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函数的单调性与最值


函数的单调性与最值
要点梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 定义 减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某 个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2
) 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2,当 x1<x2 时, 都有 f(x1) >f(x2) ,

那么就说函数 f(x)在区间 D 那么就说函数 f(x)在区间 D上 上是增函数 是减函数

图象 描述

下降的 自左向右看图象是 上升的 自左向右看图象是
(2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 则称函数 f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性, 区间D 叫做 f(x)的单调区间.

2.函数的最值 前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 (1) 对于任意 x∈I, 条件 都有 (3)对于任意 x∈I, 都有
f(x)≥M ;

f(x)≤M ;

(2)存在 x0∈I,使得

(4)存在 x0∈I,使得
f(x0)=M .

f(x0)=M .
结论 M 为最大值

M 为最小值

[难点正本

疑点清源]

1.函数的单调性是局部性质
函数的单调性,从定义上看,是指函数在定义域的某个子 区间上的单调性,是局部的特征.在某个区间上单调,在整个 定义域上不一定单调.

2.判断方法: ①定义法(作差比较法和作商比较法):在区间 D 上,函数 值 y 随 x 的增大而增大,则函数在区间 D 上为________,函数

增函数

减函数 值 y 随 x 的增大而减小,则函数在区间 D 上为________;
②图象法:在区间 D 上,如果函数的图象从左向右是上升 的,则函数在区间 D 上为________,如果函数的图象从左向右 是下降的,则函数在区间 D 上为________;

增函数

减函数

③导数法:已知函数 y=f(x)在某区间 D 内可导,若
增函数 f′(x)>0,则函数 y=f(x)为区间 D 上的________,若 f′(x)<0,

减函数 则函数 y=f(x)为区间 D 上的________;

④运算法:在公共定义域内,增函数+增函数=
增函数 减函数 ________,减函数+减函数=________;

⑤复合函数单调性的判断方法: “同增异减”, 即若 y=f(x) 增函数 和 u=g(x)的单调性相同,则函数 y=f[g(x)]是________,若 y
减函数 =f(x)和 u=g(x)的单调性相反, 则函数 y=f[g(x)]是________.

2.函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间, 所以求解函数 的单调区间,必须先求出函数的定义域.对于基本初等函数 的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、对数 函数、指数函数等; 如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方 法,首先判断两个简单函数的单调性,再根据“同增异减” 的法则求解函数的单调区间.

3.单调区间的表示
单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如 有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结, 也不能用“或”联结.

4.简单性质:
相同 奇函数在其关于原点对称区间上的单调性________, 相反 偶函数在其关于原点对称区间上的单调性________.

基础自测

[1,4] 1. f(x) = x2 - 2x (x∈[ - 3,4]) 的 单 调 增 区 间 为 ________ ;
f(x)max=________. 15

解析 函数 f(x)的对称轴:x=1,单调增区间为[1,4], f(x)max=f(-2)=f(4)=8.

2.已知函数 y=f(x)在 R 上是减函数,A(0,-2)、B(-3,2)

(-3,0) 在其图象上,则不等式-2<f(x)<2 的解集为________.

解析
点评

画一个草图,数形结合,得不等式的解集为
数形结合是解决此类题目的常用方法.

(-3,0).

3.已知 f(x)=x2+2(a-1)x+2 的单调递减区间是(-∞,3], 则实数 a 的值是________. -2

解析 由题意得:1-a=3,即 a=-2.

4.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( B ) A.y=-x+1 C.y=x2-4x+5
解析
2

B.y= x 2 D.y=x

2 y=-x+1,y=x -4x+5,y=x分别为一次函

数、二次函数、反比例函数,从它们的图象上可以看出 在(0,2)上都是减函数.

5.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f 的实数 x 的取值范围是 A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1)
解析

??1?? ?? ??<f(1) ??x??

( C )

B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
??1?? f??x??<f(1), ?? ??

由 f(x)为 R 上的减函数且

??1? ?|x|<1? ?? ?>1 ? ? ?x? 得:? ,即? .∴0<x<1 ?x≠0 ? ?x≠0 ? 或-1<x<0.

题型分类解析
题型一 函数单调性的判断 例 1 判断并证明函数 f(x)=x3+a (a∈R, 是常数)的单调性. a

思维启迪 判断函数的单调性一般有两种方法: ①利用函数单调性的定义;②利用导数法.
解 f(x)=x3+a 在 R 上是增函数.
∵f′(x)=3x2≥0 在 R 上恒成立且不恒为 0.

证明如下:
方法一 ∴f(x)在 R 上是增函数.

方法二

设 x1,x2 是 R 上任意两个实数,且 x1<x2,

则 f(x1)-f(x2)=(x3+a)-(x3+a) 1 2
?? x2 ?2 3x2? 2 =(x1-x2)(x2+x1x2+x2)=(x1-x2)??x1+ ? + ?, 1 2 2? 4 ? ?? ? x2?2 3x2 ∵x1<x2,∴x1-x2<0,?x1+ ? + 2>0, 2? 4 ?

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)=x3+a 在 R 上是增函数.

探究提高

(1)证明函数的单调性用定义法的步骤是: 取

值—作差—变形—确定符号—下结论. (2)利用导数证明的一般步骤为:求导,判断导函数在区 间上的符号,下结论.导数法是比较常用的一种方法.

a 变式训练 1 讨论函数 f(x)=x+x (a>0)的单调性. 解 方法一 显然 f(x)为奇函数,所以先讨论函数 f(x)
在(0,+∞)上的单调性,设 x1>x2>0, ? a? ? a? 则 f(x1)-f(x2)=?x1+x ?-?x2+x ? ? ? 1? 2? ? a ? ?1- =(x1-x2)· x x ?. ? 1 2? a 当 0<x2<x1≤ a时, >1, x1x2 则 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 故f (x)在(0, a]上是减函数. a 当 x1>x2≥ a时,0< <1,则 f(x1)-f(x2)>0, x1x2 即 f(x1)>f(x2),故 f(x)在[ a,+∞)上是增函数.

∵f(x)是奇函数, ∴f(x)分别在(-∞,- a]、[ a,+∞)上为增函数; f(x)分别在[- a,0)、(0, a]上为减函数. a 方法二 由 f′(x)=1- 2=0 可得 x=± a, x 当 x> a或 x<- a时,f′(x)>0, ∴f(x)分别在[ a,+∞)、(-∞,- a]上是增函数. 同理 0<x< a或- a<x<0 时,f′(x)<0, 即 f(x)分别在(0, a]、[- a,0)上是减函数.

题型二

求函数的单调区间
2

例 2 求函数 y ? log 1 (x2-3x+2)的单调区间. 思维启迪
求解.

2

先确定定义域,再利用复合函数的单调性

令 u=x2-3x+2,则原函数可以看作 y ? log 1 u与 u=
2

x -3x+2 的复合函数. 令 u=x2-3x+2>0,则 x<1 或 x>2. ∴函数 y ? log 1(x2-3x+2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).
2

3 又 u=x -3x+2 的对称轴 x= ,且开口向上. 2
2

∴u=x2-3x+2 在(-∞,1)上是单调减函数, 在(2,+∞)上是单调增函数. 而 y ? log u 在(0,+∞)上是单调减函数, ∴ y ? log 1 (x2-3x+2)的单调减区间为(2,+∞),
2
1 2

单调增区间为(-∞,1).

探究提高 致.

求函数的单调区间与确定单调性的方法一

(1)利用已知函数的单调性, 即转化为已知函数的和、 差 或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的 图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. (5)本题的易错点是忽视函数的定义域.

变式训练 2 函数 y ? log 1 (2x2-3x+1)的递减区间为( A ) 2 ? 3? A.(1,+∞) B.?-∞, ? 4? ? ?1 ? ?3 ? C.? ,+∞? D.? ,+∞? ?2 ? ?4 ?

解析

作出 t=2x2-3x+1 的示意图如图所示,

1 y ∵0< <1,∴ ? log 1 t 递减. 2 2 要使 y ? log 1 (2x2-3x+1)递减, t 应该大于 0 且递增,故 x∈(1,+∞).
2

题型三

求函数的最值

例 3 已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y) 2 =f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 思维启迪
问题(1)对于抽象函数的问题要根据题设及

所求的结论来适当取特殊值,证明 f(x)为单调减函数的 首选方法是用单调性的定义来证.问题(2)用函数的单调 性即可求最值.

(1) 证明

方法一

∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R 总有

f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0, 而 x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数.

方法二

设 x1>x2,

则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为减函数. (2)解 ∵f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2.

探究提高

对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣

单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件,对任 意 x1,x2 在所给区间内比较 f(x1)-f(x2)与 0 的大小,或 f?x1? 与 1 的大小.有时根据需要,需作适当的变形:如 f?x2? x1 x1=x2· 或 x1=x2+x1-x2 等. x2

变式训练 3 已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满 ?x1? 足 f ?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. ? 2? (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值.
解 (1)令 x1=x2>0,

代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0.

x1 (2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1, x2 由于当 x>1 时,f(x)<0, ?x1? 所以 f? ?<0,即 f(x1)-f(x2)<0, ?x2? 因此 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
(3)∵f(x)在[0,+∞)上是单调递减函数, ∴f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9). ?x1? ?9 ? 由 f ? ?=f(x1)-f(x2)得 f ? ? =f(9)-f(3), ?x2? ?3 ? 而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2.

答题模板 2.函数的单调性与不等式 试题:(12 分)函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m +n)=f(m)+f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.
审题视角 (1)对于抽象函数的单调性的证明,只能用定

义.应该构造出 f(x2)-f(x1)并与 0 比较大小.(2)将函数 不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”, 是 本小题的切入点.要构造出 f(M)<f(N)的形式.

规范解答 (1)证明 设 x1<x2,∴x2-x1>0, [2 分] [4 分] [6 分] [8 分] 当 x>0 时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1. f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0?f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为增函数. (2)解 ∵m,n∈R,不妨设 m=n=1, ∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1?f(2)=2f(1)-1, ∴f(1)=2,f(2)=2×2-1=3, ∴f(a2+a-5)<2=f(1), 即 a∈(-3,2). [10 分] [12 分] ∵f(x)在 R 上为增函数,∴a2+a-5<1?-3<a<2,

f(3)=4?f(2+1)=4?f(2)+f(1)-1=4?3f(1)-2=4,

答题模板 解函数不等式的问题一般是: 第一步:确定函数 f(x)在给定区间上的单调性; 第二步:将函数不等式转化为 f(M)<f(N)的形式; 第三步:运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号 “f”,转化成一般的不等式或不等式组; 第四步:解不等式或不等式组确定解集; 第五步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范.

批阅笔记

本题对函数的单调性的判断是一个关键

点.不会运用条件 x>0 时,f(x)>1.构造不出 f(x2)-f(x1) =f(x2-x1)-1 的形式,找不到问题的突破口.第二个 关键应该是将不等式化为 f(M)<f(N)的形式.解决此类 问题的易错点是:忽视 M、N 的取值范围,即忽视 f(x) 所在的单调区间的约束.

方法与技巧 1.根据函数的单调性的定义,证明(判定)函数 f(x)在其 区间上的单调性,其步骤是 (1)设 x1、x2 是该区间上的任意两个值,且 x1<x2(或 x1>x2); (2)作差 f(x1)-f(x2),然后变形; (3)判定 f(x1)-f(x2)的符号; (4)根据定义得出结论.

2.求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域,函数的单调区间都是其定 义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初 等函数的单调区间.常用方法有:根据定义,利用图 象和单调函数的性质,还可以利用导数的性质. 3.复合函数的单调性 对于复合函数 y=f[g(x)],若 t=g(x)在区间(a,b)上是 单调函数, y=f(t)在区间(g(a), 且 g(b))或者(g(b), g(a)) 上是单调函数, t=g(x)与 y=f(t)的单调性相同(同时 若 为增或减), y=f[g(x)]为增函数; t=g(x)与 y=f(t) 则 若 的单调性相反,则 y=f[g(x)]为减函数. 简称为:同增异减.

失误与防范 1.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上 单调递增或单调递减.单调区间要分开写,即使在 两个区间上的单调性相同,也不能用并集表示. 2.两函数 f(x)、g(x)在 x∈(a,b)上都是增(减)函数,则 1 f(x)+g(x)也为增(减)函数,但 f(x)· g(x), 等的单 f?x? 调性与其正负有关,切不可盲目类比.

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