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新高一数学初升高数学衔接班第1讲


新高一数学初升高数学衔接班第 1 讲——学法指导通用版
一、学习目标: 1、认识初高中数学学习的特点和差异 2、了解高中数学的考法 3、了解高中数学的学习策略和学习方法 二、学习重点: 1、初高中数学知识差异与学法差异 2、针对高中数学的特点与考法,培养适合高中数学的学习方法、养成良好的学习习惯。 三、重点讲解: 高中数学的特点是:注重抽象思维,内容庞杂、知识难度大。高

中教材不再像初中教材 那样贴近生活,生动形象,知识容量也更为紧密。客观的说,初高中知识之间存在断层,正 是由于这种断层造成很多同学难以在较短时间内适应高中数学的学习。 那么, 如何做好初高 中数学学习的衔接过渡, 使得同学们对高中数学学习有一个正确的认识, 并迅速适应新的教 学模式呢? 下面我们就一起探讨如何应对高中数学的学习。 (一)高中数学教材分析 高中数学课程分为必修和选修。必修课程由 5 个模块(5 本书)构成;选修课程有 4 个 系列,其中系列 1、系列 2 由若干模块构成(系列 1 两本书、系列 2 三本书) ,系列 3、系列 4 由若干专题组成。内容涉及初等函数、数列、概率与统计、算法、平面解析几何、立体几 何等等。进入高中,我们首先学习的是《必修 1》模块,我们应先对这一模块有一个大体的 了解。 《必修 1》模块由两章构成,分别是: 第一章:集合 第二章:函数 如何理解集合呢?集合是一种数学语言, 我们要能够使用最基本的集合语言表示有关的 数学对象,提高我们运用数学语言进行交流的能力。 在初中学习函数的基础上, 我们还要进一步学习函数, 只不过高中阶段不仅把函数看成 变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,在初中一次函数、二次函数、 反比例函数的基础上,我们还将学习指数函数、对数函数、幂函数这些新的函数类型,而函 数的思想方法将贯穿高中数学的始终。

(二)高中数学与初中数学特点的变化 1、数学语言在抽象程度上的突变。 初中的数学主要是以形象、 通俗的语言方式进行表达。 而高中数学一开始即在初中学习 的“函数”的基础上触及抽象的“集合语言” 。 例如:初中是这样定义函数的:设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y ,如果对于 x 的 每一个值, 都有惟一的值 y 与它对应, 那么就说自变量 x 是 y 的函数。 那么, 是函数吗? y=1 我们需要进一步深化函数的概念。在高中是用集合的语言来定义函数的:设 A、B 是非空的 数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有

惟一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。 记作:y=f(x) ,x∈A.可以得到 y=1 是函数的结论。 集合作为数学的基本语言可以简洁地表示数学对象, 对刚步入高中的同学来说, 也是抽 象的。而后续的几何部分也削弱了直观性而突出了抽象性和空间的想象能力。这就是说,思 维要从初中的直观、经验型向抽象、理论型过渡。 2、思维方法向理性层次跃迁。 高一的同学产生数学学习障碍的一个原因是高中数学的思维方法与初中阶段大不相同。 初中阶段,很多老师将各种题建立了统一的思维模式,如解分式方程分几步,因式分解先看 什么,再看什么,即使是解答思维非常灵活的平面几何问题,也对线段相等、角相等??分 别确定了各自的思维套路。因此,同学们在初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势 方式, 而高中数学在思维形式上发生了很大的变化, 同学们一定要能从经验型抽象思维向理 论型抽象思维过渡,最后还需初步形成辩证型思维。 比如在初中我们可以求 y ? x ? 4 x ? 6 的最小值。
2

那么 y ? x ? 4 x ? 6 ( 1 ? x ? 5 )的最小值呢?实际上我们可以利用函数的图象来求
2

解,从而得到用图象法求函数的最大值与最小值。

如果原题继续变化为:求 y ? x ? 4 x ? 6 ( a ? x ? 5 )的最小值,我们又该如何求解
2

呢?如能发现问题的本质,我们就会很好地解决问题。 3、知识内容剧增 初中数学知识少、浅、难度低、知识面窄。高中数学知识广泛,将对初中的数学知识进 行推广和引申,也是对初中数学知识的完善。如:初中学习的角的概念只是“0~180° ”范 围内的,但实际当中也有 720° 和“-360° 等角,为此,高中将把角的概念推广到任意角,可 表示包括正、负在内的所有大小的角。又如:高中要学习《立体几何》,将在三维空间中求 一些几何实体的体积和表面积; 还将学习 “排列组合” 知识, 以便解决排队方法种数等问题。 如:①三个人排成一行,有几种排队方法?(答:6 种);②四人进行乒乓球双打比赛,有 几种比赛场次?(答:3 种),高中将学习统计这些排列方式的数学方法。初中的学习中对 一个负数开平方无意义,但在高中规定了 i 2 ? ? 1 ,于是令-1 的平方根为±i,这样即可把 数的概念进行推广, 使数的概念扩大到复数范围等。 这些知识同学们在今后的学习中将逐渐 接触到。 4、综合性增强,学科间知识相互渗透,相互为用,加深了学习的难度。 比如这样一个实际问题:把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一个盘子上放砝码 使天平平衡, 称得物体的质量为 a, 如果天平制造得不够精确, 天平的两臂长短略有不同 (其 他因素不计),那么 a 并非物体的实际质量。不过我们可以做第二次测量:把物体调换到另 外一个盘子上,此时称得的物体的质量为 b,如何合理地表示物体的质量呢? 要解决这个问题我们需要用到物理中力学的知识, 且我们还可以从中得出一个重要的数 学不等式
a ?b 2 ? ab 。

5、系统性增强。 由于高中教材的理论性增强, 常以某些基础理论为纲, 根据一定的逻辑, 把基本的概念、 基本原理、基本方法联结在一起,构成一个完整的知识体系。前后知识的关联是其中一个表 现。另外,知识结构的形成是另一个表现,因此高中教材知识的结构化明显升级。如函数, 初中只简单地介绍一次、二次、反比例、正比例函数,对函数的性质很少研究,而高中的函 数是一个大的知识体系。函数的定义域、值域、解析式、性质等是一个小系统;指数函数、 对数函数、三角函数、二次函数也是一个小系统;函数图象也是一个小系统等等。这些小知 识体系相互渗透、 联系构成函数大体系。 再比如小学里就有根据规律填数, 2, 6, ) 如 4, ( , 10,而数列的理论体系到高中才建立起来。 6、能力要求更高 高中课程目标明确地提出要提高学生的五种基本能力,即空间想象、抽象概括、推理论 证、运算求解、数据处理能力。平时要注重对这些能力的培养。比如空间想象能力是对空间 形式进行观察、分析、抽象的能力.主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。同学们在 初中学习过三视图,可以画出简单空间图形的三视图,到高中,我们会具体给出三视图的定 义,而且会考查由三视图如何还原出实际物体。 例 1:下面是一个组合图形的三视图,请描述物体形状

如果给出相应的数据, 同学们是否能够求出它的体积呢?这道题考查的就是同学们的空 间想象能力。 例 2:三角数阵中的归纳推理

根据以上排列规律,数阵中第 n(n≥3)行从左至右的第 3 个数是 。 这道题考查的就是同学们的归纳推理能力。 当然,对于一个实际问题,同学们是否能够建立恰当的数学模型来处理问题,这又对大 家的能力提出了更高的要求。 (三)高中数学考试的特点 高考中主要考查什么呢?考纲要求:数学学科的考试,按“考查知识的同时,注重考查 能力”的原则,将知识、能力和素养融为一体,全面考查学生的数学素养。拿江苏高考卷来 说,文科数学满分为 160 分,理科数学满分为 200 分,其中数学选修部分占 40 分。 初中数学的考试方法,基本上是学什么考什么。高中数学考试却有许多截然不同之处。 考试题多半是生疏的题目, 是不能依赖模仿加以解决的问题。 同学们在做题中最感困难的是

没有思路。分析不出所要解答的题目的问题结构。仿佛感到什么方法都学过,就是分不清什 么时候该用哪一个。 看来, 初高中数学考试的主要区别是高中考的是同学们解决问题的能力。 (四)学好高中数学的应对策略和学习方法 我们了解了高中数学的特点以及考试的特点之后,现在就根据其特点寻找相应的学法。 1、充分发挥“老师”的作用。 有一些同学在初中学习不规范, 凭借聪明的头脑, 在初三的中考突击中也能取得较理想 的成绩。这部分同学上高中后,学习上仍比较放松,以为采取同样的方法仍可以考上理想的 大学。但是,现实告诉我们,这种投机取巧的方式到高中是根本行不通的。中考的题目不太 具有明显的选拔性, 中考只是局部的学生竞争, 同学们考上高中都相对容易, 但高考则不同, 目前我们国家还不可能普及高等教育, 高等教育可说还属于一种精英教育, 只能选拔一些成 绩好的同学去读大学,因此高考的题目往往具有很强的选拔性,竞争非常激烈。从课程本质 上说,高中内容体系性虽强,但是在编写时是通过“模块”的形式把这些比较系统的内容分 散开来编写的,如果没有老师的引领,同学们在学习时会觉得内容繁杂、无序,不容易形成 知识结构和“思维链”,无法形成对知识“一览众山小”的把握,并不利于对知识的学习。 而且,前面也说了,高中数学蕴含着很多的数学思想与数学解题方法,这些抽象的思想与灵 活方法的运用, 同学们仅凭读课本是无法感知的, 而老师上课时一般都要讲清知识的来龙去 脉,剖析概念的内涵,分析重、难点,突出思想方法,只有在老师的带领下同学们才能更好 地认识高中数学,认清结构,发现其中的奥秘,利用好老师的角色将对我们的学习起到事半 功倍的效果。 2、抓住数学的灵魂———数学思想。 所谓数学思想是人们对数学内容的本质认识, 是对数学知识和数学问题的进一步抽象和 概括,属于对数学规律性的认识范畴。数学思想是数学学习的关键,数学思想指导着数学问 题的解决, 并具体体现在解决问题的不同方法中。 常用的数学思想有: 方程思想、 函数思想、 转化思想、整体思想、数形结合思想、分类讨论思想等。 无论是初中数学还是高中数学,数学思想都是数学的灵魂,它们之间是可以衔接的。 例 1:某农机租赁公司共有 50 台联合收割机,其中甲型机 20 台,乙型机 30 台。现将这 50 台联合收割机派往 A、B 两地区收割小麦,其中 30 台派往 A 地区,20 台派往 B 地区。 两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表: 每台甲型收割机的租金 A 地区 B 地区 1800元 1600元 每台乙型收割机的租金 1600元 1200元

(1)设派往 A 地区 x 台乙型联合收割机,租赁公司这 50 台联合收割机一天获得的租 金为 y(元) ,求 y 与 x 间的函数关系式,并写出 x 的取值范围; (2)若使农机租赁公司这 50 台联合收割机一天获得的租金总额不低于 79600 元,说 明有多少种分派方案,并将各种方案设计出来; (3) 如果要使这 50 台联合收割机每天获得的租金最高, 请你为该农机租赁公司提出一 条合理建议. 解: (1)若派往 A 地区的乙型联合收割机为 x 台,则派往 A 地区的甲型联合收割机为 (30-x)台;派往 B 地区的乙型收割机为(30-x)台,派往 B 地区的甲型收割机为(x -10)台。 ∴y=1600x+1800(30-x)+1200(30-x)+1600(x-10)=200x+74000。 x 的取值范围是:10≤x≤30(x 是正整数) 。 (2)由题意得 200x+74000≥79600, 解不等式得 x≥28.由于 10≤x≤30,∴x 取 28,29,30 这三个值,

故有 3 种不同的分配方案。 ①当 x=28 时,即派往 A 地区甲型收割机 2 台,乙型收割机 28 台;派往 B 地区甲型收 割机 18 台,乙型收割机 2 台。 ②当 x=29 时,即派往 A 地区甲型收割机 1 台,乙型收割机 29 台;派往 B 地区甲型收 割机 19 台,乙型收割机 1 台。 ③当 x=30 时,即 30 台乙型收割机全部派往 A 地区;20 台甲型收割机全部派往 B 地 区。 (3)由于一次函数 y=200x+74000 的值 y 是随着 x 的增大而增大的,所以,当 x=30 时,y 取得最大值。如果要使该农机租赁公司这 50 台联合收割机每天获得租金最高,只需 x =30,此时,y=6000+74000=80000。 建议该农机租赁公司将 30 台乙型收割机全部派往 A 地区; 台甲型收割机全部派往 B 20 地区,可使该农机租赁公司获得的租金最高。 这里面透露出的就是函数的思想,而在高中,函数的思想是非常重要的数学思想。 例 2:实数 k 为何值时,方程 kx2+2|x|+k=0 有实数解?运用函数的思想就可以解决这个问 题。 3、夯实基础知识和基本技能,掌握适度的知识外延。 要学习好高中数学,必须准确理解和掌握好基本概念、基本公式和基本性质,抓住这些 基本知识的要点和适用范围,是学好数学的基础之一,否则一切都无从谈起,从目前的高考 来看,也很侧重对这些知识的考查,特别是一些简答题,如对某些基本概念不能准确理解就 很难正确作答。 夯实基础知识和基本技能是学好数学的必要基础, 但仅有这些还不够, 要想在有限的时 间内准确快速地解答完考题, 必须具备一定的知识外延, 需要在平时的听课和练习中注意加 强对一些重要结论的记忆,扩大自己的知识面,丰富自己的知识积累。 4、做题之后加强反思 同学们一定要明确,现在正做着的题,绝不会是考试的题目。在考试中我们需要运用平 时做题目时的解题思路与方法。因此,要把自己做过的每道题加以反思,总结一下自己的收 获。要总结出:这是一道什么内容的题,用的是什么方法。日久天长,构建起一个内容与方 法的科学的网络系统。反思是学习过程中很重要的一个环节。 5、主动复习,总结提高 进行章节总结是非常重要的。初中时是老师替学生做总结,做得细致,深刻,完整。高 中是自己给自己做总结,老师不但不给做,而且是讲到哪,考到哪,不留复习时间,也不会 明确指出做总结的时间。那么,怎样进行章节复习呢? (1)把本章节的内容一分为二,一部分是基础知识,一部分是典型问题。要把对技能 的要求,列进这两部分的其中一部分中,不要遗漏。 (2)把各种重要的,典型的问题记录在 册。 6、养成良好的解题习惯,提高自己的思维能力。 能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。 在平日的学习中要注意开发不同的学习场 所,参与一切有益的学习实践活动,如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注 意观察,比如:空间想象能力是通过实例净化思维,把空间中的实体高度抽象在大脑中,并 在大脑中进行分析推理。其他能力的培养也都需要在学习、理解、训练、应用中得到发展。 (五)给“高一”新同学的建议 1、改掉“依赖”的习惯

许多同学进入高中后,还像在初中那样,有很强的依赖心理,跟随老师惯性运转,没有 掌握学习的主动权。表现在不订计划,坐等上课,对老师课上要讲的内容不了解,上课忙于 记笔记,没听到“门道” ,不会巩固所学的知识。——主动性不好是同学中普遍存在的问题。 高中仅做听话的孩子是不够的,只知做作业也是绝对不够的;高中老师讲的话也不少,但是 谁该干些什么,老师并不一一具体指明。因此,高中新生必须提高学习的自主性。准备向将 来的大学生的学习方法过渡。 2、运算一定要过关 学习数学离不开运算,初中老师往往一步一步在黑板上演算。到了高中,因时间有限, 运算量大, 老师常把计算过程留给同学们, 这就要求同学们多动脑, 勤动手, 不仅要能笔算, 而且还要能口算,心算和估算,对复杂运算,要有耐心,掌握算理,注重简便方法。许多学 生由于运算能力低,致使数学成绩难以提高,但他们总归咎于“粗心” ,思想上仍不重视。 我们在高一时就要重视对自己运算能力的培养。 3、题目贵“精” ,不贵“多” 有的同学认为,要想学好数学,只要多做题,功到自然成。其实不然。一般说做的题太 少,很多熟能生巧的问题就会无从谈起。因此,应该适当地多做题。但是,只顾钻入题海, 堆积题目,在考试中一般也是难有作为的。做题的效率要高。做题的目的在于检查你所学的 知识、方法是否已掌握好。如果你掌握得不准,甚至有偏差,那么多做题的结果,反而巩固 了你的缺欠,因此,要在准确地把握住基本知识和方法的基础上做一定量的练习。 高中数学学习是初中数学学习的拓展和深化。 为了帮助同学们顺利地从初中数学过渡到 高中数学的学习, 老师将在后续课程中对高中数学部分将要用到的一些初中数学知识进行深 化和补充,并在此基础上为同学们揭开高中数学知识内容的帷幕。 【同步练习】 (答题时间:45 分钟) 1. 关于 x 的方程 x2+kx+k2-9=0 只有一个正根,那么 k 的值是( A. k>3 或<-3 B. k=± 3 C. k≥3 或 k≤-3 D. -3≤k<3 2. 代数式 A.
8x
6 5



1 x ?1

?

1 x ?1

?

2x x ?1
2 4

?

4x
4

3

x ?1

的化简结果是( C.
4x
8 7

) D.
8x
8 7

x ?1

B.

8x
8

x ?1

x ?1

x ?1

3. 已知 b2-4ac 是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根,则 ab 的取值范围为 ( ) A. a b ?
1 8
2

B. a b ?

1 4

C. a b ?

1 8

D. a b ?

1 4

4. 一元二次方程 ax (

? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) 中,若 a,b 都是偶数,c 是奇数,则这个方程

) A. 有整数根 B. 没有整数根 C. 没有有理数根 D. 没有实数根 5. 若 x2+xy+y=14,y2+xy+x=28,则 x+y=________。

6.

? 已知关于 x 的不等式组 ? ?

x?4 3

>

x 2

?1

的解为 x < 2 ,那么 a 的取值范围是________。

x ? a<0

7. 今有 A、B、C、D 四人在晚上都要从桥的左边到右边去。此桥一次最多只能走两人, 而且只有一支手电筒,过桥是一定要用手电筒的。四人过桥最快所需时间如下:A 2 分钟;

B 3 分钟;C 8 分钟;D 10 分钟。走得快的人要等走得慢的人,请问如何的走法才能在 21 分钟内让所有的人都过桥? 8. 125 × 4 × 3 = 2000 这个式子显然不等,可是如果算式中巧妙地插入两个数字“7” ,这 个等式便可以成立,你知道这两个 7 应该插在哪吗? 9. 牛顿的名著《一般算术》中,还编有一道很有名的题目,即牛在牧场上吃草的题目, 以后人们就把这种应用题叫做牛顿问题。 “有一片牧场的草,如果放牧 27 头牛,则 6 个星期可以把草吃光;如果放牧 23 头牛, 则 9 个星期可以把草吃光;如果放牧 21 头牛,问几个星期可以把草吃光?” *10. 春夏 × 秋冬 =夏秋春冬,春冬 × 秋夏=春夏秋冬,式中春、夏、秋、冬各代表 四个不同的数字,你能指出它们各代表什么数字吗? *11. 著名物理学家爱因斯坦编的问题: 在你面前有一条长长的阶梯。如果你每步跨 2 阶,那么最后剩 1 阶;如果你每步跨 3 阶,那么最后剩 2 阶;如果你每步跨 5 阶,那么最后剩 4 阶;如果你每步跨 6 阶,那么最后 剩 5 阶;只有当你每步跨 7 阶时,最后才正好走完,一阶也不剩。 请你算一算,这条阶梯到底有多少阶?

【试题答案】 1. D 2. D 3. C (设 u ? 得 ab ? 4. B 5. -7 或 6(两方程相加,得 ? x ? y ? ? ? x ? y ? ? 42 ? 0 ,解方程即可)
2

则得方程 2 au b ? 4 ac ,
2

2

? u ? b ? 0 或 2 au

2

由 ? u ? b ? 0 , 1 ? 8 ab ? 0 ,

1 8



解:AB 过,B 回,CD 过,A 回,再 AB 过,3+3+10+2+3=21 分钟 解:1725×4 ×3 =20700 解:设每头牛每星期的吃草量为 1。 27 头牛 6 个星期的吃草量为 27× 6=162,这既包括牧场上原有的草,也包括 6 个星期长 的草。 23 头牛 9 个星期的吃草量为 23× 207,这既包括牧场上原有的草,也包括 9 个星期 9= 长的草。 因为牧场上原有的草量一定,所以上面两式的差 207-162=45 正好是 9 个星期生长的 草量与 6 个星期生长的草量的差。由此可以求出每星期草的生长量是 45÷ (9-6)=15。 牧场上原有的草量是 162-15× 6=72,或 207-15× 72。 9= 前面已假定每头牛每星期的吃草量为 1, 而每星期新长的草量为 15, 因此新长出的草可 供 15 头牛吃。今要放牧 21 头牛,还余下 21-5=6 头牛要吃牧场上原有的草,这牧场上原 有的草量够 6 头牛吃几个星期,就是 21 头牛吃完牧场上草的时间。72÷ 6=12(星期) 。 也就是说,放牧 21 头牛,12 个星期可以把牧场上的草吃光。 10. 解:春夏×秋冬=夏秋春冬,春冬×秋夏=春夏秋冬 ∵秋夏<100,春冬×100=春冬 00>春夏秋冬 ∴冬>夏 且积千位≤春 ∴春>夏 当夏≠1 时,根据九九表和 冬>夏知:冬=5,夏=3 若春≥6,由春 3×秋 5=3 秋春 5<4000 可知 秋<7。 春 5×秋 3<春 000 无解 若春<6 春≠5 且春>夏=3 所以 春=4 45× 3=43 秋 5 无解 秋 所以 夏=1 因为 春冬×秋 1=春 1 秋冬, 所以秋>5 春 1×秋冬=1 秋春冬, ∴春≤3,当春=3 时,秋=6,3 冬×61=316 冬 无解。 因为 春>夏,且<3,所以 春=2 2 冬×秋 1=21 秋冬,21×秋冬=1 秋 2 冬; 秋=9 时无解,秋=8 时,冬=7 11. 解:分析能力较强的同学可以看出,所求的阶梯数应比 2、3、5、6 的公倍数(即 30 的倍数)小 1,并且是 7 的倍数。因此只需从 29、59、89、119、??中找 7 的倍数就可以 了。很快可以得到答案为 119 阶。

6. 7. 8. 9.

a ? ?2


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