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2013-2014学年第二学期高二年级期中文科数学试卷


2013-2014 学年第二学期高二年级期中文科数学试卷

一.选择题(共 10 小题,每小题 5 分) 1.若命题“ p ? q ”为假,且“ ? p ”为假,则( ) A. p 或 q 为假 B. q 假 C. q 真 D.不能判断 q 的真假

2.抛物线 y 2 ? 10x 的焦点到准线的距离是( )

15 D

. 10 2 3.与命题“ 若a ? M,则b ? M ”等价的命题是( ) A. 若a ? M,则b ? M B. 若b ? M,则a ? M C. 若a ? M,则b ? M D. 若b ? M,则a ? M
A. B. 5 C. 4.已知条件已知条件 p : x ? 1,条件 q : x ? 1 ,则 p 是 q 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
2 2

5 2

D.既不充分也不必要条件

5. 设 F 1 和 F2 为双曲线 曲线的离心率为 (

x y ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 ,P(0, 2b) 是正三角形的三个顶点,则双 2 a b
) C. 2 D.3 ④?x∈R,有 x2+1>0.

3 A. 2
其中的真命题是: ( A.①④
3

5 B. 2
) B.②③

6.给出命题:①?x∈R,使 x3<1; ②?x∈Q,使 x2=2; ③?x∈N,有 x3>x2;

C.①③

D.②④ ) (D) b ?

7.若函数 f ( x) ? x ? 3bx ? 3b 在 ?0,1? 内有极小值,则( (A) 0 ? b ? 1
x

(B) b ? 1
2

(C) b ? 0

1 2


8.曲线 y ? e 在点 (2,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

A.

9 2 e 4

B. 2e

2

C. e

2

D.
2 2

e2 2


9. 过原点且倾斜角为 60 ? 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 0 所截得的弦长为 (


D 2 3 6 1 f (2 ? x) ? f ( x ? 2) ? 10.已知函数 f ( x ) ? x ? 3 ,则 lim x ? 0 x x 19 13 19 A. B. C. 16 16 8 A B 2 C 二.填空题(共 5 小题,每小题 5 分)
2

3



) D.

15 8

11. AB 是过 C: y ? 4 x 焦点的弦,且 AB ? 10,则 AB 中点的横坐标是_____. 12. 已知函数 y ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 3

(1)若函数在 ?? ?,??? 总是单调函数, 则 a 的取值范围是

.

(2)若函数在 [1,??) 上总是单调函数,则 a 的取值范围 (3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是

. .

13.对于抛物线 y 2 ? 4 x 上任意一点 Q ,点 P (a, 0) 都满足 PQ ? a ,则 a 的取值范围是______________。 14.与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 过一、三象限的渐近线平行且距离为 2 的直线方程为 15.对于函数 f ( x) ? ax3 , (a ? 0) 以下说法正确的序号是______ ① x ? 0 是 f ( x ) 的极值点.②当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (??,??) 上是减函数. ③ f ( x ) 的图像与 (1, f (1)) 处的切线必相交于另一点. ④若 a ? 0 且 x ? 0 则 f ( x ) ? f ( ) 有最小值是 2 a . 三.解答题(共 6 小题,12+12+12+13+13+13=75 分) 16.设函数 f ( x) ? 已知 p : x ? A .

1 x

3 x 2 ? x ? 2 的定义域为集合 A ,函数 g ( x) ? lg( ? 1) 的定义域为集合 B , x

B ; q : x 满足 2 x ? m ? 0 ,且若 p 则 q 为真命题,求实数 m 的取值范围。

17.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(1)求 a、b 的值;

3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围. (2)若对于任意的 x ? [0,
2

18. 已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 3. (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 2 处的切线方程; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? 0 有三个不同的实根,求实数 m 的取值范围.

19. 已知函数 f ( x) ? x ? 2a ln x.
2

(I)若函数 f(x)的图象在(2,f(2) )处的切线斜率为 l,求实数 a 的值; (Ⅱ )求函数 f(x)的单调区间;

20. 在平面直角坐标系中,已知点 P(1, ?1) ,过点 P 作抛物线

T0 : y ? x2 的切线,其切点分别为 M ( x1, y1 ) 、

N ( x2 , y2 ) (其中 x1 ? x2 ) .
(Ⅰ)求

x1 与 x2 的值;

(Ⅱ)若以点 P 为圆心的圆 E 与直线 MN 相切,求圆 E 的面积;

21.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

2 ,且椭圆经过圆 C: x2 ? y 2 ? 4x ? 2 2 y ? 0 的圆心 2

C。 (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切,求直线 l 的方程。

高二数学段考文科数学试卷参考答案
一.选择题答卷:(共 5×10=50 分)
题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 A 5 C 6 A 7 A 8 D 9 D 10 C

二、填空题答卷: ((共 5×5=25 分) 11. 4 12. (1) a ? 1; (2)a ? ?3; (3)a ? ?3. 13.

? ??,2?

14.

x? y?2?0

15.②③

三、解答题: (共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
2 16.解:由题意, A ? x x ? x ? 2 ? 0 ? x x ? ?1或x ? 2 ,?????????2 分

?

? ?

?

? 3 ? B ? ? x ? 1 ? 0? ? ? x 0 ? x ? 3? , ? x ?
?A B ? ? x 2 ? x ? 3?

?????????4 分

?????????6 分

记 C ? x 2x ? m ? 0 ? ?x x ? ? 又若 p 则 q 为真命题,即 p ? q

?

?

? ?

m? ? 2?
?????????8 分 ?????????10 分

?A

B?C m 3 ? ? , m ? ?6 2

实数 m 的取值范围为 m m ? ?6

?

?

?????????12 分

17.解: (1) f ?( x) ? 6 x2 ? 6ax ? 3b ,??1 分 因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .??3 分

即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, ??4 分 ?24 ? 12a ? 3b ? 0.

解得 a ? ?3 , b ? 4 .??6 分

(2)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x3 ? 9x2 ? 12x ? 8c , f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .??7 分

1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 .??8 分 当 x ? (0,
所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ??0, 3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c .??9 分 因为对于任意的 x ??0, 3? ,有 f ( x) ? c 恒成立,所以
2

9 ? 8c ? c 2 ,??10 分

解得

c ? ?1 或 c ? 9 , ??11 分 因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) (9, ? ?) .??12 分
2

18.解(1) f ?( x) ? 6x ? 6x, f ?(2) ? 12, f (2) ? 7,
3 2 2

?????????2 分

∴曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 7 ? 12( x ? 2) ,即 12 x ? y ? 17 ? 0 ;??4 分 (2)记 g ( x) ? 2x ? 3x ? m ? 3, g ?( x) ? 6 x ? 6 x ? 6 x( x ?1) 令 g ?( x) ? 0, x ? 0 或 1. ???6 分 则 x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表

x (??, 0) 0 (0,1) (1, ??) 1 ? g ?( x ) 0 0 ? ? g ( x) 极大 极小 当 x ? 0, g ( x) 有极大值 m ? 3; x ? 1, g ( x) 有极小值 m ? 2 . ???9 分 ? g (0) ? 0 ?m ? 3 ? 0 由 g ( x) 的简图知,当且仅当 ? ,即? , ? 3 ? m ? ?2 时, ? g (1) ? 0 ?m ? 2 ? 0 函数 g ( x) 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切线, m 的范围是 (?3, ?2) .????12 分
19.

当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下:

x
f '( x)

(0, ?a )
-

?a

( ?a , ??)
+

0
极小值

f ( x)

由上表可知,函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ? a ) ; 单调递增区间是 ( ? a , ??) .
2 ? 20.解: (Ⅰ)由 y ? x 可得, y ? 2 x .??1分

∵直线 PM 与曲线

T0 相切,且过点 P(1, ?1) ,∴

2 x1 ?

x12 ? 1 x1 ? 1 ,即 x12 ? 2x1 ?1 ? 0 ,



x1 ?

2? 4?4 ? 1? 2 x ? 1? 2 , 2 ,或 1

??4分 ??5分 ??6分

同理可得: ∵

x2 ? 1? 2 ,或 x2 ? 1? 2

x1 ? x2 ,∴ x1 ? 1 ? 2 , x2 ? 1 ? 2 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2 ? ?1,则直线 MN 的斜率

k?

2 y1 ? y2 x12 ? x2 ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 ,??8分

∴直线 MN 的方程为: ∴

y ? y1 ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) ,又 y1 ? x12 ,
??10分

y ? x12 ? ( x1 ? x2 ) x ? x12 ? x1x2 ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 .
r?

∵点 P 到直线 MN 的距离即为圆 E 的半径,即

| 2 ? 1 ? 1| 4 ? 4 ?1 5,

??12分

故圆 E 的面积为

S ? ? r2 ? ? ?

16 16 ? ? 5 5 .??13分

21.解: (1)圆 C 方程化为: ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 6 , 圆心 C (2, ? 2), 半径r ? 6 ………………………………………………………1 分

设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则……………………………………..2 分 a 2 b2

?4 2 ? ?1 2 ? ? ? a 2 b2 ?a ? 8 ?? 2 .............................................................5分 ? ? ?b ? 4 ?1 ? ( b ) 2 ? ( 2 ) 2 ? a 2 ?
x2 y 2 ? ? 1 ………………………………………….6 分 所以所求的椭圆的方程是: 8 4
(2)由(1)得到椭圆的左右焦点分别是 F 1 (?2,0), F 2 (2,0) ,

| F2C |? (2 ? 2) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 ? r ? 6

F2 在 C 内,故过 F2 没有圆 C 的切线
设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2),即kx ? y ? 2k ? 0 ……………………………………….9 分 点 C (2, ? 2) 到直线 l 的距离为 d ?

| 2k ? 2 ? 2k | 1? k 2

,

由 d ? 6, 得

| 2k ? 2 ? 2k | 1? k 2

= 6 …………………………………………….10 分

化简得: 5k ? 4 2k ? 2 ? 0
2

解得: k ?

2 或k ? ? 2 ………12 分 5

故 l 的方程为 2x ? 5 y ? 2 2 ? 0或 2 x+y ? 2 2= 0 ……………………………13 分

15. 解:设长方体的宽为 x(m) ,则长为 2x(m),高为 h ?

18 ? 12x ? 4.5 ? 3x(m) 4

3? ? ? 0<x< ? . 2? ?

故长方体的体积为 V ( x) ? 2x 2 (4.5 ? 3x) ? 9x 2 ? 6x 3 (m 3 )

3 (0<x< ). 2

从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1. 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<

2 时,V′(x)<0, 3

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。 从而最大体积 V=V′(x)=9×12-6×13(m3) ,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3 m3。


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