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高中立体几何(传统方法)


立体几何(传统方法) 知识精要 1. 直线与平面问题,主要是对空间中的直线与平面的位置关系、距离、角以及它们的综合 问题进行研究.这些问题往往与代数、三角、组合等知识综合,因而在解题过程中,要 力求做到概念清晰,方法得当,转化适时,突破得法. 2. 四面体是一种最简单的多面体,它的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得 来.较复杂的多面体常转化为四面体问题加以解决.解决这一类问题的所常用的数学思 想方法有:变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等方法. 3. 解决旋转体的有关问题要注意截面的知识的应用.在解决球相切问题时,注意球心连线 通过切点,球心距等于两球半径之和.因此,研究多球相切问题时,连结球心,从而转 化为多面体问题. 例题 1 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条,使得其中任意两条线段所在直线都 是异面直线,求 k 的最大值. 解答 考察如图所示的正方体上的四条线段 AC, 1, 1B1, BC D A1D,它们所在直线两两都是异面直线.又若有 5 条或 5 条 以上两两异面的直线,则它们的端点相异且个数不少于 10, 与正方体只有 8 个顶点矛盾.故 K 的最大值是 4. 练习 1 在正方体的 8 个顶点、12 条棱的中点、6 个面的中 心及正方体的中心共计 27 个点中,问共线的三点组的个数 是多少 D1 A1 8? 7 解答 两端点都为顶点的共线三点组共有 ? 28 个;两端点都为面的中心共线三点组共 2 6 ?1 12 ? 3 有 两端点都为各棱中点的共线三点组共有 且没有别的类型的共 ? 3 个; ? 18 个, 2 2 线三点组,所以总共有 28 ? 3 ? 18 ? 49 个. A 例题 2 已知一个平面与一个正方体的 12 条棱的夹角都等于 ? ,求 sin ? . 解答 如右图所示,平面 BCD 与正方体的 12 条棱的夹角都 等 于 ? , 过 A 作 AH 垂 直 平 面 BCD . 连 DH , 则 ? ? ?A D H.设正方体的边长为 b,则 B1 D B 2 6 DH ? ? 2b sin 600 ? b 3 3 ? 6 ? 3 AH ? b ? ? ? 3 b? ? 3 b ? ? ? 2 2 所以 sin ? ? sin ?ADH ? AH 3 ? . AD 3 D H A 练习 2 如图所示,正四面体 ABCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,使得 B AE CF ? ? ? (0 ? ? ? ??) ,记 f (? ) ? ? ? ? ?? ,其中 ? ? 表示 EF 与 AC 所成的角,? ? 表 EB FD 示 EF 与 BD 所成的角,证明 f ?(? ) ? 0 ,即 f (? ) 为常数. 解答 因 ABCD 是正四面体,故 AC 垂直 BD,作 EG 平行 AC 交 BC 于 G,连 GF,则 ? ? ? ?GEF ,且 A CG AE CF , ? ? GB FD FD B E D 所以 GF 平行 BD.所以 GF 垂直 EG,且 ?? ? ?EFG .所以 f (? ) 为常数. G C F 例题 3 三棱锥 P-ABC 中,若棱 PA=x,其余棱长均为 1,探讨 x 是否有最值. 解答当 P-ABC 为三棱锥时,x 的最小极限是 P、A 重合,取值为 0,若 ?PBC 绕 BC 顺时针 旋转, 变大, PA 最大极限是 P、 B、 共面时, 为菱形 ABPC 的对角线, A、 C PA 长度为 3 . 所 以

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