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1-2-1-2等差数列的认识与公式运用


1-2-1-2 等差数列的认识与公式运用

1-2-1-2 等差数列的认识与公式运用 等差数列计算题

知识点拨
等差数列的相关公式
(1)三个重要的公式
( ) ① 通项公式:递增数列:末项 ? 首项 ? (项数 ?1 ) ? 公差, an ? a1 ? n ? 1 ? d ( ) 递减数列:末项 ? 首项 ? (项数 ?1 ) ? 公差, an ? a1 ? n ? 1 ? d

回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白 末项其 实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数,或者从找规律的情况入手.同时还可延伸出来这样一个
( ( ? 有用的公式: an ? am ? n ? m) d , n ? m)

② 项数公式:项数 ? (末项 ? 首项) ? 公差+1
( ? ( ? 由通项公式可以得到: n ? an ? a1) d ? 1 (若 an ? a1 ); n ? a1 ? an) d ? 1 (若 a1 ? an ).

找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的. 譬如:找找下面数列的项数:4、7、10、13、 ? 、40、43、46 , 分析:配组:(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、? 、(46、47、48),注意等差是 3 , 那么每组有 3 个数, 我们数列中的数都在每组的第 1 位, 所以 46 应在最后一组第 1 位, 到 48 有 48 ? 4 ? 1 ? 45 4 项,每组 3 个数,所以共 45 ? 3 ? 15 组,原数列有 15 组. 当然还可以有其他的配组方法. ③ 求和公式:和=(首项 ? 末项) ? 项数÷ 2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手: (思路 1) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 98 ? 99 ? 100
? ????????? ????????? ) 101 ? 50 ? 5050 ( ? 100)(2 ? 99)(3 ? 98) ? ? 50 ? 51 ? 1 ? ? ( ? ?
共50个101

(思路 2)这道题目,还可以这样理解:
和 = 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 98 ? 99 ? 100 + 和 ? 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? ? ? 3 ? 2 ? 1 2倍和 ? 101 ? 101 ? 101 ? 101 ? ? ? 101 ? 101 ? 101
? ( ?1 0? 0 ? 1 ? ) 1? 0 ?0 2 1 0







1

5

0

5

(2) 中项定理:对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首 项与末项和的一半;或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数. ( ? 譬如:① 4 ? 8 ? 12 ? ? ? 32 ? 36 ? 4 ? 36) 9 ? 2 ? 20 ? 9 ? 1800 , 题中的等差数列有 9 项,中间一项即第 5 项的值是 20,而和恰等于 20 ? 9 ; ( ? ② 65 ? 63 ? 61 ? ? ? 5 ? 3 ? 1 ? 1 ? 65) 33 ? 2 ? 33 ? 33 ? 1089 , 题中的等差数列有 33 项,中间一项即第 17 项的值是 33,而和恰等于 33 ? 33 .

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例题精讲
【例 1】 用等差数列的求和公式会计算下面各题吗? ⑴ 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ? 76 ? 77 ? 78 ? ⑵ 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 87 ? 99 ? ⑶ 4 ? 7 ? 10 ? 13 ? ? ? 40 ? 43 ? 46 ? 【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】 ⑴ 根据例 1 的结果知:算式中的等差数列一共有 76 项,所以: 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ? 76 ? 77 ? 78 ? 3 ? 78) 76 ? 2 ? 3078 ( ? ⑵ 算式中的等差数列一共有 50 项,所以: 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 87 ? 99 ? (1 ? 99) ? 50 ? 2 ? 2500
( ? ⑶ 算式中的等差数列一共有 15 项,所以: 4 ? 7 ? 10 ? 13 ? ? ? 40 ? 43 ? 46 ? 4 ? 46) 15 ? 2 ? 375 【答案】⑴3078 ⑵2500 ⑶375

【巩固】 1?2?……?8?9?10?9?8?……?2?1?_____。 【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2005 年,希望杯,第三届,四年级,二试 【解析】 1+2+3+…+n+…+3+2+1=n× n,所以原式=10× 10=100 【答案】 100

【巩固】 1966、1976、1986、1996、2006 这五个数的总和是多少? 【考点】等差数列计算题 【难度】1 星 【题型】计算 【关键词】第一届,华杯赛,初赛 【解析】 1986 是这五个数的平均数,所以和=1986× 5=9930。 【答案】 9930

【巩固】 计算:110+111+112+…+126= 【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【关键词】第四届,走美杯,四年级,初赛 【解析】 原式 ? (110 ? 126) ? 17 ? 2 ? 2006 【答案】 2006

【题型】计算

【巩固】 计算下面结果.
? ? 32 36 ? ? ⑴ 4 ? 8 ? 1 2? 1 6 ? ? 1 ? ? ⑵ 6 5? 6 3 6 ? ? 5 3 1 ⑶ 3 ? 4 ? 5 ? ? ? 99 ? 100 【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】 根据刚刚学过的求项数以及求和公式,项数 ? (末项 ? 首项) ? 公差 ?1 等差数列的和 ? (首项+末项) ? 项数 ?2 ( ? ( ? ⑴ 项数: 36 ? 4) 4 ? 1 ? 9 ; 和: 4 ? 36) 9 ? 2 ? 180 ( ? ( ? ⑵ 项数: 65 ? 1) 2 ? 1 ? 33 ;和: 1 ? 65) 33 ? 2 ? 33 ? 33 ? 1089 ( ? ( ? ⑶ 项数: 100 ? 3) 1 ? 1 ? 98 ;和: 3 ? 100) 98 ? 2 ? 5047 180 1089 5047 【答案】⑴ ⑵ ⑶

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【巩固】 用等差数列的求和公式会计算下面各题吗? ⑴ 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ? 76 ? 77 ? 78 ? ⑵ 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 87 ? 99 ? ⑶ 4 ? 7 ? 10 ? 13 ? ? ? 40 ? 43 ? 46 ? 【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 3 ( ? 【解析】 (1) 算式中的等差数列一共有 76 项, 所以: ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ? 76 ? 77 ? 78 ? 3 ? 78) 76 ? 2 ? 3078 (2)算式中的等差数列一共有 50 项,所以: 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 87 ? 99 ? (1 ? 99) ? 50 ? 2 ? 2500 4 ( ? (3) 算式中的等差数列一共有 15 项, 所以: ? 7 ? 10 ? 13 ? ? ? 40 ? 43 ? 46 ? 4 ? 46) 15 ? 2 ? 375 【答案】 (1) 3078 (2) 2500 (3) 375

【巩固】 计算下列一组数的和:105,110,115,120,…,195,200 【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】 根据等差数列求和公式,必须知道首项、末项和项数,这里首项是 105,末项是 200,但项数不 知道.若利用 an ? a1 ? (n ? 1) ? d ,可有 n ? (an ? a1 ) ? d ? 1 据此可先求出项数,再求数列的和. 解:数列的项数 n ? (an ? a1 ) ? d ? 1 ? (200 ? 105) ? 5 ? 1 ? 95 ? 5 ? 1 ? 20 . 故数列的和是: S ? (a1 ? an ) ? n ? 2 ?(1 0 5 2 0? ) ? 0 2 ? 0 2 ? 3 0 5? 2 0 2 ? ? 3050 【答案】 3050

【巩固】 聪明的小朋友们, PK 一下吧. ? ? 32 36 ? ? ⑴4 ? 8 ? 1 2? 1 6 6 5? 6 3 6 ? ? ? ? 5 3 1 1 ? ? ⑵ 【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】 根据刚刚学过的求项数以及求和公式,项数 ? (末项 ? 首项) ? 公差 ?1 等差数列的和 ? (首项+末项) ? 项数 ?2 ( ? ( ? ⑴ 项数: 36 ? 4) 4 ? 1 ? 9 ; 和: 4 ? 36) 9 ? 2 ? 180 ; ( ? ( ? ⑵ 项数: 65 ? 1) 2 ? 1 ? 33 ;和: 1 ? 65) 33 ? 2 ? 33 ? 33 ? 1089 . 【答案】⑴180 ⑵1089

【巩固】 巧算下题: ⑴5000 ? 2 ? 4 ? 6 ? ?98 ? 100 ⑵1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 1995 ? 1997 ? 1999 【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 ( ? ( ? 【解析】 ⑴ 原式 ? 5000 ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 98 ? 100) 5000 ? 2 ? 100) 50 ? 2 ? 5000 ? 2550 ? 2450 ⑵ 这一串加数可以组成首项为 1、末项为 1999,公差为 2 的等差数列, ( ? ( ? 项数 ? 1999 ? 1) 2 ? 1 ? 1000 ,原式 ? 1 ? 1999) 1000 ? 2 ? 2000 ? 1000 ? 2 ? 1000000 【答案】⑴2450 ⑵1000000

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【巩固】 (1 ? 2 ? 3 ? ?? 2007 ? 2008 ? 2007 ? ?? 3 ? 2 ? 1) ? 2008 ? 【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】第六届,走美杯,四年级,初赛 【解析】 观察原式可知,1、2、3…2007 分别可与 2007、2006、2005…1 组成 2008,于是括号中有 2008 个 2008,故原式结果为 2008。 【答案】 2008

【巩固】 (2005? 2006? 2007? 2008? 2009? 2010? 2011 ? 2008? __________ ) 【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年,第 6 届,希望杯,4 年级,1 试 【解析】 根据中项定理知: 2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011=2008× 7,所以原式= 2008× 2008=7 7÷ 【答案】 7

【巩固】 计算:1÷50+2÷50+……+98÷50+99÷50= 【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2009 年,第 7 届,希望杯,4 年级,1 试 【解析】 原式= (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? L ? 98 ? 99) ? 50 ? (1 ? 99) ? 99 ? 2 ? 50 ? 99 【答案】 99

【例 2】 计算: ( ⑴ 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1997 ? 1999)-(2 ? 4 ? 6 ? ? ? 1996 ? 1998) ⑵4000 ? 5 ? 10 ? 15 ? ? ? 95 ? 100 ⑶99 ? 198 ? 297 ? 396 ? 495 ? 594 ? 693 ? 792 ? 891 ? 990 【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 ⑴ (方法一)第一个数列的项数 1000,第二个数列的项数为 999,利用求和公式得: ( ? 1999) 1000 ? 2 ? 2 ? 1998) 999 ? 2 ? 1000 . 1 ? ( ? (方法二)第一个括号内共有 1000 个数,第二个括号内有 999 个数.把 1 除外,第一个括号 内的各数依次比第二个括号里相应的数大 1,因此可简捷求和. ( ? ? ( ? 原式 ? 1 ? 3 ? 2)(5 ? 4) ? ? 1999 ? 1998) l ? 1 ? 1 ? ? ? 1 (共 1000 个 1) ? 1000 ⑵ 通过观察可知,题目中的减数可以组成等差数列,所以,可先求这些减数的和,再从被减数中 减去这个和. 4000 ? 5 ? 10 ? 15 ? ? ? 95 ? 100 ? 4000 ? 5 ? 10 ? 15 ? ? ? 95 ? 100) 4000 ? 5 ? 100) 20 ? 2) ( ? ( ? (
? 4000 ? 1050 ? 2950 .当一个数连续减去几个数,这些减数能组成等差数列时,可以先求这些

减数的和,再从被减数中减去这个和. ⑶99 ? 198 ? 297 ? 396 ? 495 ? 594 ? 693 ? 792 ? 891 ? 990 ? 100 ? 1 ? 200 ? 2 ? 300 ? 3 ? ? ? 1000 ? 10 ? 100 ? 200 ? 300 ? ? ? 1000 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 10) ( ? 100 ? 1000) 10 ? 2 ? 1 ? 10) 10 ? 2 ( ? ( ? ? 5500 ? 55 ? 5445 【答案】⑴1000 ⑵2950 ⑶5445
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( ? 1 【巩固】 计算 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 1984 ? 1986 ? 1988)( ? 3 ? 5 ? ? ? 1983 ? 1985 ? 1987) 【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 根据求项数公式可知两个括号内的算式都各有 994 项

( )( ? ( )( ? 原式 ? 2 ? 1 ? 4 ? 3) ? ? 2 ? 1 ? 4 ? 3) ? ? (1988 ? 1987) 1 ? 1 ? 1 ? ?? ? 1 ? 994 ???????
994个1

【答案】 994

【巩固】 计算: 2007 ? 2006 ? 2005 ? 2004 ? 2003 ? 2002 ? ? ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】2007 年,第 5 届,走美杯,3 年级,决赛 【解析】 找规律并分组计算如下:
2007 ? 2006 ? 2005 ? 2004 ? 2003 ? 2002 ? ? ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1

= ? 2007 ? 2006 ? ? ? 2005 ? 2004 ? ? ? 2003 ? 2002 ? ? ? ? ?5 ? 4 ? ? ?3 ? 2 ? ? 1 =1+1+??? +1+1 ?? ??? ?
2003个1

=2004

【答案】 2004
2 )( ) 【巩固】 计算:⑴( ? 4 ? 6 ? ? ? 96 ? 98 ? 100 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 95 ? 97 ? 99 ⑵ 1 ? 3 ? 4 ? 6 ? 7 ? 9 ? 10 ? 12 ? 13 ? ? ? 66 ? 67 ? 69 ? 70 ; ⑶ 1000 ? 999 ? 998 ? 997 ? 996 ? 995 ? ? ? 106 ? 105 ? 104 ? 103 ? 102 ? 101 . ⑷ 61 ? 692 ? 6993 ? 69994 ? 699995 ? 6999996 【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 ⑴ 和式 2 ? 4 ? ? ? 98 ? 100 , 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 97 ? 99 中的项成等差数列,从而可能想到先求和,再 做减法.这样做,很自然,也比较简便,有其他更为简便的解法吗?再看题,你会冒出一个好 想法:运用加减运算性质先做减法: 2 ?1 , 4 ? 3 , 6 ? 5 ,? ,100 ? 99 ,它们的差都等于 1, 然后,计算等于 1 的差数有多少个.由于题中 1 至 100 的全部偶数之和作为被减数,奇数之和 为减数,所以,相邻的奇偶数相减(以大减小),共得 50 个差数 1,从而, ( )( ) ( )( ) 原式 ? 2 ? 1 ? 4 ? 3 ? ? ? 98 ? 97 ? 100 ? 99 ? 50 . ⑵ 以把这个数列拆分为两个数列 1 ? 4 ? 7 ? 10 ? 13 ? ? ? 67 ? 70 和 3 ? 6 ? 9 ? 12 ? ? ? 66 ? 69 ,对 ( ) ( ) 它们分别求和:原式 ? 1 ? 70 ? 24 ? 2 ? 3 ? 69 ? 23 ? 2 ? 1680 ; ⑶ 本题也可以按照上题的方法做,但还有更简便的办法,把式子中的减法都计算出来可以得到下 式: 1000 ? 1 ? 997 ? 1 ? ? ? 106 ? 1 ? 103 ? 1 . 这是 1000 ? 997 ? ? ? 106 ? 103 和 1?1???1?1 的组合,分别计算结果即可: ( ) 原式 ? 1000 ? 103 ? 300 ? 2 ?1 ? 300 ?165750 ( )( )( )( )( )( ) ⑷ 原式 ? 70 ? 9 ? 700 ? 8 ? 7000 ? 7 ? 70000 ? 6 ? 700000 ? 5 ? 7000000 ? 4 ? 7777770 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 7777731 ( ) 【答案】⑴50 ⑵1680 ⑶165750 ⑷7777731

( ? 【巩固】 计算: 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2009)(2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2008) 【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 方法一:让学生用等差数列求和公式分别计算前后两部分,然后讲方法二,这样可以让学生体会 观察数列规律,动脑思考的重要性. ( ? ( ? 原式 ? 1 ? 2009) 1005 ? 2 ? 2 ? 2008) 1004 ? 2 ? 1005
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1-2-1-2 等差数列的认识与公式运用

方法二:把括号去掉,两两结合,简便计算. 原式 ? 1 ? 3 ? 2)(5 ? 4) ? ? 2009 ? 2008) 1 ? 1 ? 1? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1005 ( ? ? ( ? ??? ???? ? ?
1005个1

【答案】 1005

( ? 1 【巩固】 计算: 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2008)( ? 3 ? 5 ? ? ? 2007) . 【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 方法一:等差数列求和. ( ? ( ? 原式 ? 2 ? 2008) 1004 ? 2 ? 1 ? 2007) 1004 ? 2 ? 1004 .

方法二:把括号去掉,两两结合,简便计算. 原式 ? 2 ? 1 ? 4 ? 3) ? ? 2008 ? 2007) 1 ? 1 ? 1? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1004 . ( )( ? ( ? ??? ???? ? ?
1004个1

【答案】 1004

【巩固】 计算: 2008 ? 2007 ? 2006 ? 2005 ? 2004 ? 2003 ? 2002 ? 2001 ? ? ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 . 【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 ( ? ? ( 【解析】 方法一:原式 ? 2008 ? 2007 ? 2006 ? 2005)(2004 ? 2003 ? 2002 ? 2001) ? ? 4 ? 3 ? 2 ? 1) ? 4 ? ? ? ? 4 ? 4 ? 502 ? 2008 4? ? ?? ???
502个 4

( ? ? ? ? ( ? 方法二:原式 ? 2008 ? 2007 ? 2006)(2005 ? 2004)(2003 ? 2002)(2001 ? 2000) ? ? 5 ? 4) ? 3 ? 2) 1 ( ?

? 2008 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 2008 方法三: 2008 ? 2006 ? 2007 ? 2005 ? 2004 ? 2002 ? ? ? 4 ? 2 ? 3 ? 1 ? 2 ,观察到这一点就好办了, 改变原来的运算顺序不难发现每两个数放在一起就是 2,就等于说每一个数都看成 1 就 行了,原式有 2008 项,所以最后答案就是 2008. (让学生体会观察数列规律动脑思考的 重要性. ) 【答案】 2008
【巩固】 计算: 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? ? ? 97 ? 98 ? 99 . 【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 ( ? ? ? ( 【解析】 原式 ? 1 ? 2 ? 3)(4 ? 5 ? 6)(7 ? 8 ? 9) ? ? 97 ? 98 ? 99) ? 0 ? 3 ? 6 ? 9 ? ? ? 96 ? 3 ? 96)(96 ? 3) 3 ? 1] ? 2 ( ?[ ? ? 1584 【答案】 1584

【例 3】 计算: 1.1 ? 3.3 ? 5.5 ? 7.7 ? 9.9 ? 11.11 ? 13.13 ? 15.15 ? 17.17 ? 19.19 . 【考点】等差数列计算题 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】第十三届,迎春杯,试题 【解析】 原式 ? 5.5 ? 5 ? 15.15 ? 5 ? 5 . 5? 1 5) ? ( .15 5

? 2 0 . 5? ? 6 5 【答案】 103.25

103.25

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1 2 3 1990 ? ? ?? ? ______ 1990 1990 1990 1990 【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 1990 【解析】 原式 ? 1990 (1 ? 1990) ?1990 ? 2 ? 1990 1 ? 995 2 1 【答案】 995 2
【例 4】 计算 【巩固】 ⑴ 计算 4 ? 6 ? 8 ? 10 ? ?? ? 34 ? 36

【题型】计算

69 70 1 2 3 , ; 求这列数的和 , , ......, 71 71 71 71 71 5 6 7 8 9 10 11 ⑶ 计算: 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 11 ? 13 13 13 13 13 13 13 13 【考点】等差数列计算题 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 ⑴ 这是一个等差数列,根据等差数列求和公式计算得: (4 ? 36) ? 17 ? 2 ? 340
⑵ 以质数 71 做分母的最简真分数有 ⑵ 方法一:将这列数的分子从左往右排起来是 1,2,3,4…69,70.可以发现这是一个等差数列, 首项是 1,末项是 70,项数是 70.我们可以用等差数列求和公式“和 ? (首项 ? 末项) ? 项数 ?2 ”求 出分子相加的和,再求出以质数 71 做分母的最简真分数的和. 1 2 3 4 69 70 ? ? ? ? ...... ? ? 71 71 71 71 71 71 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ..... ? 69 ? 70 ?

(1 ? 70) ? 70 ? 2 71 ? 35 ?

方法二:将这列数排列起来,可以发现: 1 第二项比第一项多 , 71 1 第三项比第二项多 , 71 1 第四项比第三项多 , 71 ………… 因此,可以直接使用等差数列求和公式求和. 1 2 3 4 69 70 ? ? ? ? ..... ? ? 71 71 71 71 71 71 ? 1 70 ? ? ? ? ? ? 70 ? 2 ? 71 71 ? ? 35 ⑶ 带分数加法,我们先计算整数部分,再计算分数部分,认真观察我们发现整数部分和分数部分 都可以利用等差数列求和公式进行计算.

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5 6 7 8 9 10 11 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 11 ? 13 13 13 13 13 13 13 13 5 6 7 8 9 10 11 ? (1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 11 ? 13) ? ( ? ? ? ? ? ? ) 13 13 13 13 13 13 13 (5 ? 11) ? 7 ? 2 ? (1 ? 13) ? 7 ? 2 ? 13 4 ? 49 ? 4 13 4 ? 53 13 1

【答案】⑴340

⑵35

⑶53

4 13

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