的半径为 3, ∴AO=CO=EO=3. ∵∠EAC=60°,OA=OE,∴△AEO 为等边三角形, ∴∠EOA=60°, ∴∠COD=∠EOA=60°. ∵在 Rt△OCD 中,∠COD=60°,OC=3, ∴CD= 3 3 . ∵在 Rt△ACD 中,∠ACD=90°,AC=6, ∴AD= AC 2 + CD2 = 62 + (3 3)2 = 63 = 3 7 .

3. (2015·衡阳中考)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C、D 为半圆 O 的三等分点,过点 C 作 CE⊥AD,交 AD 的延长线于点 E. (1)求证:CE 为⊙O 的切线; (2)判断四边形 AOCD 是否为菱形,并说明理由.

证明: (1)如图,连接 OD,∵点 C、D 为半圆 O 的三等分点,
1 ∴∠BOC= ∠BOD, 2 1 又∠BAD= ∠BOD, 2

∴∠BOC=∠BAD,
19

∴AE∥OC, ∵AD⊥EC, ∴OC⊥EC, ∴CE 为⊙O 的切线.

解: (2)四边形 AOCD 是菱形.理由如下: ∵点 C、D 为半圆 O 的三等分点, ∴∠AOD=∠COD=60°, ∵OA=OD=OC, ∴△AOD 和△COD 都是等边三角形, ∴OA=AD=DC=OC=OD, ∴四边形 AOCD 是菱形.

4. cm(2015·连云港中考)已知如图,在平面直角坐标系 xoy 中,直线 y ? 3x ? 2 3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,P 是直线 AB 上一动点,⊙P 的半径为 1, (1)判断原点 O 与⊙P 的位置关系,并说明理由; (2)当⊙P 过点 B 时,求⊙P 被 y 轴所截得的劣弧的长; (3)当⊙P 与 x 轴相切时,求出切点的坐标.

解: (1)由直线 AB 的函数关系式 y ? 3x ? 2 3 ,

20

得其与两坐标轴交点坐标 A(2,0) ,B(0, ?2 3 ) . 在 Rt△ABO 中, tan ?ABO ?

2 2 3

?

3 ,∴∠ABO=30° . 3

如图 1,过点 O 作 OH⊥AB 于点 H,在 Rt△BOH 中,OH=OB· sin∠ABO= 2 3 × 因为 3 >1,所以原点 O 在⊙P 外.

1 ? 3. 2

(2)如图 2,当⊙P 过点 B,圆心 P 在 y 轴右侧时,⊙P 被 y 轴所截得的劣弧所对圆心角为 120° ,所以弧长为

120 ? ? ? 1 2? ? . 180 3

同理,当⊙P 过点 B,圆心 P 在 y 轴左侧时,⊙P 被 y 轴所截得的劣弧长同样为 (3)如图 3,当⊙P 与 x 轴相切,且位于 x 轴下方时,设切点为 D1. 在 Rt△APD1 中, AD1=D1P· tan∠APD1=1× tan30° =

2? . 3

3 3 .此时切点 D1 的坐标为 (2- , 0) ; 3 3 3 ,0) . 3

当⊙P 与 x 轴相切,且位于 x 轴上方时,根据对称性可求得切点 D2 的坐标为(2+

5. (2015·盐城中考)如图,在△ABC 中,∠CAB=90°,∠CBA=50°,以 AB 为直径作 ⊙O 交 BC 于点 D,点 E 在边 AC 上,且满足 ED=EA. (1)求∠DOA 的度数; (2)求证:直线 ED 与⊙O 相切.

21

C

E

D

A

O

B

解: (1)∵∠CBA=50° ,∴∠DOA=2∠DBA=100° ; 证法 1:如图,连接 OE,在△EAO 和△EDO 中,∵AO=DO,EA=ED,EO=EO,∴△EAO ≌△EDO,∴∠EDO=∠EAO=90° ,∴直线 ED 与⊙O 相切.
C

E

D

A

O

B

证法 2:如图,连接 AD,∵AO=DO,∴∠OAD=∠ODA;∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA, ∠ODA+∠EDA=∠OAD+∠EAD,即∠EDO=∠EAO=90°,∴直线 ED 与⊙O 相切.
C

E

D

A

O

B

6.(2015·宁夏族回族自治区中考)如图,AC 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的弦,点 P 是⊙O 外 一点,连接 PB、AB, ?PBA ? ?C . (1)求证:PB 是 ⊙O 的切线; (2)连接 OP,若 OP ∥ BC ,且 OP=8, ⊙O 的半径为 2 2 ,求 BC 的长.

22

证明:(1)如图,连接 OB,∵AC 是⊙O 的直径, ∴∠CBO+ ∠OBA =90° . ∵OC=OB, ∴∠C=∠CBO. ∵ ?PBA ? ?C , ∴ ?PBA ? ?CBO . ∴ ?PBA + ∠OBA =90° ,即 ?PBO =90° . ∴PB 是 ⊙O 的切线. 解:(2) ∵ OP ∥ BC , BC⊥AB, ∴ OP ⊥AB,∠C= ?AOP , ∵OA=OB, ∴ ?AOP = ?BOP . ∴ ?C = ?BOP . ∴Rt△ABC∽Rt△PBO, ∴

AC BC ? . OP OB

∵ ⊙O 的半径为 2 2 , ∴AC= 4 2 ,OB= 2 2 ,∴ ∴BC=2.

4 2 BC , ? 8 2 2

7. (2015·包头中考)如图,AB 是⊙O 的直径,点 D 是AE上一点,且∠BDE=∠CBE, BD 与 AE 交于点 F. (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)若 BD 平分∠ABE,求证:DE2=DF·DB; (3)在(2)的条件下,延长 ED,BA 交于点 P,若 PA=AO,DE=2,求 PD 的长和⊙O 的 半径.



23

证明: (1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AEB=90° ,∴∠EAB+∠EBA=90° . ∵∠EDB=∠EAB,∠BDE=∠CBE,∴∠EAB=∠CBE,∴∠ABE+∠CBE=90° ,∴CB⊥AB. ∵AB 是⊙O 的直径,∴BC 是⊙O 的切线; 证明: (2) ∵BD 平分∠ABE, ∴∠ABD=∠DBE, AD=DE, ∴∠DEA=∠DBE. ∵∠EDB=∠BDE, ∴△DEF∽△DBE,∴

︵ ︵

DE DF ? ,∴DE2=DF?DB. DB DE

解: (3)如图,连接 DA、DO,∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,∵∠EBD=∠OBD,

PD PO ? .∵PA=AO,∴PA=AO=OB, PE PB PO 2 PD 2 PD 2 ? ,∴ ? , ? . ∴ ∴ ∵DE=2, ∴PD=4. ∵∠PDA+∠ADE=180° , PB 3 PE 3 PD ? DE 3
∴∠EBD=∠ODB,∴OD∥BE,∴ ∠ABE+∠ADE=180° ,∴∠PDA=∠ ABE,∵OD∥BE,∴∠AOD=∠ABE,∴∠PDA=∠AOD, ∵∠P=∠P,∴△PDA∽△POD,∴ 设 OA=x, ∴PA=x, PO=2x, ∴

PD PA ? . PO PD

4 x ? , ∴2x2=16, 解得 x=2 2 , ∴⊙O 的半径 OA=2 2 . 2x 4

P

8. j(2015·鄂尔多斯中考)如图,☉O 是△ABC 的外接圆,圆心 O 在 AB 上,且∠B=2 ∠A, M 是 OA 上一点,过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N,交 BC 的延长线于点 E,直线 CF 交 EN 于点 F,EF=FC. (1)求证:CF 是☉O 的切线. (2)设☉O 的半径为 2,且 AC=CE,求 AM 的长.

24

证法 1:(1)如图,连接 OC. ? ⊙O 是△ABC 的外接圆,圆心 O 在 AB 上, ? AB 是⊙O 的直径.

? ?ACB ? 90? .
又? ?B ? 2?A ,

??B ? 60o , ?A ? 30o .
? EM ? AB ,

? ?EMB ? 90? .
在 Rt ?EMB 中, ?B ? 60? ,??E ? 30? .
? 又? EF ? FC ,??ECF ? ?E ? 30 .

? ?ECA ? 90? ,? ?FCA ? 60? .

? OA ? OC ,? ?OCA ? ?A ? 30? .
??FCO ? ?FCA ? ?ACO ? 90? .

? OC 是⊙O 的半径,? FC是 ⊙O 的切线.

证法 2: (1)如图,连接 OC,令点 G 是直线 CF 上一点,且点 G 在点 C 左侧. ? ⊙O 是△ABC 的外接圆,圆心 0 在 AB 上,

? AB 是⊙O 的直径,? ?ACB ? 90? .
25

又? ?B ? 2?A ,??B ? 60 , ?A ? 30? .
?

在 Rt△EMB 中, ?EMB ? 90? , ?B ? 60? ,? ?E ? 30? . 又? EF=FC,? ?ECF ? ?E ? 30? .

??GCB ? 30? .

? OB ? OC ,? ?BCO ? ?B ? 60? .
? ?GCO ? ?GCB ? ?BCO ? 90? . ? OC 是⊙O 的半径,? FC是 ⊙O 的切线.

解法 1: (2)在 Rt△ABC 中, ?ACB ? 90 ,?A ? 30 , AB ? 4 .
? ?

? AC ? AB ? cos30? ? 4 ?

1 3 ? 2 3 , BC ? AB ? sin 30? ? 4 ? ? 2 . 2 2

? AC ? CE ,? CE ? 2 3 .

? BE ? BC ? CE ? 2 ? 2 3 .
在 Rt△BEM 中, ?BME ? 90? , ?E ? 30? ,

? BM ? BE ? sin30 ? ? (2 ? 2 3 ) ?

1 ?1? 3 . 2

? AM ? AB ? BM ? 4 ? (1 ? 3 ) ? 3 ? 3 .
解法 2: (2)如图,连接 EA.

26

在 Rt△ABC 中, ?ACB ? 90? ,?A ? 30? , AB ? 4 ,

? AC ? AB ? cos 30 ? ? 4 ?

3 1 ? 2 3 , BC ? AB ? sin 30? ? 4 ? ? 2 . 2 2

? AC ? CE ,? CE ? 2 3 ,? BE ? BC ? CE ? 2 ? 2 3 .
? EM ? AB ,??EMB ? 90? .
? ? 在 Rt△BEM 中, ?BEM ? 30 ,? EM ? BE ? cos 30 ? (2 ? 2 3) ?

3 ? 3? 3 . 2

在 Rt△ACE 中,利用勾股定理得: AE ? CE ? AC ? 2 6 .
2 2

在 Rt△AEM 中,利用勾股定理得: AM ?

AE2 ? EM 2 ? (2 6 ) 2 ? (3 ? 3 ) 2

? 12 ? 6 3 ? (3 ? 3 ) 2 ? 3 ? 3 .
9.(2015·呼伦贝尔中考)如图,已知直线 l 与⊙O 相离,OA⊥l 于点 A,交⊙O 于点 P, OA=5,AB 与⊙O 相切于点 B,BP 的延长线交直线 l 于点 C. (1)求证:AB=AC; (2)若 PC=错误!未找到引用源。 ,求⊙O 的半径.

O B P C A
第 24 题图 证明:(1)连接 OB,如图. ∵AB 与⊙O 相切于点 B,
27

l

∴OB⊥AB. ∴∠1+∠4=90° . ∵OA⊥l, ∴∠2+∠5=90° . ∵OP=OB, ∴∠3=∠4. ∵∠3=∠5, ∴∠5=∠4. ∴∠1=∠2. ∴AB=AC.

O 3 4 1 5 P 2 C A B

l

解: (2)设⊙O 的半径为 r, ∵OA=5, ∴AP=5-r. 在 Rt△ABO 中, AB2 ? 52 ? r 2 ? AC 2 , 在 Rt△ACP 中, AC 2 ? AP2 ? PC 2 ,PC= 2 5 , ∴ 52 ? r 2 ? (5 ? r ) 2 ? (2 5 ) 2 . ∴r=3. ∴⊙O 的半径为 3. 10.(2015·南昌中考)⊙O 为△ABC 的外接圆,请仅用无刻度的直尺 ,根据下列条件分别在 ........ 图 1,图 2 中画出一条弦,使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分(保留作图痕迹,不写 作法). (1)如图 1,AC=BC; (2)如图 2,直线 l 与⊙O 相切于点 P,且 l∥BC.
P l

A

O

A B

O

C

B

C

图1 解:如图,

图2

28

弦 CD 即为所求的.

弦 AD 即为所求.

11. (2015·葫芦岛中考) 如图,△ABC 是等边三角形,AO⊥BC,垂足为点 O,⊙O 与 AC 相切于点 D,BE⊥AB 交 AC 的延长线于点 E,与⊙O 相交于 G、F 两点. (1)求证:AB 与⊙O 相切; (2)若等边三角形 ABC 的边长是 4,求线段 BF 的长.

证明: (1)如图, (1)过点 O 作 OM⊥AB,垂足为 M, 因为 AC 是⊙O 的切线, 所以 OD⊥AC, 所以∠ADO=∠AMO=90°, 因为△ABC 是等边三角形,且 AO⊥BC, 所以∠BAO=∠CAO, 所以 OD=OM, 所以 AB 是⊙O 的切线.

解:(2)如图,过点 O 分别作 OM⊥AB,ON⊥BE,垂足分别为点 M,N,连接 OF, 因为△ABC 是等边三角形,且 AO⊥BC, 所以点 O 是 BC 的中点, 所以 OB=OC=2, 在 Rt△OMB 中,∠ABC=60°, 所以 OM=OB·sin60°= 3 ,BM=OB·cos60°=1,
29

因为 BE⊥AB,ON⊥BE,OM⊥AB, 所以四边形 BMON 是矩形, 所以 ON=BM=1,BN=OM= 3 , 由题可知 OF=OM= 3 , 在 Rt△ONF 中,∠ONF=90°, 所以 NF?=OF?-ON?=2, 所以 NF= 2 , 所以 BF=BN+NF= 3 ? 2 , 所以线段 BF 的长为 3 ? 2 .

12. c(2015·南平中考) 如图,AB 是半圆 O 的直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 与半圆 O 相切于点 D,连接 AD,BD. (1)求证:∠BAD=∠BDC; (2)若∠BDC=28° ,BD=2,求⊙O 的半径(精确到 0.01) .

证法 1: (1)如图,连接 OD,∵CD 与半圆 O 相切于点 D, ∴OD⊥CD,∴∠CDO=90° , 即∠CDB+∠BDO=90° . ∵AB 是半圆 O 的直径,∴∠ADB=90° , 即∠ODA+∠BDO=90° , ∴∠BDC=∠ODA.
30

∵OD=OA,∴∠ODA=∠BAD, ∴∠BAD=∠BDC.

证法 2: (1)如图,连接 OD,∵CD 与半圆 O 相切于点 D, ∴OD⊥CD,∴∠CDO=90° , 即∠BDC+∠BDO=90° . ∵AB 是半圆 O 的直径,∴∠ADB=90° . ∴∠BAD+∠ABD=90° . ∵OB=OD,∴∠ABD=∠BDO. ∴∠BAD=∠BDC. 解: (2)由题可知∠BAD=∠BDC=28° ,在 Rt△ABD 中, sin ?BAD ?

BD , AB

BD 2 AB ? ,? ? 2.13. sin ?BAD sin 28? 2 ∴⊙O 的半径约为 2.13 .
∴ AB ? 13. (2015·武威中考)如图,已知在△ABC 中,∠A=90°. (l)请用圆规和直尺作出⊙P,使圆心 P 在 AC 边上,且与 AB,BC 两边都相切(保留作图 痕迹,不写作法和证明). (2)若∠B=60°,AB=3,求⊙P 的面积.

A

B
解: (1)如图,⊙P 为所求作的图.

C

(2)∵∠B=60°,BP 平分∠ABC, ∴∠ABP=30°,

31

∵tan∠ABP= ∴S⊙P=3 ? .

AP ,∴AP= 3 , AB

14. (2015·武威中考)已知△ABC 内接于⊙O,过点 A 作直线 EF. (1)如图①所示,若 AB 为⊙O 的直径,要使 EF 成为⊙O 的切线,还需要添加的一个条件 是(要求写出两种情况) :_____________或者__________________. (2)如图②所示, 如果 AB 是不过圆心 O 的弦, 且∠CAE=∠B, 那么 EF 是⊙O 的切线吗? 试证明你的判断.
F F

A

O

B

A

O B C

E

C

E

图1

图2

解:1)①∠BAE=90°,②∠EAC=∠ABC, 理由如下:①∵∠BAE=90°,∴AE⊥AB, ∵AB 为⊙O 的直径,∴EF 是⊙O 的切线; ②∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC+∠BAC=90°, ∵∠EAC=∠ABC, ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90°, 即 AE⊥AB,又∵AB 为⊙O 的直径,∴EF 是⊙O 的切线. (2)EF 是⊙O 的切线. 证明如下:作直径 AM,连接 CM, 则 ∠ACM=90°,∠M=∠B, ∴ ∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°, ∵ ∠CAE=∠B, ∴ ∠CAM+∠CAE=90°, ∴ AE⊥AM, 又∵ AM 为⊙O 的直径, ∴ EF 是⊙O 的切线. F A E O B M

C

15. (2015·厦门中考)已知四边形 ABCD 内接于⊙O,∠ADC=90° ,∠DCB<90° ,对角 线 CA 平分∠DCB ,延长 DA,CB 相交于点 E. (1)如图 1,EB=AD,求证:△ABE 是等腰直角三角形; (2)如图 1,连接 OE,过点 E 作直线 EF,使得∠OEF=30° .当∠ACE≥30° 时,判断直线
32

EF 与⊙O 的位置关系,并说明理由.

图1

图1

证明: (1)∵四边形 ABCD 内接于⊙O,∠ADC=90° ,∴AC 为⊙O 的直径,∴∠ABC=90° . ∴∠ABE=90° ,又∵对角线 CA 平分∠DCB ,∴DA=AB.∵EB=AD,∴AB=BE.∴△ABE 是等腰直角三角形. 解: (2)当∠ACE≥30° 时,直线 EF 与⊙O 的位置关系为相离. 理由如下:如图,过点 O 作 OH⊥EF 于点 H,∵CA 平分∠BCD, ,∴∠ACE=

1 ∠BCD, 2

∵∠ABC=∠D=90° ,∴∠AEB+∠BCD=∠AEB+∠BAE,∴∠BAE=∠BCD=2∠ACE, ∴∠AEB=90° -2∠ACE. ∵∠ACE≥30° ,∴∠EAC=∠D+∠ACD=90° , ∴在△AEO 中,EO>AE≥2r.在 Rt△EHO 中,∠OHE=90° , ∠OEF=30° ,∴OE=2OH,∴2OH>2r,∴OH>r, ∴直线 EF 与⊙O 相离.

16.(2015·梅州中考)在 Rt△ABC 中,∠A=90° ,AC = AB = 4,D,E 分别是边 AB,
33

AC 的中点.若等腰直角三角形 ADE 绕点 A 按逆时针方向旋转,得到等腰 Rt△AD1E1,设旋 转角为 α(0<α≤180° ) ,记直线 BD1 与 CE1 的交点为 P. (1) 如图 1, 当 α=90° 时, 线段 BD1 的长等于 , 线段 CE1 的长等于 ; (直接填写结果) (2)如图 2,当 α=135° 时,求证:BD1 = CE1,且 BD1⊥CE1; (3)求点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值. (直接写出结果)

图1 图2 解:(1)∵∠A=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点,

∴AE=AD=2.由旋转可得AE1=2,∠E1AE=90°,∴BD1= 22 ? 42 =2 5 ,E1C=
22 ? 42 =2 5 ;故答案为2 5 ,2 5 ;

证明:(2)∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A按逆时针方向旋转135°得到的,∴AD1=AE1 ,∠D1AB=∠E1AC=135°,又∵AB=AC,∴△D1AB≌△E1AC(SAS),∴BD1=CE1,且 ∠D1BA=∠E1CA,记直线BD1与AC交于点F,如图,∴∠BFA=∠CFP,∴∠CPF=∠FAB =90°, ∴BD1⊥CE1;

解:(3)如图,作PG⊥AB,交AB所在直线于点G,∵D1,E1在以A为圆心,AD为半径 的圆上,当BD1所在直线与⊙A相切时,直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大, 此时四边形AD1PE1是正方形,PD1=2,则BD1= 42 ? 22 =2 3 ,∠ABP=30°,可得PB =2+2 3 ,∴PG=

1 PB=1+ 3 . 2

17. cm(2015·梅州中考)如图,直线l经过点A(4,0),B(0,3). (1)求直线l的函数表达式;
34

(2)若圆 M 的半径为 2,圆心 M 在 y 轴上,当圆 M 与直线 l 相切时,求点 M 的坐标.

解:(1)∵直线l经过点A(4,0),B(0,3), ∴设直线l的解析式为:y=kx+b,

ì 3 ì 0 = 4k + b, ? ? ? k= - , ? ? ∴í ∴í 4 ? ? ? ? ? 3 = b. ? ? b = 3.
∴直线l的解析式为:y=-

3 x+3; 4

(2)∵直线l经过点A(4,0),B(0,3), ∴OA=4,OB=3.∴AB=5. 过 M 作 ME⊥AB 于点 E. 当⊙M与此直线l相切时,EM=2. 在△OBA和△EBM中, ∵∠OBA=∠EBM,∠ BOA=∠BEM=90° , ∴△OBA∽△EBM. ∴

AB OA 5 4 5 = ,即 = .∴BM= . BM EM BM 2 2 5 1 = ; 2 2 5 11 = . 2 2 1 11 )或(0, ). 2 2

①当点M在点B的下方时,OM=OB-BM=3-

②当点M在点B的上方时,OM=OB+BM=3+

所以,当⊙M与直线l相切时点M的坐标是(0,

18. (2015·贵港中考)如图,已知 AB 是⊙O 的弦,CD 是⊙O 的直径,CD⊥AB,垂足 为 E,且点 E 是 OD 的中点,⊙O 的切线 BM 与 AO 的延长线相交于点 M,连接 AC,CM. ⌒ (1)若 AB=4 3 ,求AB的长; (结果保留 π)
35

(2)求证:四边形 ABMC 是菱形.

解: (1)如图,连结 OB,由题可知 OA=OB,E 为 AB 的中点,∴∠AOE=∠BOE,OE⊥AB,

∵OE⊥AB,点 E 为 OD 的中点,∴OE=

1 1 OD= OA, 2 2

∴在 Rt△ AOE 中,∠OAB=30° ,∠AOE=60° ,∴∠BOE=∠AOE=60° ,

1 3 x,AE= x,∵AB=4 3 , 2 2 120 ? ? 4 8? ⌒ ∴AB=2AE= 3 x=4 3 ,解得 x=4,则AB的长= = ; 3 180
∴∠AOB=∠BOE+∠AOE =120° ,设 OA=x,则 OE= 证明:(2)由(1)得∠OAB=∠OBA=30° ,∠BOM=∠COM=60° ,∵BM 为圆 O 的切线, ∴OB⊥BM,∴∠OBM=90° ,∴∠BMA=180° ﹣90° ﹣60° =30° ,∴∠BAM=∠BMA=30° ,

?OC ? OB, ? ∴AB=BM,在△ COM 和△ BOM 中, ??COM ? ?BOM ,∴△COM≌△BOM, ?OM ? OM , ?
∴CM=BM,∠CMO=∠BMO=30° ,∴CM=AB,∠CMO=∠BAM,∴CM∥AB, ∴四边形 ABMC 为平行四边形,又 AB=BM,∴四边形 ABMC 是菱形.

19. (2015·桂林中考)如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形,AB=4,PC、PD 是⊙O 的两条切线,C、D 为切点. (1)如图 1,求⊙O 的半径; (2)如图 1,若点 E 是 BC 的中点,连接 PE,求 PE 的长度; (3)如图 2,若点 M 是 BC 边上任意一点(不含 B、C) ,以点 M 为直角顶点,在 BC 的上 方作∠AMN=90°,交直线 CP 于点 N,求证:AM=MN.
A O D
A O N D

P C
B M

P

B

E

C

图1

36

图2

解: (1)如图 1,连接 BD, ∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形,∴∠BAD=90°, ∴BD为⊙O的直径. 在Rt△ ABD中,∠BAD=90°,AB=AD=4,

∴BD= 4 2 . ∴⊙O的半径为2 2 ; 解:(2)如图1,连接EO,OC,OP, ∵PC、PD是⊙O的两条切线,C、D为切点, ∴∠ODP=∠OCP=90°, ∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形, ∴∠DOC=90°,OD=OC, ∴四边形DOCP是正方形, ∴OP=4. ∵点E是BC的中点, ∴OE⊥BC,OE=2, 在Rt△ OPF中,∠EOP=90°,OE =2,OP=4, ∴PE= OE 2 ? OP2 = 2 5 ; 证明:(3)如图2,在AB上截取AF=MC, ∵AB=BC,∴BF=BM, ∵∠B=90°,∴∠BFM=∠BMF=45°, ∴∠AFM=135°, 连结OC,OD,由(1)知四边形DOCP是正方形,在正方形OCPD中,∠DCN=45°, ∴∠MCN=∠AFM= 135°, ∵∠B=∠AMN=90°,∴∠MAB+∠AMB=∠CMN+∠AMB=90°, ∴∠MAB=∠CMN, ∴△AFM≌△MCN, ∴AM=MN.

20. (2015·梧州中考)已知:如图, AB 是⊙ O 的直径, CD 是⊙ O 的弦, AB 与 CD 交于点 E , CE ? ED ,过点 B 作 BF ∥ CD ,交 AC 的延长线于点 F . 求证: BF 是⊙ O 的切线.
37

证明:∵ AB 是⊙ O 的直径,CE=ED, ∴AB⊥CD,即∠AEC=90° ∵ BF ∥ CD , ∴∠FBA=∠AEC=90° , ∴ BF 是⊙ O 的切线.
21. (2015·柳州中考)如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,AD 与△ABC 的外接圆 ⊙O 恰好相切于点 A,边 CD 与⊙O 相交于点 E,连接 AE,BE. (1)求证:AB=AC; (2)若过点作 AH⊥BE 于点 H,求证:BH=CE+EH.

证明: (1)∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A,∴∠ABE=∠DAE,又∠EAC=∠EBC,∴ ∠DAC=∠ABC,∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∴∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC; (2)如图,作AF⊥CD于点F,∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ABC=∠AEF,∵∠A BC=∠ACB, ∴∠AEF=∠ACB,又∠AEH=∠ACB,∴∠AEH=∠AEF.

??AHE ? ?AFE ? 90?, ? 在△AEH和△AEF中, ??AEH ? ?AEF , ∴△AEH≌△AEF,∴EH=EF,∴CF=CE+EF= ? AE ? AE , ?
CE+EH,

??AHB ? ?AFC ? 90?, ? 在△ABH和△ACF中, ??ABH ? ?ACF , ∴△ABH≌△ACF,∴BH=CF=CE+EH. ? AB ? AC , ?
38

22. (2015·毕节中考)如图,以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆经过 A、B 两点,且 与 BC 边交于点 E,D 为 BE 的下半圆弧的中点,连接 AD 交 BC 于 F,AC=FC. (1) 求证:AC 是⊙O 的切线; (2) 已知圆的半径 R=5,EF=3,求 DF 的长.

证明: (1)如图,连接 OA,0D, ∵D 为 BE 的下半圆弧的中点, ∴∠FOD=90° , ∵AC=FC , ∴∠CAF=∠AFC , ∵∠AFC=∠OFD, ∴∠CAF=∠OFD. ∵OA=OD , ∴∠ODF=∠OAF, ∵∠FOD=90° , ∴∠OFD+∠ODF=90° , ∴∠CAF +∠OAF =90° , 即∠OAC=90° ,∵OA 为⊙O 的半径,∴AC 是⊙O 的切线. 解: (2)∵半径 R=5,EF=3 ,∴OF=OE-EF=5-3=2. 在 Rt△ODF 中,DF= OD +OF = 5 + 2 = 29 .
2 2 2 2

23. (2015· 北京中考)如图,AB 是⊙O 的直径,过点 B 作⊙O 的切线 BM,弦 CD∥BM,
? ? DC ? ,连接 AC,AD,延长 AD 交 BM 于点 E. 交 AB 于点 F,且 DA (1)求证:△ACD 是等边三角形; (2)连接 OE,若 DE=2,求 OE 的长.

39

M D E

O A F B

C

证明: (1)∵BM 是⊙O 的切线,AB 为⊙O 直径,∴AB⊥BM,∵BM∥CD,∴AB⊥CD,
? ? DC ? ,∴AD=DC,∴AD=CD=AC,∴△ACD 是 AD ? ? AC ,∴AD=AC.∵ DA ∴? 等边三角形.
M D E

O A F B

C

解: (2)∵△ACD 是等边三角形,AB⊥DC,∴∠DAB=30° ,如图,连接 BD,则 BD⊥AD, ∴∠EBD=∠DAB=30° , ∵DE=2, ∴BE=4, ∴AB= 4 3 , ∴OB= 2 3 , 在 Rt△OBE 中,由勾股定理得 OE= OB2 ? BE 2 ?

?2 3?

2

? 42 ? 2 7 .

24. (2015·甘孜中考)如图,△ABC 为等边三角形,以边 BC 为直径的半圆与边 AB,AC 分别交于 D,F 两点,过点 D 作 DE⊥AC,垂足为点 E. (1)判断 DF 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; (2)过点 F 作 FH⊥BC,垂足为点 H,若 AB=4,求 FH 的长(结果保留根号) .

解: (1)DE 是⊙O 的切线.证明如下: 连接 OD,如图,

40

∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=BC=AC,∠B=∠C=60° , ∵OB=OD, ∴△OBD 是等边三角形, ∴∠BOD=60° , ∴∠BOD=∠C, ∴OD∥AC, ∵DE⊥AC, ∴DE⊥OD,∵OD是⊙O 的半径, ∴DE 是⊙O 的切线; (2)连接 OF,如图, ∵OC=OF,∠C=60° ,

∴△OCF 是等边三角形, ∴CF=OC= BC= AB=2, ∵FH⊥BC, ∴∠FHC=90° , ∴FH=CF?sin C=2× = .

25. (2015·盘锦中考)如图 1,AB 为⊙O 的直径,点 P 是直径 AB 上任意一点,过点 P 作弦 CD⊥AB, 垂足为 P, 过点 B 的直线 与线段 AD 的延长线交于点 F, 且∠F=∠ABC. (1)若 CD= 2

3 ,BP=4,求⊙O 的半径;

(2)求证:直线 BF 是⊙O 的切线; (3)当点 P 与点 O 重合时,过点 A 作⊙O 的切线,交线段 BC 的延长线于点 E,在其他条件
41

不变的情况下,判断四边形 AEBF 是什么特殊的四边形.请你在图 2 中补全图形并证明 你的结论.

解:(1) ∵CD⊥AB,AB 为⊙O 的直径,CD= 2 ∴CP=PD=

3,

1 CD= 3 . 2

设⊙O 的半径为 x,则 OP=4-x,连结 OC,如图, ∵CD⊥AB, ∴ OC 即x
2

2

= OP + CP
2

2

2



= (4 - x) +

3 ,

2

解得 x=

19 . 8 19 ; 8

∴⊙O 的半径为

证明:(2)∵CD⊥AB, ∴∠C+∠ABC =90°, ∵∠F=∠ABC,∠C=∠A, ∴∠A+∠F=90°, ∴∠ABF=90°, 又 AB 为⊙O 的直径, ∴直线 BF 是⊙O 的切线; (3)

42

解:(3)四边形 AEBF 为平行四边形,证明如下: ∵AE,BF 为⊙O 的切线, AB 为⊙O 的直径, ∴∠EAB=∠ABF=90°, ∴AE∥BF, ∵CD⊥AB,OC=OB, ∴∠OCB=∠OBC=45°, ∵∠F=∠ABC, ∴∠F=45°, ∵∠ABF=90°, ∴∠BAF=45°, ∴∠BAF=∠ABC=45°, ∴AF∥BE, 又∵AE∥BF, ∴四边形 AEBF 为平行四边形. 26.(2015·内江中考)如图,在△ACE 中,CA=CE,∠CAE=30° ,⊙O 经过点 C,且圆的 直径 AB 在线段 AE 上. (1)试说明 CE 是⊙O 的切线; (2)若△ACE 中 AE 边上的高为 h,试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径 AB; (3)设点 D 是线段 AC 上任意一点(不含端点) ,连接 OD,当 求⊙O 的直径 AB 的长.

1 CD+OD 的最小值为 6 时, 2

.

解:(1)连接OC,如图1,

图1 ∵CA=CE,∠CAE=30°, ∴∠E=∠CAE=30°,∠COE=2∠CAE=60°, ∴∠OCE=90°,∵OC是⊙O 的半径, ∴CE是⊙O的切线; (2)过点C作CH⊥AB于点H,连接OC,如图2,

43

由题可得CH=h. 在Rt△ OHC中,CH=OC?sin∠COH, ∴h=OC?sin60°=

3 OC, 2

∴OC=

2h 2 3 = h, 3 3

∴AB=2OC=

4 3 h; 3

(3)作OF平分∠AOC,交⊙O于点F,连接AF、CF、DF,如图3,

则∠AOF=∠COF=

1 1 ∠AOC= (180°﹣60°)=60°. 2 2

∵OA=OF=OC, ∴△AOF、△COF是等边三角形, ∴AF=AO=OC=FC, ∴四边形AOCF是菱形, ∴根据对称性可得DF=DO. 过点D作DH⊥OC于点H, ∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=30°, ∴DH=DC?sin∠DCH=DC?sin30°= ∴DH+F D =

1 DC, 2

1 CD+OD. 2 1 CD+OD)的值最小, 2

根据两点之间线段最短可得: 当F、D、H三点共线时,DH+FD(即

44

此时FH=OF?sin∠FOH=

3 OF=6, 2

则OF=4 3 ,∴AB=2OF=8 3 .
∴当

1 CD+OD 的最小值为 6 时,⊙O 的直径 AB 的长为 8 3 . 2

27. (2015·宜宾中考)如图,CE 是⊙O 的直径,BD 切⊙O 于点 D,DE∥BO,CE 的延长 线交 BD 于点 A. (1)求证:直线 BC 是⊙O 的切线; (2)若 AE=2,tan∠DEO= 2 ,求 AO 的长.

A

E D O B C

证明:(1)连结 OD,∵BD 切⊙O 于点 D,∴∠BDO=90° ,又 DE∥OB,∴∠EDO=∠DOB, ∠DEO=∠COB,∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED,∴∠COB=∠DOB,在△ODB≌△OCB 中, DO=CO,∠DOB=∠COB,OB=OB, ∴△ODB≌△OCB,∴∠BCO=∠BDO=90° . ∴OC⊥BC,∵OC 是⊙O 的半径, ∴BC 是⊙O 的切线. 解:(2)设 OE=OC=x, ∵DE∥OB,∴∠DEO=∠BOC, ∴tan∠DEO=tan∠BOC= 2 , ∴BC=OC·tan∠BOC = 2 OC= 2 x, 由切线长定理得 BD=BC= 2 x, ∵DE∥BO, ∴

AD AE ? , DB OE



AD 2 ? ,∴AD=2 2 . 2x x
45

在 Rt△ADO 中,AD2=AO2-OD2, 即(2 2 )2=(2+x)2-x2, 解得 x=1. ∴AO=AE+OE=3.

A

E D O B C

28. (2015·天津中考)已知 A,B,C 是⊙O 上的三个点,四边形 OABC 是平行四边形, 过点 C 作⊙O 的切线,交 AB 的延长线于点 D. (1)如图 1,求∠ADC 的大小;

AB 交于点 F,连接 AF,求 (2)如图 2,经过点 O 作 CD 的平行线,与 AB 交于点 E,与 ?
∠FAB 的大小.

解: (1)∵CD 是⊙O 的切线,∴CO⊥CD,即∠OCD=90°,∵四边形 OABC 是平行四边 形,∴OC∥AD,∴∠ADC+∠OCD=180°,∴∠ADC=180°-90°=90°; (2)如图,连接 OB, 由圆的性质知 OA=OB=OC, ∵四边形 OABC 是平行四边形, ∴OC=AB, ∴OA=OB=AB, ∴△OAB 是等边三角形, ∴∠AOB=60°.∵OF∥CD, ∠ADC=90°, ∴∠AEO=∠ADC=90°.

? ,∴∠FAB= 1 ?BOF ? 1 ?AOB ? 150. AF = BF 由垂径定理,得 ? 2 4

46

29.jscm(2015·昆明中考)如图,AH 是⊙O 的直径,AE 平分∠FAH,交⊙O 于点 E,过点 E 的 直线 FG⊥AF,垂足为 F,B 为半径 OH 上一点,点 E、F 分别在矩形 ABCD 的边 BC 和 CD 上. (1)求证:直线 FG 是⊙O 的切线; (2)若 CD﹦10,EB﹦5,求⊙O 的直径.

证法 1:⑴连接 OE.如图,∵OA﹦OE,∴∠EAO﹦∠AEO. ∵AE 平分∠FAH, ∴∠EAO ﹦∠FAE,∴∠FAE﹦∠AEO, ∴AF∥OE, ∴∠AFE﹢∠OEF﹦180° . ∵AF⊥GF, ∴ ∠AFE﹦∠OEF﹦90° , ∴OE⊥GF,∵点 E 在圆上,OE 是⊙O 的半径,∴GF 是⊙O 的切 线.

证法 2:(1)连接 OE. 如图, ∵OA﹦OE, ∴∠EAO﹦∠AEO. ∵AE 平分∠FAH, ∴∠EAO ﹦∠FAE,∴∠FAE﹦∠AEO, ∵AF⊥GF, ∴∠AFE﹦90° ,∴∠FAE﹢∠FEA﹦90° , ∴ ∠AEO﹢∠FEA﹦90° ,即∠FEO﹦90° .∴OE⊥GF.∵点 E 在圆上,OE 是⊙O 的半径,∴ GF 是⊙O 的切线. 解法 1:⑵∵四边形 ABCD 是矩形,CD﹦10,∴AB﹦CD﹦10, ∠ABE﹦90° .设 OA﹦OE
47

﹦x, 则 OB﹦10-x. 在 Rt△OBE 中, ∠OBE﹦90° , EB﹦5, 由勾股定理得 OB2+BE2=OE2 , 即(10-x)2+52﹦x2, 解得 x=
25 25 25 25 .∴AH=2× = .∴⊙O 的直径为 . 4 4 2 2

解法 2:⑵连接 EH.如图, ∵四边形 ABCD 是矩形,CD﹦10,∴AB﹦CD﹦10, ∠ABE ﹦∠EBH﹦90° , ∴∠BEH+∠H=90° . ∵AH 是⊙O 的直径, ∴∠AEH﹦90° , ∴∠EAH+ 2 2 ∠H=90° , ∴∠EAH﹦∠BEH. ∴△AEB∽△EHB.∴EB =AB· BH,即 5 =10· BH,∴ BH=
5 5 25 25 ,∴AH=10+ = .∴⊙O 的直径为 . 2 2 2 2

30. (2015 温州中考)如图,AB 是半圆 O 的直径,CD⊥AB 于点 C,交半圆于点 E,DF 切 半圆与点 F.已知∠AEF=135°.

(1)求证:DF∥AB; (2)若 OC=CE,BF= 2 2 ,求 DE 的长. 证明: (1)连结 OF,如图, ∵DF 切半圆 O 于点 F,∴DF⊥OF. ∵∠AEF=135°,四边形 ABFE 为圆内接四边形, ∴∠B=45°.∵OF=OB, ∴∠BFO=∠B=45°,∴∠FOA=90°,∴AB⊥OF,∴DF∥AB.

48

解: (2)连结 OE,OF,如图, 由题可知,BF= 2 2 ,∠FOB=90°,∴OB=OF=2,∵OC=CE,CE⊥AB,OE=OF=2,∴ CE= 2 . 由(1)知 FO⊥AB, ∵FO⊥AB,CD⊥AB, ∴DC∥OF, 又 DF∥AB, 四边形 DCOF 为平行四边形, ∴DC=OF=2. ∴DE=DC-CE=2- 2 .

31. (2015·金华中考)图 1,图 2 为同一长方体房间的示意图,图 3 为该 长方体的表面展开图. (1)蜘蛛在顶点 A’处. ①苍蝇在顶点 B 处时,试在图 1 中画出蜘蛛为捉住苍蝇,沿墙面爬行的最近路线; ②苍蝇在顶点 C 处时,图 2 中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线,往天花板 ABCD 爬行 的最近路线 A′GC 和往墙面 BB′C′C 爬行的最近路线 A′HC,试通过计算判断哪条路线更 近. (2)在图 3 中,半径为 10dm 的⊙M 与 D’C’相切,圆心 M 到边 CC’的距离为 15dm,蜘 蛛 P 在线段 AB 上,苍蝇 Q 在⊙M 的圆周上,线段 PQ 为蜘蛛爬行路线.若 PQ 与⊙M 相 切,试求 PQ 的长度的范围.

【解】 (1)①如图 1,连结 A'B, ∴线段 A'B 就是所求作的最近路线.

49

②两种爬行路线如图 2 所示. 由题意可得 C1 A G B H A′ B′ C′ C2

图2 在 Rt△A'C'C2 中,路线 A'HC2=

A ' C '2 ? C ' C2 2 = 702 ? 302 ? 5800 (dm),

在 Rt△A'B'C1 中,路线 A'GC1= A ' B '2 ? B ' C12 = 402 ? 602 ? 5200 (dm), ∵ 5800 > 5200 ,∴路线 A'GC1 更近. (2)连结 MQ,∵PQ 为⊙M 的切线,点 Q 为切点,∴MQ⊥PQ, ∴在 Rt△PQM 中,有 PQ2=PM2-QM2= PM2-100,

当 MP⊥AB 时,MP 最短,PQ 取得最小值,如图 3,此时 MP=30+20=50, ∴PQ= PM 2 ? QM 2 ? 502 ? 102 ? 20 6 (dm); 当点 P 与点 A 重合时, MP 最长,PQ 取得最大值,如图 4,

50

过点 M 作 MN⊥AB,垂足为 N,由题意可得 PN=25,MN=50, ∴在 Rt△PMN 中, PM 2 ? PN 2 ? MN 2 ? 252 ? 502 ,
2 2 ∴在 Rt△PQM 中,PQ= PM ? QM ?

252 ? 502 ? 102 ? 55 (dm),

综上所述, PQ 长度的范围是 20 6 dm≤PQ≤55 dm. 32. (2015·湖州中考)如图,已知 BC 是⊙O 的直径,AC 切⊙O 于点 C,AB 交⊙O 于点 D,E 为 AC 的中点,连结 DE. (1)若 AD=DB,OC=5,求切线 AC 的长; (2)求证:ED 是⊙O 的切线.
A D E B C

O

解:(1)连结 CD,如图, ∵BC 是⊙O 的直径,∴∠BDC=90°,即 CD⊥AB, ∵AD=DB,∴AC=BC=2OC=10. 证明:(2)连结 OD.如图, ∵∠ADC=90° ,E 为 AC 的中点,∴DE=EC=

1 AC ,∴∠1=∠2, 2

∵OD=OC,∴∠3=∠4,∵AC 切⊙O 于点 C,∴AC⊥OC, ∴∠1+∠3=∠2+∠4=90° ,即 DE⊥OD,∵OD 是⊙O 的半径,∴DE 是⊙O 的切 线.
A D
3 1 4 2

E C

B

O

51


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