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北大附中河南分校2013届高三第四次月考数学文试题


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北大附中河南分校 2013 届高三年级第四次月考数学试卷(文科)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.设 a 是实数,且 A. ?1

1 ? ai ? R ,则实数 a ? 1? i
B

.1 C.2





D. ? 2 ( )

2.集合 A ? {x | x 2 ? 2 x ? 0} , B ? {x | y ? lg(1 ? x)} ,则 A ? B 等于

A、 {x | 0 ? x ? 1} B、 {x |1 ? x ? 2} C、 {x |1 ? x ? 2} D、 {x | 0 ? x ? 1} ? ? ? ? ? ? ? ? 3.已知向量 a , b 满足 | a |? 1, | b |? 2 , a ? b ? 1 ,则 a 与 b 的夹角为 ( ) A、

? 3
n

B、

3? 4

C、

? 4
n

D、

? 6
( )

4.设等比数列{ a }的公比 q=2,前 n 项和为 S ,则

S 4 的值为 a3
D. 7

A. 15

B. 15

C. 7

4
5.定义行列式运算

2

4

2

a1 a2 a3 a4

= a1 a 4 ? a 2 a3 .将函数 f ( x) ? (

sin 2 x cos 2 x


3 1

? 的图象向左平移 6
?? ? ,0? ? 12 ?



单位,以下是所得函数图象的一个对称中心是 A. ?

?? ? ,0? ?4 ?

B. ?

?? ? ,0? ?2 ?

C. ?

?? ? ,0? ?3 ?
a1 a 2

D. ?

6.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 S15 ? 0, S16 ? 0, 则 S1 , S 2 ,?, S15 中最大的项为
a15

A.

S6 a6

B.

S7 a7

C.
?

S9 a9

D.

S8 a8

7.等腰三角形 ABC 中, AB ? AC ? 5, ?B ? 30 , P BC边中线上任意一点,则 CP ? BC 的值为 为 ( A、 )

??? ??? ? ?

75 2

B、 ?

25 2

C、5

D、 ?

75 2


8.在数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a2 ? 7, an?2 等于 an an?1 (n ? N ?) 的个位数,则 a2013 的值是( A.8 B.6 C.4 D.2 )

9.在同一坐标系中画出函数 y ? log a x , y ? a x , y ? x ? a 的图象,可能正确的是(

?

??

10.给出下列四个命题: ①若集合 A 、 B 满足 A ? B ? A ,则 A ? B ; ②给定命题 p , q , 若“ p ? q ”为真, 则“ p ? q ”为真; ③设 a , b , m ? R , a ? b , am2 ? bm2 ; 若 则 ④若直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 与直线 l2 : x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? 1 . 其中正确命题的个数是( 11.已知函数 ) A.1 B.2 C.3 D.4

f ( x) ? xn?1 (n ? N *) 的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线与 x 轴


交点的横坐标为 x n ,则 log2013 x1 + log2013 x2 +?+ log2013 x2012 的值为( A.-1 B. 1-log20132012 C.-log20132012 D.1

12.偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,且在 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? 2 cos

?
4

x , 则关于 x 的方程

1 f ( x) ? ( ) x 在 x ?[?2, 6] 上解的个数是 2
A.1 B.2

( C.3

) D. 4

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 向量 a, b 的夹角为 120°, | a |? 1, | b |? 3, 则 | 5a ? b | = .

14.已知函数

? x ? 1, x ? 0 f ( x) ? ? x ,则 f ( f (0) ? 3) ? e ,x ? 0 ?



2

15. 已知正实数 x, y 满足 x ? y ? 3 ? xy , 若对任意满足条件的 x, y , 都有 ( x ? y) ? a( x ? y) ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 16.设

f ? x ?=asin2x+ cos2x b

,其中 a, b ? R, ab ? 0 . 若 f ? x ? ? f ?

?? ? ? 对一切 x ? R 恒成 ?6?

立,则以下结论正确的是___________(写出所有正确结论的编号) . ① f?

? 11? ? 12

7? ? ? ? ? 0; ② f ( ) ? f ( ) ; 12 5 ?

③ f ? x ? 既不是奇函数也不是偶函数;

④ f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ?k ? Z ?; 3 ? ?

⑤ 经过点 ? a, b ? 的所有直线均与函数 f ? x ? 的图象相交.

?

??

三、解答题(本大题 6 小题共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? , x?R (其中 A ? 0 , ? ? 0 , ? 其部分图象如图所示.

π π , ?? ? ) 2 2

(I)求 f ? x ? 的解析式;
π? π? ? π? ? ? (II)求函数 g ( x) ? f ? x ? ? ? f ? x ? ? 在区间 ? 0 , ? 上的最大值及相应的 x 值. 2? 4? ? 4? ? ?

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn ,且 S n ?

1 a n ? 1 (n ? N ? ) . 2
?

(1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设 bn ? log3 (1 ? Sn?1 ) (n ? N ) ,求适合方程

1 1 1 25 的正整数 n 的值. ? ? ... ? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 51
19. (本小题满分 12 分) 已知向量 a

?

? ? a // b 时,求 cos2 x ? sin 2 x 的值; (1)当
(2)设函数 若a

3 ? ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . 4

? ? ? f ( x) ? 2(a ? b) ? b ,已知在△
6 3

ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,

? 3, b ? 2, sin B ?

,求 f ? x ? ? 4 cos? 2 A ?

? ?

??

? ( x ? ?0, ? )的取值范围. 6? ? 3?

? ??

20. (本小题满分 12 分) 设正项等比数列 {an } 的首项 a1 ?

1 , 前 n 项和为 Sn ,且 210 S30 ? (210 ? 1)S20 ? S10 ? 0. 2

?

??

(1)求 {an } 的通项; (2)求 {nS n } 的前 n 项 Tn .

21. (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ? R) .

(1)讨论函数

f (x) 在定义域内的极值点的个数;
? 1 处取得极值,对 ?x ? (0,??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求实

(2)若函数 f (x ) 在 x 数 b 的取值范围;

22. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? xe , g ( x) ? ax ? x.
x 2

(I)若 f (x) 与 g (x) 具有完全相同的单调区间,求 a 的值; (Ⅱ)若当 x ? 0 时恒有 f ( x) ? g ( x), 求 a 的取值范围.

?

??
11—12:AD

文科数学试题参考答案
一、选择题:1—5:BDCAB; 二、填空题:13.7 14.-1 6—10:DDCDB 15. ? ? ?,

? ?

37 ? 6? ?

16.① ③ ⑤

三、解答题:17. (I)由图可知, A ? 1 , ∴ ? ?1

T π ? ,所以 T ? 2π 4 2

π π π ?π? ?π ? 又 f ? ? ? sin ? ? ? ? ? 1 ,且 ? ? ? ? ,所以 ? ? 4 2 2 ?4? ?4 ?
π? ? 所以 f ( x) ? sin ? x ? ? . 4? ? π? ? (II)由(I) f ( x) ? sin ? x ? ? , 4? ?

π? ? ? 所以 g ( x) ? f ? x ? ? ? f ? x ? 4? ? ?

π? π π? π π? ? ? ? = sin ? x ? ? ? ? sin ? x ? ? ? 4? 4 4? 4 4? ? ?

?? 1 ? ? sin ? x ? ? ? sin x ? cos x ? sin x ? sin 2 x 2? 2 ?
? π? 因为 x ? ?0 , ? ,所以 2 x ? [0 , π] , sin 2 x ? [0 , 1] . 2? ? 1 π 1 ? 1? 故 sin 2 x ? ?0 , ? ,当 x ? 时, g ( x) 取得最大值 . 2 2? 2 4 ?

18. (1) 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ,由 s1 ? 当 n ? 2 时,∵ sn ? 1 ? ∴ sn ? sn ?1 ? ∴ an ?

1 2 a1 ? 1 ,得 a1 ? ????????1 分 2 3

1 1 an , sn ?1 ? 1 ? an ?1 , ???????2 分 2 2

1 1 ? an?1 ? an ? ,即 an ? ? an?1 ? an ? 2 2
????????????????3 分

1 a n ?1 ( n ? 2) 3

∴ ?an ? 是以 故 an ?

1 2 为首项, 为公比的等比数列.?????????????4 分 3 3
????????????????6 分

2 1 n ?1 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) n (n ? N ? ) 3 3 3

(2) 1 ? sn ?

1 1 1 an ? ( ) n , bn ? log3 (1 ? sn ?1 ) ? log 3 ( ) n ?1 ? ?n ? 1 ?????8 分 2 3 3

?

??

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 ????????????????9 分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 ?11 分
解方程

1 1 25 ? ? ,得 n ? 100 2 n ? 2 51

????????????????12 分

19.解: (1)? a // b,? cos x ? sin x ? 0,? tan x ? ?

? ?

3 4

3 4

????2 分

cos 2 x ? sin 2 x ?

cos 2 x ? 2sin x cos x 1 ? 2 tan x 8 ? ? sin x 2 ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 5 ? ? ? ? 3 (2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ? 2 sin(2 x ? ) + 4 2

????6 分

由正弦定理得

a b 2 ? ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 或 A ? 3? sin A sin B 2 4 4

因为 b

? a ,所以 A ?

?
4

????9 分

? ?? ? ? ? 11? ? 1 ? ? ?? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 sin(2 x ? ) ? ,? x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? , , 4 6? 4 ? 4 12 ? 2 ? 3? ? ?
所以

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 2 6? 2 ?
210 S 30 ? (210 ? 1) S 20 ? S10 ? 0

????12 分

20.解: (1)由 即



210 ( S 30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 ,

?2分

210 (a 21 ? a 22 ? ? ? a30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a 20 , 210 ? q10 (a11 ? a12 ? ? ? a20 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 .
????4分

可得

因为

an ? 0

,所以 2 q

10

10

? 1, 解得

q?

1 2,

????5分

因而

a n ? a1 q n ?1 ?

1 , n ? 1,2, ?. 2n

????????6分

(2)因为

{a n }

是首项

a1 ?

1 1 q? 2 的等比数列,故 2 、公比

?

??

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? 1 , nS ? n ? n . Sn ? 2 n 1 2n 2n 1? 2 ????????8 分

则数列

{nS n }

1 2 n Tn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ), 2 2 2 的前 n 项和

Tn 1 1 2 n ?1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 ). 2 2 2 2 2 2
前两式相减,得

Tn 1 1 1 1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? n?1 2 2 2 2 2 2

1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 2 2 ? n ? ? 1 4 2 n ?1 1? 2



Tn ?

n(n ? 1) 1 n ? n ?1 ? n ? 2. 2 2 2 ??12 分

21.解: (1) f ?( x) ? a ?

1 ax ? 1 , ? x x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立, 函数 f (x) 在 (0,??) 单调递减,∴ f (x) 在 (0,??) 上没有极值点; 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 得 0 ? x ?

1 1 , f ?( x) ? 0 得 x ? , a a
1 处有极小值. a

∴ f (x) 在 (0, ) 上递减,在 ( , ?? ) 上递增,即 f (x) 在 x ? ∴当 a ? 0 时 f (x) 在 (0,??) 上没有极值点, 当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 上有一个极值点. (注:分类讨论少一个扣一分。 ) (2)∵函数 f (x ) 在 x ? 1 处取得极值,∴ a ? 1 , ∴ f ( x) ? bx ? 2 ? 1 ? 令 g ( x) ? 1 ?

1 a

1 a

????6 分

????8 分

1 ln x ? ?b, x x

1 ln x ,可得 g (x) 在 0, e 2 上递减,在 e 2 ,?? 上递增, ? x x

?

?

?

?

∴ g ( x) min ? g (e 2 ) ? 1 ?

1 e
2

,即 b ? 1 ?

1 . e2

????12 分

22.解: (I) f ( x) ? e ? xe ? (1 ? x)e ,???2 分
‘ x x x

当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0,

?

??

f (x) 在 (??,?1) 内单调递减;
当 x ? ?1 时, f / ( x) ? 0,

f (x) 在 (?1,??) 内单调递增. ???4 分
又 g / ( x) ? 2ax ? 1, 由 g / (?1) ? ?2a ? 1 ? 0 得 a ? 此时 g ( x) ?

1 . 2

1 2 1 1 x ? x ? ( x ? 1) 2 ? , 2 2 2
1 .???6 分 2

显然 g (x) 在 (??,?1) 内单调递减,在 (?1,??) 内单调递增,故 a ?
x

(II)由 f ( x) ? g ( x) ,得 f ( x) ? g ( x) ? x(e ? ax ? 1) ? 0 .???7 分 令 F ( x) ? e ? ax ? 1,则 F ( x) ? e ? a .???8 分
x / x

? x ? 0 ,? F ( x) ? e x ? a ? 1 ? a .
/ 若 a ? 1 ,则当 x ? (0 ? ?) 时, F ( x) ? 0 , F (x) 为增函数,而 F (0) ? 0 ,

从而当 x ? 0, F ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ;???10 分
/ 若 a ? 1 ,则当 x ? (0, ln a) 时, F ( x) ? 0 , F (x) 为减函数,而 F (0) ? 0 ,

从而当 x ? (0, ln a) 时 F ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ,则 f ( x) ? g ( x) 不成立.————12 分


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