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2011文辽宁高考数学真题及答案WORD版(教师版)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷文) 第Ⅰ卷 1—5 DADAB 6—10 ACBCC 11—12 BB

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x | x ? 1 },B={x | ?1 ? x ? 2 }},则 A ? B= A.{x | ?1 ? x ? 2 } B.{x | x ? ?1 } C.{x | ?1 ? x ? 1 } D.{x | 1 ? x ? 2 }

1 1 1 1 2. i 为虚数单位, ? 3 ? 5 ? 7 ? i i i i A.0 B.2 i C. ? 2i 3.已知向量 a ? (2,1) , b ? (?1, k ) , a ? (2a ? b) ? 0 ,则 k ?
A. ? 12 B. ? 6 4.已知命题 P: ? n∈N,2n>1000,则 ? P 为 A. ? n∈N,2n≤1000 C. ? n∈N,2n≤1000 5.若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为 A.2 B.4 6.若函数 f ( x) ? C.6 B. ? n∈N,2n>1000 D. ? n∈N,2n<1000 C.8

D.4 i D.12

D.16

x 为奇函数,则 a= (2 x ? 1)( x ? a)
B.

A.

1 2

2 3

C.

3 4

D.1

7.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, AF ? BF =3 ,则线段 AB 的中点到 y 轴的 距离为 A.

3 4

B.1

C.

5 4

D.

7 4

8.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 ,它的三视图 中的俯视图如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是 A.4 B. 2 3 C.2 D. 3

9.执行右面的程序框图,如果输入的 n 是 4,则输出的 P 是 A.8 B.5 C.3 D.2 10.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB=2, ∠ASC=∠BSC=45° ,则棱锥 S-ABC 的体积为 A.

3 3

B.

2 3 3

C.

4 3 3

D.

5 3 3

11.函数 f ( x) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 , 则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为 A.( ? 1 ,1) B.( ? 1 ,+ ? )
1

C.( ? ? , ? 1 )

D.( ? ? ,+ ? )

12.已知函数 f ( x) =Atan( ? x+ ? )( ? ? 0, | ? |? 部分图像如下图,则 f (

?
2

),y= f ( x) 的

?
24

)?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 1. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. ( x ? 2) ? y ? 10
2 2

14.0.254

15.—1

16. (??, 2ln 2 ? 2]

13.已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则 C 的方程为___________. 14.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元),调查显示年收入 x

? ? 0.254x ? 0.321 . 与年饮食支出 y 具有线性相关关系, 并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程:y 由
回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加____________万元. 15.Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=____________. 16.已知函数 f ( x) ? e x ? 2 x ? a 有零点,则 a 的取值范围是___________. 三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 2 a. (I)求

b ; a
2

(II)若 c2=b2+ 3 a2,求 B.
2

解:(I)由正弦定理得, sin A ? sin B cos A ?

2 sin A ,即

sin B(sin 2 A ? cos 2 A) ? 2 sin A 故 sin B ? 2 sin A, 所以
(II)由余弦定理和 c ? b ? 3a , 得 cos B ?
2 2 2

b ? 2. a

??????6 分

(1 ? 3)a . 2c

由(I)知 b ? 2a , 故 c ? (2 ? 3)a .
2 2
2 2

可得 cos B ?
2

1 2 , 又 cos B ? 0, 故 cos B ? , 所以B ? 45? 2 2

????12 分

2

18.(本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= (I)证明:PQ⊥平面 DCQ; (II)求棱锥 Q—ABCD 的的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值. 解:(I)由条件知 PDAQ 为直角梯形 因为 QA⊥平面 ABCD,所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD,所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC. 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ=

1 PD. 2

2 PD,则 PQ⊥QD 所以 PQ⊥平面 DCQ. 2

??????6 分

(II)设 AB=a.由题设知 AQ 为棱锥 Q—ABCD 的高,所以棱锥 Q—ABCD 的体积 V1 ? 由(I)知 PQ 为棱锥 P—DCQ 的高,而 PQ= 2 a ,△DCQ 的面积为 所以棱锥 P—DCQ 的体积为 V2 ?

1 3 a. 3

2 2 a , 2

1 3 a. 3

故棱锥 Q—ABCD 的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值为 1.????12 分 19.(本小题满分 12 分)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品 种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小块地种 植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (I)假设 n=2,求第一大块地都种植品种甲的概率; (II)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产 量(单位:kg/hm2)如下表: 品种甲 品种乙 403 397 390 404 388 400 412 406 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品 种? 1 附: 样本数据 x1 , x 2 ,? ? ?, x n 的的样本方差 s 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ? ? ( x n ? x) 2 ] , 其中 x 为样本平均数. n 解:(I)设第一大块地中的两小块地编号为 1,2,第二大块地中的两小块地编号为 3,4, 令事件 A=“第一大块地都种品种甲”.从 4 小块地中任选 2 小块地种植品种甲的基本事件共 6 个;(1, 2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).而事件 A 包含 1 个基本事件:(1,2). 所以 P ( A) ?

1 . 6

??????6 分

(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x甲 ? (403 ? 397 ? 390 ? 404 ? 388 ? 400 ? 412 ? 406) ? 400, 8 1 S甲 ? (32 ? (?3)2 ? (?10) 2 ? 42 ? (?12) 2 ? 02 ? 122 ? 62 ) ? 57.25. 8
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

??????8 分

1 x乙 ? (419 ? 403 ? 412 ? 418 ? 408 ? 423 ? 400 ? 413) ? 412, 8 ??????10 分 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S乙 ? (7 ? (?9) ? 0 ? 6 ? (?4) ? 11 ? (?12) ? 1 ) ? 56. 8
3

由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大, 故应该选择种植品种乙. 20.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) =x+ax2+blnx,曲线 y= f ( x) 过 P(1,0),且在 P 点处的切斜线率为 2. (I)求 a,b 的值; (II)证明: f ( x) ≤2x-2. 解:(I) f ?( x) ? 1 ? 2ax ? 由已知条件得 ?

b . x

????2 分

? f (1) ? 0, ?1 ? a ? 0, 即? 解得 a ? ?1, b ? 3. ? f ?(1) ? 2. ?1 ? 2a ? b ? 2.
2

??????5 分

(II) f ( x)的定义域为(0, ??) ,由(I)知 f ( x) ? x ? x ? 3ln x. 设 g ( x) ? f ( x) ? (2 x ? 2) ? 2 ? x ? x ? 3ln x, 则 g ?( x) ? 1 ? ?2 x ?
2

3 ( x ? 1)(2 x ? 3) ?? . x x

当0 ? x ? 1时, g ?( x) ? 0;当x ? 1时, g ?( x) ? 0.所以g ( x)在(0,1)单调增加, 在(1, ??)单调减少.
而 g (1) ? 0, 故当x ? 0时, g ( x) ? 0,即f ( x) ? 2 x ? 2. ??????12 分

21.(本小题满分 12 分)如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这四点按纵 坐标从大到小依次为 A,B,C,D. (I)设 e ?

1 ,求 BC 与 AD 的比值; 2

(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明理由. 解:(I)因为 C1,C2 的离心率相同,故依题意可设

C1 :

x2 y 2 b2 y 2 x 2 ? ? 1, C : ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 2 a 2 b2 a4 a
(| t |? a) ,分别与 C1,C2 的方程联立,求得 A(t ,

设直线 l : x ? t 当e ?

a 2 2 b 2 2 a ? t ), B(t , a ? t ). ?4 分 b a

1 3 时, b ? a, 分别用y A , yB 表示 A,B 的纵坐标,可知 2 2
2 | yB | b 2 3 ? ? . 2 | yA | a2 4
??????6 分

| BC |:| AD |?

(II)t=0 时的 l 不符合题意. t ? 0 时,BO//AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相等,即

b 2 2 a 2 2 a ?t a ?t ab 2 1 ? e2 a ? ? ? a. ? b , 解得 t ? ? 2 a ? b2 e2 t t ?a
1 ? e2 2 ? e ? 1. 因为 | t |? a, 又0 ? e ? 1, 所以 2 ? 1, 解得 2 e

4

所以当 0 ? e ?

2 时,不存在直线 l,使得 BO//AN; 2
??????12 分



2 ? e ? 1 时,存在直线 l 使得 BO//AN. 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答是用 2B 铅笔在答题 卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED. (I)证明:CD//AB; (II)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点共圆. .解: (I)因为 EC=ED,所以∠EDC=∠ECD. 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA,所以 CD//AB. ????5 分 (II)由(I)知,AE=BE,因为 EF=FG,故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC. 连结 AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE, 又 CD//AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°. 故 A,B,G,F 四点共圆 ????10 分 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程

? x ? cos ? 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数),曲线 C2 的参数方程为 ? y ? sin ? ? x ? a cos ? ( a ? b ? 0 ,? 为参数),在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ= ? ? ? y ? b sin ?
与 C1,C2 各有一个交点.当 ? =0 时,这两个交点间的距离为 2,当 ? = (I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 ? =

? 时,这两个交点重合. 2

? ? 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? = ? 时,l 与 C1,C2 的交点为 A2,B2,求 4 4

四边形 A1A2B2B1 的面积. 解: (I)C1 是圆,C2 是椭圆. 当 ? ? 0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0), (a,0), 因为这两点间的距离为 2,所以 a=3. 当? ?

?

2

时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所以 b=1.
2 2

(II)C1,C2 的普通方程分别为 x ? y ? 1和

x2 ? y 2 ? 1. 9
2 ,与 C2 交点 B1 的横坐标为 2 x? ? 3 10 . 10

当? ?

?
4

时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x ?

当? ? ?

?
4

时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因此,

四边形 A1A2B2B1 为梯形.故四边形 A1A2B2B1 的面积为

(2 x ? ? 2 x)( x ? ? x) 2 ? . 2 5

????10 分

5

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) =|x-2| ? | x-5|. (I)证明: ? 3 ≤ f ( x) ≤3; (II)求不等式 f ( x) ≥x2 ? 8 x+15 的解集.

解:

x ? 2, ? ?3, ? (I) f ( x ) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ?2 x ? 7, 2 ? x ? 5, ?3, x ? 5. ?
所以 ?3 ? f ( x) ? 3. ??????5 分

当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 2 x ? 7 ? 3.

(II)由(I)可知,

当 x ? 2时, f ( x) ? x ? 8 x ? 15 的解集为空集;
2
2

当 2 ? x ? 5时, f ( x) ? x ? 8 x ? 15的解集为{x | 5 ? 3 ? x ? 5} ; 当 x ? 5时, f ( x) ? x ? 8 x ? 15的解集为{x | 5 ? x ? 6} .
2

综上,不等式 f ( x) ? x ? 8 x ? 15的解集为{x | 5 ? 3 ? x ? 6}.
2

????10 分

6


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