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湖北省宜昌市2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 理(含解析)


湖北省宜昌市2016-2017学年高 二(下)期末数学试卷(理科)
  一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分) 1.i是虚数单位,则复数 的虚部为(  )

  A. ﹣i  

B. ﹣1

C. 1

D. i

2.已知倾斜角为45°的直线经过A(2,4)

,B(1,m)两点,则m=(  )   A. 3   3.某学校有学生2500人,教师350人,后勤职工150人,为了调查对食堂服务的满意度 ,用分层抽样从中抽取300人,则学生甲被抽到的概率为(  )   A.   4.下列命题中: ①命题“若x2﹣3x+2=0,则x=2或x=1”的否命题为“若x2﹣3x+2≠0,则x≠2或x≠1” ②命题p:?x>1,x2﹣1>0,则¬p:?x>1,x2﹣1≤0 ③对命题p和q,“p且q为假”是“p或q”为假的必要不充分条件. 真命题的个数为(  )   A. 0   5.设随机变量ξ服从正态分布N(3,7),若P(ξ>a+2)=P(ξ<a﹣2),则a=(   )   A. 1   B. 2 C. 3 D. 4 B. 1 C. 2 D. 3 B. C. D. B. ﹣3 C. 5 D. ﹣1

1

6.如图所示的程序框图的功能是求 分别填写(  )

的值,则框图中的①、②两处应

  A. i<5?, D. i≤5?,  

B. i≤5?,

C. i<5?,

7.已知一只蚂蚁在圆:x2+y2=1的内部任意随机爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻 该蚂蚁爬行在区域|x|+|y|≤1内的概率是(  )   A.   8.2014年11月24日,伊朗与核谈判六国(美国、英国、法国、俄罗斯、中国和德国) 在瑞士日内瓦达成阶段性协议,会后六国外长合影留念,若中俄两国外长表示友好要 相邻排列,则不同的站位种树为(  )   A. 240   9.圆O1:x2+y2+6x﹣4y+10=0与圆O2:x2+y2=4的位置关系是(  )   A. 相离   10.设F1、F2是双曲线C: =1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1 B. 相交 C. 外切 D. 内切 B. 144 C. 48 D. 168 B. C. D.

|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小内角的大小为30°,则双曲线C的渐近线方程是(  ) 2

  A. x±  

y=0

B.

x±y=0

C. x±2y=0

D. 2x±y=0

11.设函数f(x)的导函数为f′(x),若对任意x∈R,都有f′(x)>f(x)成立 ,则(  )   A. f(ln2015)<2015f(0)   B. f(ln2015)=2015f(0)   C. f(ln2015)>2015f(0)   D. f(ln2015)与2015f(0)的大小关系不确定   12.已知椭圆 + =1(a>0,b>0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆 ,

上的动点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,k1k2≠0,若|k1|+|k2|的最小值为 则椭圆的离心率为(  )   A.     二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分) B. C. D.

13.某研究结构对高中学段学生的记忆能力x和识图能力y进行统计分析,得到如下数 据: x y 0 ﹣1 1 1 2 m 3 8

若y与x的回归直线方程 =3x﹣ ,则实数m的值是      .   14.在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=lnx在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与 直线ax﹣y+3=0垂直,则实数a的值为      .   3

15.设m=3

(x2+sinx)dx,则二项式(x+

)6展开式的常数项为      

.   16.如图,我们知道圆环是线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形,所以,圆环的 面积S=π(R2﹣r2)=(R﹣r)×2π× 可以看作是以线段AB=R﹣r为宽,以AB的中心

绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×

为长的矩形面积.请将上述想法拓展到空

间,并解决下列问题:若将平面区域M={(x,y)|(x﹣2)2+y2≤1}绕y轴旋转一周, 则所形成的旋转体的体积是      .

    三、解答题(共5小题,满分60分) 17.已知以点P为圆心的圆经过点A(﹣1,1)和B(2,0),线段AB的垂直平分线交该 圆于C、D两点,且|CD|=10 (Ⅰ)求直线CD的方程; (Ⅱ)求圆P的方程.   18.某市热线网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投 票,按照该市暴雨前后两个时间各收集了50份有效投票,所得统计结果如表 支持 暴雨后 暴雨前 x 20 不支持 y 30 总计 50 50 4

总计

A

B

100

已知工作人员从所有投票中任取一张,取到“不支持投入”的投票概率为 (Ⅰ)求列联表中的数据x,y,A,B额值;并绘制条形图,通过图形判断本次暴雨是 否影响到该市民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度? (Ⅱ)能够有多大把握认为暴雨与该市民众是否赞成加大修建城市地下排水设施的投 入有关? (Ⅲ)用样本估计总体,在该市全体市民中任意选取4人,其中“支持加大修建城市地 下排水设施的资金投入”的人数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.附:K2=

P(K2≤k0) 0.001 k0 2.072

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

  19.如图,在三棱锥S﹣ABC中,SA⊥底面ABC,AC=AB=SA=2,AC⊥AB,D、E分别是AC、 BC的中点,F在SE上,且SF=2FE (Ⅰ)求证:平面SBC⊥平面SAE (Ⅱ)若G为DE中点,求二面角G﹣AF﹣E的大小.

5

  20.已知抛物线C的顶点在坐标原点O,焦点F在x轴的正半轴上,抛物线上的点N到F的 距离为2,且N的横坐标为1,过焦点F作倾斜角为锐角的直线l交抛物线于A、B两点,且 与其准线交于点D. (1)求抛物线C的标准方程; (2)若线段AB的长为8,求直线l的方程; (3)在C上是否存在点M,使得对任意直线l,直线MA、MD、MB的斜率始终满足2kMD=kMA +kMB?若存在,求点M的坐标,若不存在,说明理由.   21.已知f(x)=ex﹣t(x+1),e为自然对数的底数. (Ⅰ)若f(x)≥0对一切正实数x恒成立,求t的取值范围; (Ⅱ)设g(x)=f(x)+ ,且A(x1,y2),B(x2,y2)(x1≠x2)是曲线y=g(x)

上任意两点,若对任意的t≤﹣1,直线AB的斜率恒大于常数m,求m的取值范围; (Ⅲ)求证:ln(1+n)<1+ +…+ ≤1+lnn.     请在下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,并用2B铅笔子啊答题卡上将所选题 目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多 答案所答第一题评分【选修4-1:几何证明题】 22.如图,△ABC为直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的圆交AC与点E,点D是BC边 的中点,连接OD交圆于点M,求证: 6

(1)O、B、D、E四点共圆; (2)2DC2=DM?AC+DM?AB.

    【选修4-4:坐标系与参数方程】 2015?厦门校级模拟)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建 立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ(sinθ+cosθ)=1,曲线C2的参数方程为 (θ为参数). (Ⅰ)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程; (Ⅱ)试判断曲线C1与C2是否存在两个交点?若存在,求出两交点间的距离;若不存在 ,说明理由.     【选修4-5:不等式选讲】 2015春?宜昌期末)设函数f(x)=|x﹣ |+|x+m|(m>0) (1)证明:f(x)≥4; (2)若f(2)>5,求m的取值范围.    

7

湖北省宜昌市2016-2017学年高二(下)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析   一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分) 1.i是虚数单位,则复数 的虚部为(  )

  A. ﹣i

B. ﹣1

C. 1

D. i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析: 由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质化简复数 ,可得它的虚部. 解答: 故选:C. 点评: 本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法法则的应用,虚数单 位i的幂运算性质,属于基础题.   2.已知倾斜角为45°的直线经过A(2,4),B(1,m)两点,则m=(  )   A. 3 B. ﹣3 C. 5 D. ﹣1 解:复数 = =﹣1+i,故复数的虚部为1,

考点:直线的斜率;直线的倾斜角. 专题:计算题;直线与圆.

8

分析: 首先根据斜率公式直线AB的斜率k,再由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率, 进而求出a的值. 解答: 解:∵直线经过两点A(2,4),B(1,m), =4﹣m,

∴直线AB的斜率k=

又∵直线的倾斜角为450, ∴k=1, ∴m=3. 故选:A. 点评: 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系,以及由两点求直线的斜率,此题属于基础 题型.   3.某学校有学生2500人,教师350人,后勤职工150人,为了调查对食堂服务的满意度 ,用分层抽样从中抽取300人,则学生甲被抽到的概率为(  )   A. B. C. D.

考点:分层抽样方法;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析: 先根据分层抽样的特点可知,求出抽取的学生数,再利用等可能事件的概率公式 可求解. 解答: 解:根据分层抽样的特点可知,抽取的学生为 =250人,

9

则学生甲被抽到的概率P= 故选:A. 点评:

=



本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关键.比较 基础.   4.下列命题中: ①命题“若x2﹣3x+2=0,则x=2或x=1”的否命题为“若x2﹣3x+2≠0,则x≠2或x≠1” ②命题p:?x>1,x2﹣1>0,则¬p:?x>1,x2﹣1≤0 ③对命题p和q,“p且q为假”是“p或q”为假的必要不充分条件. 真命题的个数为(  )   A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析:由命题及其关系及充分条件与必要条件对①②③三个选项逐一判断即可. 解答: 解:①命题“若x2﹣3x+2=0,则x=2或x=1”的否命题为“若x2﹣3x+2≠0,则x≠ 2且x≠1”,①不正确; ②命题p:?x>1,x2﹣1>0,则¬p:?x>1,x2﹣1≤0,②正确; ③由“p且q为假”知,p、q至少有一个假命题,当p假、q真时“p或q”为真命题, 反之“p或q为假”时p、q都是假命题,则“p且q为假”, 所以“p且q为假”是“p或q为假”的必要不充分条件,③正确, 真命题的个数是2, 故选:C.

10

点评: 本题考查命题的真假判断与应用,命题及其关系,复合命题的真假,以及充分条 件与必要条件,属于中档题.   5.设随机变量ξ服从正态分布N(3,7),若P(ξ>a+2)=P(ξ<a﹣2),则a=(   )   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题. 分析: 由题意知随机变量符合正态分布,又知正态曲线关于x=3对称,得到两个概率相 等的区间关于x=3对称,得到关于a的方程,解方程即可. 解答: 解:∵随机变量ξ服从正态分布N(3,7),

∵P(ξ>a+2)=P(ξ<a﹣2), ∴a+2与a﹣2关于x=3对称, ∴a+2+a﹣2=6, ∴2a=6, ∴a=3, 故选C. 点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,本题解题的关键是理解正态 曲线的特点正态曲线关于直线x=μ对称,这是一部分正态分布问题解题的依据.   6.如图所示的程序框图的功能是求 分别填写(  ) 的值,则框图中的①、②两处应

11

  A. i<5?, D. i≤5?,

B. i≤5?,

C. i<5?,

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:根据流程图所表示的算法功能可知求 来累加,根据循环的次数,可得处理框应填结果. 解答: 解:程序框图是计算 ,共循环4次, 的值, 的值,从而应该利用

则可利用循环结构累加 则第一个处理框应为i<5, 然后计算 第二空应填写 故选:C. 点评: , .

本题主要考查了当型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循 环结构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,本题属于基础题.   7.已知一只蚂蚁在圆:x2+y2=1的内部任意随机爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻 该蚂蚁爬行在区域|x|+|y|≤1内的概率是(  )   A. B. C. D.

12

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析: 蚂蚁在圆内随机爬行,当该蚂蚁爬行在区域|x|+|y|≤1内时,由图形,算出四边 形ABCD的面积,再用这个面积除以圆的面积,即得本题的概率. 解答: 解:一只蚂蚁在圆:x2+y2=1的内部任意随机爬行,

构成全部事件的区域表示的集合为{(x,y)|x2+y2=1},其面积为π 构成事件“某时刻该蚂蚁爬行在区域|x|+|y|≤1内”所表示的集合为{(x,y)||x|+| y|≤1}, 如图所示,其面积为 =2 = ,

则某时刻该蚂蚁爬行在区域|x|+|y|≤1内的概率为P= 故选:A

点评: 本题主要考查几何概型,解题时如需要计算图形的面积,同时考查了分析问题的 能力,属于基础题.   8.2014年11月24日,伊朗与核谈判六国(美国、英国、法国、俄罗斯、中国和德国) 在瑞士日内瓦达成阶段性协议,会后六国外长合影留念,若中俄两国外长表示友好要 相邻排列,则不同的站位种树为(  ) 13

  A. 240

B. 144

C. 48

D. 168

考点:计数原理的应用. 专题:排列组合. 分析: 利用捆绑法,把中俄两国外长二人捆绑在一起,看作一个复合元素,再和其他4 人进行全排,问题得以解决. 解答: 解:先把中俄两国外长二人捆绑在一起,看作一个复合元素,再和其他4人进行 全排,故有A22?A55=240种不同的站法, 故选:A. 点评:本题主要考查了排列问题的中的相邻问题,利用捆绑法是关键,属于基础题.   9.圆O1:x2+y2+6x﹣4y+10=0与圆O2:x2+y2=4的位置关系是(  )   A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切

考点:圆与圆的位置关系及其判定. 专题:直线与圆. 分析:求出两个圆的圆心和半径,根据圆圆之间的位置关系的条件即可得到结论. 解答: 解:圆O1:x2+y2+6x﹣4y+10=0的标准方程为(x+3)2+(y﹣2)2=3,圆心为O1( ﹣3,2),半径为r= ,

圆O2:圆O2:x2+y2=4,圆心为O2(0,0),半径为R=2, 则|O1O2|= R+r= = ,∴|O1O2|2=13=7+ +2)2=7+ ,

+2,(R+r)2=(

∴|O1O2|<R+r R﹣r=2﹣ < =|O1O2|,

故圆O1和圆O2的位置关系是相交, 14

故选:B. 点评: 本题主要考查圆与圆的位置关系的判断,求出圆的圆心和半径是解决本题的关键 .   10.设F1、F2是双曲线C: =1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1

|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小内角的大小为30°,则双曲线C的渐近线方程是(  )   A. x± y=0 B. x±y=0 C. x±2y=0 D. 2x±y=0

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设|PF1|>|PF2|,由已知条件求出|PF1|=4a,|PF2|=2a,e= ,由此能求出双曲线C: 解答: =1的渐近线方程. ,进而求出b=

解:设|PF1|>|PF2|,则|PF1|﹣|PF2|=2a,

又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a. 则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°, ∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2﹣2|PF1|?|F1F2|cos30°, ∴(2a)2=(4a)2+(2c)2﹣2×4a×2c× 同时除以a2,化简e2﹣2 解得e= ∴b= ∴双曲线C: 即 =0. 15 ,∴c= = , , =1的渐近线方程为y= =± , e+3=0, ,

故选:B. 点评: 本题考查双曲线的渐近线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,要熟练掌 握双曲线的简单性质.   11.设函数f(x)的导函数为f′(x),若对任意x∈R,都有f′(x)>f(x)成立 ,则(  )   A. f(ln2015)<2015f(0)   B. f(ln2015)=2015f(0)   C. f(ln2015)>2015f(0)   D. f(ln2015)与2015f(0)的大小关系不确定

考点:导数的运算. 专题:导数的概念及应用. 分析: 构造函数g(x)= ,利用导数可判断g(x)的单调性,由单调性可得g(ln

2015)与g(0)的大小关系,整理即可得到答案. 解答: 解:令g(x)= ,则g′(x)= ,

因为对任意x∈R都有f′(x)>f(x), 所以g′(x)>0,即g(x)在R上单调递增, 又ln2015>0,所以g(ln2015)>g(0),即 所以 f(ln2015)>2015f(0), 故选:C. > ,

16

点评: 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性,解决本题的关键是根据选项 及已知条件合理构造函数,利用导数判断函数的单调性,属中档题.   12.已知椭圆 + =1(a>0,b>0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆 ,

上的动点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,k1k2≠0,若|k1|+|k2|的最小值为 则椭圆的离心率为(  )   A. B. C. D.

考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设M(x0,y0),N(﹣x0,﹣y0),P(x,y),可得k1= ,k2= .由于M

、N、P都在椭圆

+

=1上,可得

=1,

+

=1,相减可得|k1|?|k2|=

.再利

用基本不等式的性质可得|k1|+|k2|≥2 解答: 则k1=

=

.可得

=

,即可得出.

解:设M(x0,y0),N(﹣x0,﹣y0),P(x,y), ,k2= .

又∵M、N、P都在椭圆

+

=1上,



=1,

+

=1,

17



=0,







=﹣

k2,即|k1|?|k2|=



又∵|k1|+|k2|≥2

=





=

,即2b2=a2,

∴2(a2﹣c2)=a2,即2c2=a2, ∴ = ,即e2= ,

∴e= 答案 点评:

. D.

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、基本不等式的性质,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题.   二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分) 13.某研究结构对高中学段学生的记忆能力x和识图能力y进行统计分析,得到如下数 据: x y 0 ﹣1 1 1 2 m 3 8

若y与x的回归直线方程 =3x﹣ ,则实数m的值是 4 .

18

考点:线性回归方程. 专题:计算题;概率与统计. 分析: 利用平均数公式计算预报中心点的坐标,根据回归直线必过样本的中心点可得答 案. 解答: 解:由题意, =1.5, = ,

∴样本中心点是坐标为(1.5,

),

∵回归直线必过样本中心点,y与x的回归直线方程为 =3x﹣ ,

∴ ∴m=4

=3×1.5﹣1.5,

故答案为:4. 点评:本题考查了线性回归直线的性质,回归直线必过样本的中心点.   14.在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=lnx在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与 直线ax﹣y+3=0垂直,则实数a的值为 ﹣e .

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用;直线与圆. 分析: 求出函数的导数,求得切线的斜率,由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,可 得a的方程,即可解得a. 解答: 解:y=lnx的导数为y′= ,

19

即有曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k= , 由于切线与直线ax﹣y+3=0垂直, 则a? =﹣1, 解得a=﹣e, 故答案为:﹣e. 点评: 本题考查导数的运用:求切线的斜率,主要考查导数的几何意义,同时考查两直 线垂直的条件:斜率之积为﹣1,属于基础题.   15.设m=3 (x2+sinx)dx,则二项式(x+ )6展开式的常数项为   .

考点:二项式定理的应用. 专题:二项式定理. 分析: 求定积分求得m的值,在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于零,求得r 的值,可得展开式的常数项. 解答: 解:∵m=3 (x2+sinx)dx=3( ﹣cosx) =(x3﹣3cosx) =2,

则二项式(x+

)6 展开式的通项公式为

Tr+1=

?2﹣r?

,令6﹣ r=0,求得r=4,

可得展开式的常数项为

?2﹣4=



20

故答案为:



点评:本题主要考查求定积分,二项展开式的通项公式,属于基础题.   16.如图,我们知道圆环是线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形,所以,圆环的 面积S=π(R2﹣r2)=(R﹣r)×2π× 可以看作是以线段AB=R﹣r为宽,以AB的中心

绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×

为长的矩形面积.请将上述想法拓展到空

间,并解决下列问题:若将平面区域M={(x,y)|(x﹣2)2+y2≤1}绕y轴旋转一周, 则所形成的旋转体的体积是 4π2 .

考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台). 专题:空间位置关系与距离. 分析: 根据已知中圆环的面积等于是以线段AB=R﹣r为宽,以AB中点绕圆心O旋转一周所 形成的圆的周长2π× 为长的矩形面积.拓展到空间后,将平面区域M={(x,y)|

(x﹣d)2+y2≤r2}(其中0<r<d)绕y轴旋转一周,则所形成的旋转体的体积应等于 :以圆(x﹣d)2+y2=r2为底面,以圆心(d,0)绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d 为高的圆柱的体积.代入可得答案 解答: 解:由已知中圆环的面积等于是以线段AB=R﹣r为宽, 为长的矩形面积.

以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×

21

拓展到空间后,将平面区域M={(x,y)|(x﹣d)2+y2≤r2}(其中0<r<d)绕y轴旋 转一周, 则所形成的旋转体的体积应等于: 以圆(x﹣d)2+y2=r2为底面,以圆心(d,0)绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d为 高的圆柱的体积. 故V=πr2?2πd=2π2r2d, 当d=2,r=1时,V=4π2, 故答案为:4π2. 点评: 本题考查的知识点是圆柱的体积,类比推理,其中得到拓展到空间后,将平面区 域M={(x,y)|(x﹣d)2+y2≤r2}(其中0<r<d)绕y轴旋转一周,则所形成的旋转 体的体积应等于:以圆(x﹣d)2+y2=r2为底面,以圆心(d,0)绕y轴旋转一周形成的 圆的周长2π×d为高的圆柱的体积.是解答的关键.   三、解答题(共5小题,满分60分) 17.已知以点P为圆心的圆经过点A(﹣1,1)和B(2,0),线段AB的垂直平分线交该 圆于C、D两点,且|CD|=10 (Ⅰ)求直线CD的方程; (Ⅱ)求圆P的方程.

考点:圆的一般方程. 专题:直线与圆. 分析: (1)直接用点斜式求出直线CD的方程;

(2)根据条件得知|PA|为圆的半径,点P在直线CD上,列方程求得圆心P坐标,从而求 出圆P的方程 解答: 解:(1)直线AB的斜率k=1,AB中点坐标为(1,2),…(3分)

∴直线CD的斜率为﹣1, 方程为y﹣2=﹣(x﹣1)即x+y﹣3=0 …(6分) 22

(2)设圆心P(a,b),则由点P在直线CD上得: a+b﹣3=0 又直径|CD|=10, ∴|PA|=5 ∴(a+1)2+b2=25 由①②解得 或 ②…(10分) ①…(8分)

∴圆心P(2,5)或P(﹣1,﹣4)…(12分) ∴圆P的方程为(x﹣2)2+(y﹣5)2=25 或(x+1)2+(y+4)2=25…(14分

点评:此题考查直线方程的点斜式、圆的标准方程的求法.   18.某市热线网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投 票,按照该市暴雨前后两个时间各收集了50份有效投票,所得统计结果如表 支持 暴雨后 暴雨前 总计 x 20 A 不支持 y 30 B 总计 50 50 100

已知工作人员从所有投票中任取一张,取到“不支持投入”的投票概率为 (Ⅰ)求列联表中的数据x,y,A,B额值;并绘制条形图,通过图形判断本次暴雨是 否影响到该市民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度? (Ⅱ)能够有多大把握认为暴雨与该市民众是否赞成加大修建城市地下排水设施的投 入有关? (Ⅲ)用样本估计总体,在该市全体市民中任意选取4人,其中“支持加大修建城市地 下排水设施的资金投入”的人数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.附:K2=

23

P(K2≤k0) 0.001 k0 2.072

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

考点:独立性检验的应用. 专题:应用题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)利用工作人员从所有投票中任取一个,取到“不支持投入”的投票的概 率为 ,求出y,即可求得其它值; (Ⅱ)根据公式计算相关指数x2的观测值,比较临界值的大小,可判断南昌暴雨对民 众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关系. (Ⅲ)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,求出相应的概率,即可求ξ的分布列和数学期 望. 解答: 解:(Ⅰ)设“从所有投票中任取一个,取到“不支持投入”的投票”为事件A , 由已知得P(A)= = ,

所以y=10,B=40,x=40,A=60,

24

暴雨后支持率为

= ,不支持率为1﹣ = ,暴雨前支持率为

= ,不支持率为1﹣ =

; 绘制条形图,

通过图形判断本次暴雨影响到该市民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度; (Ⅱ)K2= ≈16.67>6.635,

故至少有99%的把握认为南昌暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入 有关. (Ⅲ)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,用样本估计总体,任取一人支持的概率为P= = ,

所以ξ~B(4, ),P(ξ=k)= 所以ξ的分布列为 ξ P 0 1 2 3 4

Eξ=np=4× =



25

点评: 本题考查了列联表及利用列联表进行独立性检验的思想方法,考查分布列和数学 期望,熟练掌握独立性检验的思想方法、正确求概率是解题的关键.   19.如图,在三棱锥S﹣ABC中,SA⊥底面ABC,AC=AB=SA=2,AC⊥AB,D、E分别是AC、 BC的中点,F在SE上,且SF=2FE (Ⅰ)求证:平面SBC⊥平面SAE (Ⅱ)若G为DE中点,求二面角G﹣AF﹣E的大小.

考点:平面与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 专题:空间角. 分析: (Ⅰ)通过证明BC与平面SAE内的两条相交直线垂直即可;

(Ⅱ)以A点为坐标原点,分别以AC,AB,AS为x,y,z轴建立空间坐标系O﹣xyz,分 别求出设平面AFG的法向量为 =(﹣1,2,﹣1),平面AFE的法向量为 =(2,﹣2,0 ),利用向量的夹角公式即可求出. 解答: 解:(Ⅰ)证明:∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥BC,

又∵AC=AB,且点E是BC的中点, ∴BC⊥AE, ∵SA∩AE=A, ∴BC⊥底面SAE, ∵BC?平面SBC, ∴平面SBC⊥平面SAE. (Ⅱ)以A点为坐标原点,分别以AC,AB,AS为x,y,z轴建立空间坐标系O﹣xyz, 26

则A(0,0,0),S(0,0,2),E(1,1,0),G(1, ,0),C(2,0,0),B( 0,2,0) 由SF=2FE得F( , , ),



=(1,1,0),

=( , , ),

=G(1, ,0),

=(2,﹣2,0)

设平面AFG的法向量为 =(x,y,z),





令y=2,得到x=﹣1,z=﹣1,即 =(﹣1,2,﹣1) 设平面AFG的法向量为 =(x,y,z),





令y=2,得到x=﹣1,z=﹣1,即 =(﹣1,2,﹣1) 设平面AFE的法向量为 由(Ⅰ)知 ∴cosα= 为平面AES的一个法向量, = = =﹣ , =(2,﹣2,0)

∵二面角G﹣AF﹣E的平面角为锐角, ∴二面角G﹣AF﹣E的大小为 .

27

点评: 本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算,考查空 间想象能力,注意解题方法的积累,属于中档题.   20.已知抛物线C的顶点在坐标原点O,焦点F在x轴的正半轴上,抛物线上的点N到F的 距离为2,且N的横坐标为1,过焦点F作倾斜角为锐角的直线l交抛物线于A、B两点,且 与其准线交于点D. (1)求抛物线C的标准方程; (2)若线段AB的长为8,求直线l的方程; (3)在C上是否存在点M,使得对任意直线l,直线MA、MD、MB的斜率始终满足2kMD=kMA +kMB?若存在,求点M的坐标,若不存在,说明理由.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由题意可设抛物线方程为:y2=2px,利用 =|NF|=2,解得p即可得出;

(2)F(1,0),设直线l方程为y=k(x﹣1),(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2) ,与抛物线方程联立化为k2x2﹣(4+2k2)x+k2=0,利用|AB|=x1+x2+p=8.即可解出k.

28

(3)假设存在M



,B

,直线l方程my=x﹣1(m

>0).D

.直线l方程与抛物线方程联立化为y2﹣4my﹣4=0,利用斜率计

算公式与根与系数的关系,及其满足2kMD=kMA+kMB,可得 (t2﹣4)m2=0,解出即可. 解答: ∵ 解:(1)由题意可设抛物线方程为:y2=2px,

=

,化为

=|NF|=2,解得p=2.

∴抛物线方程为:y2=4x. (2)F(1,0), 设直线l方程为y=k(x﹣1),(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 ,化为k2x2﹣(4+2k2)x+k2=0,

∴x1+x2=



∵|AB|=8,∴

+2=8,

化为k2=1,又k>0, 解得k=1. ∴直线l的方程为:y=x﹣1. (3)假设存在M >0). D . , ,B ,直线l方程my=x﹣1(m

29

联立

,化为y2﹣4my﹣4=0,∴y1+y2=4m,y1y2=﹣4.

kMD=

=

,kMA=

=

,kMB=



∵满足2kMD=kMA+kMB, ∴ = ,



=

=





=



化为(t2﹣4)m2=0, 因此对于m2>0,可得t2﹣4=0,解得t=±2. 因此存在M(1,±2)满足2kMD=kMA+kMB. 点评: 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦点弦长公式、直线与抛物线相交转化 为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能,考查了推理 能力与计算能力,属于难题.   21.已知f(x)=ex﹣t(x+1),e为自然对数的底数. (Ⅰ)若f(x)≥0对一切正实数x恒成立,求t的取值范围; (Ⅱ)设g(x)=f(x)+ ,且A(x1,y2),B(x2,y2)(x1≠x2)是曲线y=g(x)

上任意两点,若对任意的t≤﹣1,直线AB的斜率恒大于常数m,求m的取值范围; (Ⅲ)求证:ln(1+n)<1+ +…+ ≤1+lnn.

30

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)问题转化为t≤ (x>0)恒成立,设p(x)= (x≥0),通过求导

得到函数的最小值,从而求出t的范围; (Ⅱ)问题转化为g(x2)﹣mx2>g(x1)﹣mx1,设F(x)=g(x)﹣mx,通过取得得 到F(x)的单调性,从而求出m的范围; (Ⅲ)由ln(1+x)<x,得到ln(1+n)<1+ +…+ ①,1+ +…+ ≤1+lnn(n∈N*) ②,从而证出结论. 解答: 解:(Ⅰ)f(x)≥0?t≤ (x>0)恒成立,

设p(x)=

(x≥0),则p′(x)=

≥0,

∴p(x)在x∈[0,+∞)单调递增,p(x)≥p(0)=1(x=1时取等号), ∴t≤1; (Ⅱ)设x1,x2是任意的两个实数,且x1<x2, >m,故g(x2)﹣mx2>g(x1)﹣mx1, 设F(x)=g(x)﹣mx,则F(x)在R上递增, 即F′(x)=g′(x)﹣m>0恒成立, 即对任意的t≤﹣1,x∈R,m<g′(x)恒成立, 而g′(x)=ex﹣t﹣ ≥2 ﹣t=﹣t+2 ≥3,

故m<3; (Ⅲ)由(Ⅰ):ex≥x+1,即ln(1+x)≤x,(x>﹣1), 则x>0时,ln(1+x)<x, 31

设x= ,则有ln

< ,分别取k=1,2,3,…,n,

将上述n个不等式依次相加,得: ln +ln +…+ln <1+ +…+ ,

∴ln(1+n)<1+ +…+ ①,

设x=﹣

,则有ln



,分别取k=1,2,3,…,n﹣1,

将上述n个不等式依次相加,得: +…+ <ln +ln +…+ln ,

即 +…+ <lnn(n≥2),

∴1+ +…+ ≤1+lnn(n∈N*)②,

综合①②得:ln(1+n)<1+ +…+ ≤1+lnn. 点评: 本题考查了函数恒成立问题,函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,不等 式的证明问题,是一道难题.   请在下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,并用2B铅笔子啊答题卡上将所选题 目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多 答案所答第一题评分【选修4-1:几何证明题】 22.如图,△ABC为直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的圆交AC与点E,点D是BC边 的中点,连接OD交圆于点M,求证: (1)O、B、D、E四点共圆; 32

(2)2DC2=DM?AC+DM?AB.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题;推理和证明. 分析: (1)做出辅助线,首先证明两个三角形全等,根据三角形三边对应相等,得到 两个三角形全等,得到对应角相等,从而得到四边形一对对角互补,即四点共圆. (2)根据圆的切割线定理,写出DE,DM,DH三者之间的关系,把DH写成两部分的和, 然后变化成AC,整理系数得到结论成立. 解答: 解:(1)如图,连接BE,则BE⊥EC,

又D是BC的中点,所以DE=BD. 又OE=OB,OD=OD, 所以△ODE≌△ODB, 所以∠OBD=∠OED=90°. 故D,E,O,B四点共圆. (2)如图,延长DO交圆于点H, ∵DE2=DM?DH=DM?(DO+OH)=DM?DO+DM?OH, ∴DE2=DM?( AC)+DM ,即2DE2=DM?AC+DM?AB, …(5分)

∵DE=

=DC,∴2DC2=DM?AC+DM?AB.…(10分)

33

点评: 本题考查三角形全等,考查四点共圆,考查圆的切割线定理,是一个平面几何的 综合题目,解题时注意分析要证明的结论与条件之间的关系.   【选修4-4:坐标系与参数方程】 2015?厦门校级模拟)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建 立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ(sinθ+cosθ)=1,曲线C2的参数方程为 (θ为参数). (Ⅰ)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程; (Ⅱ)试判断曲线C1与C2是否存在两个交点?若存在,求出两交点间的距离;若不存在 ,说明理由.

考点:椭圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)

由条件根据极坐标与直角坐标的互化公式求得曲线C1的直角坐标方程;把曲线C2的参数 方程中的参数消去,转化为普通方程. (Ⅱ)把曲线C1与C2是联立方程组根据判别式大于零可得曲线C1与C2是相交于两个点; 求出方程组的解,可得两个交点的坐标,从而求得两交点间的距离. 解答: 解:(Ⅰ)由曲线C1的极坐标方程为ρ(sinθ+cosθ)=1,可得它的直角坐标 方程为x+y=1, 根据曲线C2的参数方程为 (θ为参数),可得它的普通方程为 +y2=1.

(Ⅱ)把曲线C1与C2是联立方程组 故曲线C1与C2是相交于两个点. 34

,化简可得 5x2﹣8x=0,显然△=64>0,

解方程组求得

,或

,可得这2个交点的坐标分别为(0,1)、( ,﹣ ).

点评: 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程,把参数方程化为普通方程的方法 ,求两条曲线的交点,属于基础题.   【选修4-5:不等式选讲】 2015春?宜昌期末)设函数f(x)=|x﹣ |+|x+m|(m>0) (1)证明:f(x)≥4; (2)若f(2)>5,求m的取值范围.

考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)由m>0,由f(x)的解析式利用绝对值三角不等式证得结论.

(Ⅱ)分当 <2时和当 ≥2时两种情况,分别根据f(2)>5,求得m的范围,再把所 得m的范围取并集,即得所求. 解答: 解:(Ⅰ)由m>0,有f(x)=|x﹣ |+|x+m|≥|﹣(x﹣ )+x+m|= +m≥4,

当且仅当 =m,即m=2时取“=”,所以f(x)≥4成立.

(Ⅱ)f(2)=|2﹣ |+|2+m|.

35

当 <2,即m>2时,f(2)=m﹣ +4,由f(2)>5,求得m>



当 ≥2,即0<m≤2时,f(2)= +m,由f(2)>5,求得0<m<1.

综上,m的取值范围是(0,1)∪( 点评:

,+∞).

本题主要考查绝对值三角不等式的应用,绝对值不等式的解法,体现了转化、分 类讨论的数学思想,属于基础题.  

36


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