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高二数学选修4-4~4.1.2(2)极坐标与直角坐标互化 ppt


学习目标: 1)掌握极坐标和直角坐标的互化关系式; 2)会实现极坐标和直角坐标之间的互化; 学习难点: 对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解; 学习重点: 互化关系式的掌握;

新课引言
经过前面学习我们知道:极坐标系与直角坐标系是两种不同 的坐标系,而在这两种坐标系中都可以用来确定点的位置,且其 各有特点。通常在运动的过程中,若点作平移变动,则选择直角 坐标系;而若点作旋转变动,则采用极坐标系。 为研究问题方便,充分发挥两种坐标系的长处,又需将点的 极坐标与直角坐标进行互化。

复习回顾
(1)极坐标系是怎样定义的? (2)极坐标系与直角坐标系有何异同? 已知平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 问这个点如何用极坐标表示?

思考分析
由点M的直角坐标为 (1, 3 ) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
则有? ? 1 ? 3) ? 2 且 tan ? ? (
2 2

y

M (1, 3 )

在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标 O 系中取相同的长度单位.(如图示)

θ
x

3 1

?

3

∴点M的直角坐标为 ( 2,

?
3

)

结论归纳
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 其极坐标是 (ρ,θ)

y

M ( x, y)

θ
O

M ( ? ,? )

x

则有x =ρcosθ, y =ρsinθ
也有? ? x ? y , tan ? ?
2 2 2

y x

( x ? 0)

友情提醒
互化公式的三个前提条件: 1)极点与直角坐标系的原点重合; 2)极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;

3)两种坐标系的单位长度必须相同.

例题分析
化成直角坐标. 解: 由? ? 5,? ?
2? 3 2? 5 则有 x ? 5 cos ?? 3 2

示例1. 将点M的极坐标 5, 2? (
3



y ? 5 sin

2? 3
3

?

5 3 2

所以, 点M的直角坐标为 ? 5 , 5 (
2 2



特此声明
由于一个点可有多种表 达式,对于 ? 0时,上面的 ? 公式仍适用!

5? 例如:上述点的极坐标 也可写成( 5, ) 3 5? 1 5 则有x ? ?5 cos ? ?5 ? ? ? 3 2 2

y ? ?5 sin

5? 3

? ?5 ? ( ?

3 2

)?

5 3 2

练一练
已知下列点的极坐标,求它们的直角坐标。

A( 3,

?
6

)、 B ( 2,

?
2

)、 (1,? C

?
2

)、

3 ? 3? D ( , )、 ( 2, E ) 2 4 4

例题分析 示例2. 将点M的直角坐标
化成极坐标.

( ? 3 ,?1)

解: 由x ? ? 3 , y ? ?1
( ) 则有 ? ? ( ? 3 ) ? ? 1 ? 2
2 2

tan? ?

?1 ? 3

?

3 3
7? 6
7? 6

因为点在第三象限, 所以 ? ?

故点M的极坐标为 2, (



特此声明
通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时, 取 ? ? 0,

0 ? ? ? 2? .

思考:
当直角坐标化为极坐标时,极角是如何确定的?

练一练
练习:已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.

A ( 3,? 3 )

B (1, 3 )

C (5,0) E ( ?3,?3)

D (0,?2)

F (?3, 0)

例题分析
例3 已知两点(2, ),(3, )
3

?

?

2

求两点间的距离.

B
A

数形结合分析!

O

x

练一练
某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条高速公路.但在A 村北偏西300方向距A村500米处,发现一古代文物遗址W, 经过初步勘测,文物管理部门将遗址W周围200米划为禁区。 已知B地位于A村的正西方向1千米处,试问:修建高速公路 的计划需要改变吗?如图示:

C W B A

课堂小结
极坐标系与直角坐标系是两种不同的坐标系,而在这两种 坐标系中都可以确定点的位置,其各有特点。通常在运动的过 程中,若点作平移变动,则选择直角坐标系;而若点作旋转变 动,则采用极坐标系。

互化公式
1、x , y ) ? ( ? , ? ) ( 2、 ,? ) ? ( x , (?

? x ? ? cos ? ?? ? y ? ? sin ?

?? 2 ? x2 ? y2 y) ? ? y ? tan ? ? x

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