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山东省临沂市郯城一中2013届高三上学期期末考试数学(理)试题


山东省临沂市郯城一中 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题

高三数学(理科)试题

2013.1

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、班级填写在答题卡上和试卷规 定的位置

上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求 作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第Ⅰ卷(共 60 分)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.若 P ? {x | x ? 1} , Q ? {x | x ? ?1} ,则( ) A. P ? Q B. Q ? P C. Q ? C R P D. C R P ? Q )

2.若复数 x 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则 z 为( A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i

3. 已知直线 l1 : k1 x ? y ? 1 ? 0 与直线 l 2 : k 2 x ? y ? 1 ? 0 ,那么“k1=k2”是“ l1 // l 2 ”的( A.充分不必要条件
x 4. 函数 f ( x) ? 2 ?



B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

2 ? a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是( x
C.(0,2) D.(0,3) )

A.(1,2)

B.(1,3)

5. 如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( A 3 B 4 C ? D ?

6. 将函数 f ( x) ?

? 2 6 sin 2 x ? cos 2 x 的图象向右平移 个 4 2 2

单 位

后得到函数 g (x) 的图象,则 g ( ) 的值为(

?

4



A.

6 2

B.-1

C. 2

数学试题第 1 页 (共 4 页) D.2

1

x 7. 函数 f ( x) ? 2 ?

2 ? a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是( x



A.(1,2) B.(1,3) C.(0,2) D.(0,3) 8. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x) ,当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3 时,f(x) =x。则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2013)= ( ) A 335 B 338 C 337 D 2013

?x ? y ? 2 ??? ???? ? ? ? 9.已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1) ,若点 M(x , y)为平面区域 ? x ? 1 上的一个动点,则 OA · OM 的取 ? y?2 ?
值范围是( ) A. [-1.0] B. [0.1] C. [0.2] D. [-1.2] )

10. 已知数列{ an }满足 a1 ? A.

a 2 ,且对任意的正整数 m,n,都有 am?n ? am ? an ,则 n 等于( 3 n
3 2
D.2

1 2

B.

2 3

C.

11. 6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互 赠一份纪念品,已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,则收到 4 份纪念品的同学人数为( ) 1或 3 1或 4 2 或3 2 或4 A B C D 12. 已知 a ? 0, b ? 0 ,若不等式 A.3 B.4 C.9

m 3 1 ? ? ? 0 恒成立,则 m 的最大值为( D ) 3a ? b a b
D.16

2

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13. 点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任一点,则点 P 到直线 y ? x - 2 的最小距离为 14. ( x ?

a 1 )( 2 x ? ) 5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为__________ x x

15. 已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的求面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,则球 心到截面 ABC 的距离为________ 16. 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确的是
2 (1) 若 ab ? c ;则 C ?

?
3

(2)若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3

(3)

3 3 3 若 a ? b ? c ;则 C ?

?
2

(4) 若

(a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

(5) 若 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 ;则 C ?

?
3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中, a, b, c 分别为 A,B,C 所对的边,且 3a ? 2c sin A . (1)求角 C 的大小; (2)若 c ?

7 ,且△ABC 的面积为

3 3 ,求 a ? b 的值. 2

18.(本小题满分 12 分) 如图,已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,过 BC1 的平面 BC1D∥AB1,平面 BC1D 交 AC 于 D. (1)求证 BD⊥平面 ACC1A1; (2)若 AC=2,CC1= 3 ,求二面角D-B C1 -C 余弦值的大小.

19. (本小题满分 12 分) 某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会,共邀请 50 名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如下 表所示 版本 人教 A 版 人教 B 版 苏教版 北师大版 20 15 10 人数 数学试题第 3 页 (共 4 页) 5 (1)从这 50 名教师中随机选出 2 名,求这 2 人使用相同版本教材的概率是多少? (2)现从这 50 名教师中随机选出 2 名教师做问卷调查,若选出 3 名教师都使用人教版教材,求恰有 1 人使用 人教版 A 版的概率是多少? (3)若随机选出的 2 名教师都是用人教版教材,设其中使用人教 A 版教材的教师人数为 ? ,求随机变量 ? 的 分布列和数学期望。
3

20. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 满足 2a1 ? a3 ? 3a2 ,且 a3 ? 2 是 a 2 , a 4 的等差中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? a n ? log2 21. (本小题 13 分) 已知椭圆 C 的中心为原点,点 F(1,0)是它的一个焦点,直线 l 过点 F 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且当直线

1 , {bn } 的前 n 项和为 S n ,求使 S n ? 2n?1 ? 47 ? 0 成立的正整数 n 的最小值. an

l 垂直于 x 轴时, OA? OB = .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 P 在直线 x ?

3 上,是否存在斜率为 k 的直线 l ,满足△ABP 为正三角形,如果存在,求出直线 l 的 2

方程;如果不存在,请说明理由. 22. (本小题 13 分) 已知函数 f (x)=

mx ( m, n ? R )在 x ? 1 处取到极值 2. x ?n
2

(1)求 f(x)的解析式; (2) 设函数 g(x)=ax-lnx, 若对任意的 x1 ? [ , , 2] 总存在唯一的 x2 ? [ f (x1),求实数 a 的取值范围。

1 2

1 使得 g (x2)= , e](e 为自然对数的底数) e2

4

一、1-5 DACDB

6-10

高三期末检测数学试题答案(理科) ADCCB 11-12 DD
3 3

二、13. 三、

2

14. 40

15.

16.

(1)(2)(3)

17. 解: (1)∵ 3a ? 2c sin A ∴由正弦定理得 3 sin A ? 2 sin C sin A ∴ ∵0﹤C﹤180°∴C=60°或 120°------6 分 1 3 3 S ?ABC ? absin C ? 2 2 (2)∵ ∴ ab ? 6
2 2 2 若 C=60°,由余弦定理 c ? a ? b - 2ab cosC 可得 a ? b =5-----9 分 2 2 若 C=120°,可得 a ? b ? 1 ,无解。------12 分

sin C ?

3 2

18.解: (1)连接CB1交BC1于点O,则O为CB1的中点,连接OD. ∵AB∥平面BC1D ∴OD∥AB1 ∵O为CB1的中点∴D为AC中点 ∵三棱柱 ABC—A1B1C1 为正三棱柱 ∴BD⊥平面 ACC1A1 -----5 分 (2)以 D 为坐标原点,DA 为 x 轴正半轴,DB 为 y 轴正半轴,建立空间直角坐标系 则D (0,0,0) B ,(0, 3 , ,(1,0,0) C1 -1, 0) A ,( 0, 3 ) C ,(-1,0,0) 则 DB ? (0, 3,0) ,

DC1 ? (-1,0, 3) , CC1 ? (0,0, 3) , CB ? (1, 3,0)
? 3y ? 0 ? - x ? 3z ? 0 设平面 C1BD 的法向量为 n1 ( x, y, z) ,则 n1 ? DB ? 0, n1 ? DC ? 0 ,得 ? ? 3z ? 0 则 n1 ? ?( 3,0,1) ,设平面的法向量为 n2 ( x, y, z) ,得 ? ?x ? 3 y ? 0

则 n2 ? ? ( 3,-1,0) ,-------------10 分 则 cos? ?

3 ? . | n1 || n2 | 4

n1 ? n2

---------12 分

2 19.解: (1)50 名教师中随机选出 2 名的方法数为 C50 ? 1225

选出的 2 人所使用版本相同的方法数为
2 2 2 2 C20 ? C15 ? C5 ? C10 ? 190 ? 105 ? 10 ? 45 ? 350

? 2 人所使用版本相同的概率为 p ? 350 ? 2 ------3 分 1225 7 (2)设“选出的 3 名教师都使用人教版教材”为事件 A”“恰有 1 人使用人教 A 版教材’为事 ,
5

件 B,.则 C 5 187 C1 C 2 3 P ? A ? ? 35 ? , P ? A ? B ? ? P ? B ? ? 20 3 15 ? 3 C50 560 C50 28
? P ? B A? ? P ? A ? B ? 3 560 60 ? ? ? P ? A? 28 187 187

-------7 分

(3)
2 C15 3 ? P ?? ? 0 ? ? 2 ? C35 17

P ?? ? 1? ?

1 1 C20 ? C15 60 C2 38 ? , P ?? ? 2 ? ? 20 ? 2 2 C35 119 C35 119

------10 分

? 随机变量 ? 的分布列是

-------------11 分 E( ? )=
0? 3 60 38 136 ? 1? ? 2? ? 17 119 119 119

-----------12 分

20.解: (1)设公比为 q 2 2 由 2a1 ? a3 ? 3a2 得 2a1 ? a1q ? 3a1q ,∴ 2 ? q ? 3q ,解得 q=1 或 2 又 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项即 2( a3 ? 2 )= a2 ? a4 若 q=1,则 2( a1 +2)=2 a1 ,方程无解,舍去; 若 q=2,则 2(4 a1 +2)=2 a1 +8 a1 ,解得 a1 =2 n-1 n ∴ an ? a1q ? 2 ---------------------6 分
1 an = 2 n - n (2)∵ ------------ 8 分 n ?1 2-2 n(n ? 1) n(n ? 1) ? 2 n ?1 - 2 Sn ? 2 1- 2 2 ∴ -----10 分 n(n ? 1) S n ? 2 n ?1 ? 47 ? 45 ?0 2 2 ∴ 即 n ? n - 90 ? 0 bn ? a n ? log2

∴n<-10(舍)或 n>9,∴正整数 n 的最小值为 10 21.
解(1)设椭圆 C 的方程为: +

----12 分

=1(a>b>0) ,则 a ﹣b =1.①

2

2

∵当 l 垂直于 x 轴时,A,B 两点坐标分别是(1,

)和(1,﹣

) ,

6



?

=(1,

)?(1,﹣
4 2

)=1﹣
2

,则 1﹣
2

= ,即 a =6b .②

2

4

由①,②消去 a,得 6b ﹣b ﹣1=0.∴b = 所以 a = ,椭圆 C 的方程为
2 2

(b =﹣

舍)

+2y =1.-----------------4 分

(2)设存在满足条件的直线 l . 设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) .
2 2 2 2



?(6k +2)x ﹣12k x+6k ﹣3=0,----------------6 分

设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2) ,则 x1+x2=

,x1x2=

.--------7 分

|AB|=

|x1-x2|=

=

=﹣

.---------9 分

又设 AB 的中点为 M,则 xM=

=



当△ABP 为正三角形时,直线 MP 的斜率为 kMP=﹣ .

∵xp= ,∴|MP|=

|xp﹣xM|=

?( ﹣

)=

?

.----10 分

当△ABP 为正三角形时,|MP|=
2

|AB|,即

?

=

?



解得 k =1,k=±1.----------------------------------12 分 因此,满足条件的直线 l 存在,且直线 l 的方程为 x﹣y﹣1=0 或 x+y﹣1=0.---------------13 分

22.解(1) f ?(x) ?

m(x2 ? n) - 2mx2 - m x2 ? m n ? (x 2 ? n)2 (x 2 ? n)2

由 f (x)在 x=1 处取得极值 2,故 f ?(1) ? 0 , f (1) ? 2
? m n- m ?0 2 ? ? 即 ? (1 ? n) ,解得 m=4,n=1 m ? ?2 ? 1? n ?
7

经检验,此时 f (x)在 x ? 1 处取到极值 ∴ f (x) ?
4x x ?1
2

------3 分
4(1- x)(1? x) (x 2 ? 1)2

(2)由(1)知 f ?(x) ?

1 ∴f (x)在 [ ,1] 上单调递增,在[1,2]上单调递减, 2 8 1 8 又∵f(1)=2,f(2)=f( )= ,∴f (x)的值域为 [ ,2] ---5 分 2 5 5 1 1 依题意 g ?(x) ? a - ,记 M ? [ 2 , e] x e 1 1 ∵ x ? M ,∴ ? ? e 2 e x 1 ①当 a ? 时, g ?(x) ? 0 , g (x)在M上单调递减. e 1 ? ? a?e ? 8 1 ? 依题意得 ? g (e) ? ,得 0 ? a ? ------7 分 e 5 ? ?g( 1 ) ? 2 ? e2 ? 1 1 1 1 1 1 ②当 ? a ? e 2 时, e ? ? 2 ;当 x ? [ 2 , ] 时, g ?(x) ? 0 ;当 x ? [ , e] 时, g ?(x) ? 0 e a e a e a ?1 2 ?1 2 ?e ? a ? e ?e ? a ? e ? 8 1 13 ? ? 依题意得 ? g (e) ? ,或 ? g (e) ? 2 ,解得 ? a ? ----10 分 e 5e 5 ? ? 1 8 ? g( 1 ) ? 2 ? g( e 2 ) ? 5 ? 2 ? e ? 1 1 ③当 a ? e 2 时 ? 2 ,此时 g ?(x) ? 0 , g (x)在M上单调递增 a e

? ? 2 2 ? a?e ? a?e ? ? 依题意得 ? g (e) ? 2 ,即 ? ea - 1 ? 2 ,此不等式组无解 --------12 分 ? 1 8 ? a ?2? 8 ?g( e 2 ) ? 5 ?e2 5 ? ? 13 综上,所求 a 的取值范围为 0 ? a ? -------13 分 5e

8


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