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江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高三模拟数学试卷(10)


江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学 2015 届高考数学模拟试卷 (10)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上. 1.若集合 A={1,m﹣2},B={﹣1,2,4},且 A∩B={2},则实数 m 的值为__________. 2.若复数 z 满足(1﹣i)z=2(i 为虚数单位) ,则|z

|=__________. 3.现有在外观上没有区别的 5 件产品,其中 3 件合格,2 件不合格,从中任意抽检 2 件, 则一件合格,另一件不合格的概率为__________. 4.已知正六棱锥的底面边长是 3,侧棱长为 5,则该正六棱锥的体积是__________. 5.若 , 是两个单位向量, , ,且 ⊥ ,则 , 的夹

角为__________. 6.如图,该程序运行后输出的结果为__________.

7.函数

,x∈[﹣π,0]的单调递增区间为__________.

8. 若等比数列{an}满足 am﹣3=4 且

(m∈N 且 m>4) , 则 a1a5 的值为__________.

*

9.过点(2,3)且与直线 l1:y=0 和 l2:

都相切的所有圆的半径之和为__________.

10.设函数 y=f(x)满足对任意的 x∈R,f(x)≥0 且 f (x+1)+f (x)=9.已知当 x∈[0, 1]时,有 f(x)=2﹣|4x﹣2|,则 的值为__________.

2

2

11. 椭圆

(a>b>0) 的左焦点为 F, 直线 x=m 与椭圆相交于 A, B 两点, 若△ FAB

的周长最大时,△ FAB 的面积为 ab,则椭圆的离心率为__________.

12.定义运算 a⊕b= 解集为__________.

,则关于非零实数 x 的不等式(x+ )⊕4≥8(x⊕ )的

13.若点 G 为△ ABC 的重心,且 AG⊥BG,则 sinC 的最大值为__________.

14. 若实数 a、 b、 c、 d 满足

, 则 (a﹣c)+ (b﹣d) 的最小值为__________.

2

2

二、填空题(本大题共 6 小题,计 90 分.) 15.已知函数 f(x)=4sinxcos(x+ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值. )+

16.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2,E 为的 PC 中点. (1)求证:PA∥平面 BDE; (2)求证:平面 PBC⊥平面 PDC.

17.如图,在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在 l 上设立了 A、B 两个报名点,满足 A、B、C 中任意两点间的距离为 10 千米.公司拟按以下思路运作: 先将 A、B 两处游客分别乘车集中到 AB 之间的中转点 D 处(点 D 异于 A、B 两点) ,然后 乘同一艘游轮前往 C 岛.据统计,每批游客 A 处需发车 2 辆,B 处需发车 4 辆,每辆汽车

每千米耗费 2 元,游轮每千米耗费 12 元.设∠CDA=α,每批游客从各自报名点到 C 岛所需 运输成本为 S 元. (1)写出 S 关于 α 的函数表达式,并指出 α 的取值范围; (2)问中转点 D 距离 A 处多远时,S 最小?

18. (16 分)如图,圆 O 与离心率为 1) . (1)求椭圆 T 与圆 O 的方程;

的椭圆 T:

=1(a>b>0)相切于点 M(0,

(2)过点 M 引两条互相垂直的两直线 l1、l2 与两曲线分别交于点 A、C 与点 B、D(均不 重合) . 2 2 ①若 P 为椭圆上任一点,记点 P 到两直线的距离分别为 d1、d2,求 d1 +d2 的最大值; ②若 3 ,求 l1 与 l2 的方程.

19. (16 分)设函数 fn(x)=﹣x +3ax+b(n∈N ,a,b∈R) . (1)若 a=b=1,求 f3(x)在[0,2]上的最大值和最小值; (2)若对任意 x1,x2∈[﹣1,1],都有|f3(x1)﹣f3(x2)|≤1,求 a 的取值范围; (3)若|f4(x)|在[﹣1,1]上的最大值为 ,求 a,b 的值.

n

*

20. (16 分)设 Sn 是各项均为非零实数的数列{an}的前 n 项和,给出如下两个命题:命题 p: {an}是等差数列;命题 q:等式 对任意的 n(n∈N )恒
*

成立,其中 k,b 是常数. (1)若 p 是 q 的充分条件,求 k,b 的值; (2)对于(1)中的 k 与 b,问 p 是否为 q 的必要条件,请说明理由;

(3) 若 p 为真命题, 对于给定的正整数 n (n>1) 和正数 M, 数列{an}满足条件 a1 +an+1 ≤M, 试求 Sn 的最大值.

2

2

数学附加题部分 21. (选修 4﹣2:矩阵与变换) 求曲线 2x ﹣2xy+1=0 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程,其中 .
2



22. (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) 已知圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) ,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建

立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ+ρcosθ=1,求直线 l 截圆 C 所得的弦长. 23.正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都为 4,D 为的 CC1 中点. (1)求证:AB1⊥平面 A1BD; (2)求二面角 A﹣A1D﹣B 的余弦值.

24.已知数列{an}满足 a1=2, (1)证明:an>n(n≥3) ; (2)证明: .



江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学 2015 届高考数学模 拟试卷(10)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上. 1.若集合 A={1,m﹣2},B={﹣1,2,4},且 A∩B={2},则实数 m 的值为 4. 考点:交集及其运算.

专题:集合. 分析:由 A∩B={2}知 2 是集合 A 中的元素,列出方程求出 m 的值即可. 解答: 解:因为 A={1,m﹣2},A∩B={2}, 所以 m﹣2=2,解得 m=4, 故答案为:4. 点评:本题考查交集及其运算,属于基础题. 2.若复数 z 满足(1﹣i)z=2(i 为虚数单位) ,则|z|= .

考点:复数求模. 专题:计算题. 分析:利用复数的运算法则和复数的模的计算公式即可得出. 解答: 解:∵复数 z 满足(1﹣i)z=2(i 为虚数单位) ,∴(1+i) (1﹣i)z=2(1+i) ,∴2z=2 (1+i) ,即 z=1+i. ∴|z|= .

故答案为 . 点评:熟练掌握复数的运算法则和复数的模的计算公式是解题的关键. 3.现有在外观上没有区别的 5 件产品,其中 3 件合格,2 件不合格,从中任意抽检 2 件, 则一件合格,另一件不合格的概率为 .

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析: 分别求出基本事件的总数和要求事件包含的基本事件的个数, 根据古典概型的概率计 算公式即可得出. 解答: 解:从 5 件产品中任意抽取 2 有 抽法有 =6 种. . =10 种抽法,其中一件合格、另一件不合格的

根据古典概型的概率计算公式可得一件合格,另一件不合格的概率 P= 故答案为 .

点评:熟练掌握古典概型的概率计算公式和排列与组合的计算公式是解题的关键. 4.已知正六棱锥的底面边长是 3,侧棱长为 5,则该正六棱锥的体积是 .

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:计算题. 分析:由正六棱锥的底面边长为 3,侧棱长为 5,根据正六棱锥的几何特征,计算出棱锥的 底面面积及棱锥的高,代入棱锥体积公式,即可得到答案. 解答: 解:若正六棱锥的底面边长为 3

则其底面积 S=6×( ×3× 又∵正六棱锥的侧棱长为 5 故棱锥的高为 故正六棱锥的体积 V= =4

)=

=

故答案为: . 点评:本题考查的知识点是棱锥的体积公式,其中根据正六棱锥的几何特征,计算出棱锥的 底面面积及棱锥的高,是解答本题的关键.

5.若 角为

, .

是两个单位向量,



,且 ⊥ ,则



的夹

考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:平面向量及应用. 分析:由题意可得 值. 解答: 解:由题意可得 ﹣8 =5﹣6×1×1cos< , , =0,即 ( >﹣8=0, )?( )=5 ﹣6 =0,由此求得 cos< , >=﹣ ,从而求得 , 的夹角的

解得 cos< 再由< 故答案为 ,

>= ﹣ . , >= ,

>∈[0,π],可得< .

点评:本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量的数量积的定义,属于中档题. 6.如图,该程序运行后输出的结果为 16.

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:执行程序框图,依次写出每次循环得到的 b,a 的值,当 a=4 时不满足条件 a<4,输 出 b 的值为 16. 解答: 解:执行程序框图,有 a=1,b=1 满足条件 a<4,b=2,a=2 满足条件 a<4,b=4,a=3 满足条件 a<4,b=16,a=4 不满足条件 a<4,输出 b 的值为 16. 故答案为:16. 点评:本题主要考查了程序框图和算法,属于基本知识的考查. ,x∈[﹣π,0]的单调递增区间为

7.函数



考点:正弦函数的单调性. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析:由 x∈[﹣π,0]?z=x﹣ 单调递增,即可求得答案. 解答: 解:∵x∈[﹣π,0] ∴x﹣ 令 z=x﹣ ∈[﹣ ,﹣ ], ,﹣ ,﹣ ], ]上单调递增, ∈[﹣ ,﹣ ],利用正弦函数 y=sinz 在[﹣ ,﹣ ]上

,则 z∈[﹣

∵正弦函数 y=sinz 在[﹣ ∴由﹣ ﹣ ≤x﹣ ≤﹣

得:

≤x≤0. )在 x∈[﹣π,0]的单调递增区间为[﹣ ,0].

∴函数 f(x)=2sin(x﹣ 故答案为[﹣ ,0].

点评:本题考查正弦函数的单调性,考查整体代入思想的应用,属于中档题. 8.若等比数列{an}满足 am﹣3=4 且 (m∈N 且 m>4) ,则 a1a5 的值为 16.
*

考点:数列递推式. 专题:计算题;等差数列与等比数列.

分析:依题意,可知 m+(m﹣4)=8,可求得 m=6,从而可知 a3=4,再利用等比数列的性 质即可求得 a1a5 的值. 解答: 解:∵数列{an}为等比数列,amam﹣4= ∴m﹣4,4,m 成等差数列, ∴m+(m﹣4)=8, 解得:m=6. ∴am﹣3=a3=4. 又 a1,a3,a5 成等比数列, ∴a1a5= =16. (m∈N*且 m>4) ,

故答案为:16. 点评:本题考查等比数列的性质,考查观察、分析与运算能力,属于中档题.

9.过点(2,3)且与直线 l1:y=0 和 l2:

都相切的所有圆的半径之和为 42.

考点:直线与圆的位置关系;圆的标准方程. 专题:计算题. 分析:设出圆的圆心坐标与半径,利用条件列出方程组,求出圆的半径即可. 解答: 解:因为所求圆与 y=0 相切,所以设圆的圆心坐标(a,r) ,半径为 r,l2: 为 3x﹣4y=0. 化

所以

,解②得 a=﹣ r,或 a=3r,

由 a=﹣ r 以及①可得:a +14a+13=0,解得 a=﹣1 或 a=﹣13,此时 r=3 或 r=39, 所有半径之和为 3+39=42. 由 a=3r 以及①可得:9r ﹣18r+13=0,因为△ =﹣144,方程无解; 综上得,过点(2,3)且与直线 l1:y=0 和 l2: 都相切的所有圆的半径之和为:42.
2

2

故答案为:42. 点评:本题考查圆的方程的求法,计算准确是解题的关键,考查计算能力. 10.设函数 y=f(x)满足对任意的 x∈R,f(x)≥0 且 f (x+1)+f (x)=9.已知当 x∈[0, 1]时,有 f(x)=2﹣|4x﹣2|,则 的值为 .
2 2

考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用.

分析: 由条件求得可得 f (x+2) =f (x) , 故函数是周期为 2 的周期函数, 可得 (﹣ ) ,先求得 f( )的值, 根据 f (x+1)+f (x)=9,即可求得 f(﹣ )的值,从而求得
2 2 2 2 2 2

=f

的值.

解答: 解:∵f (x+1)+f (x)=9,即 f (x+1)=9﹣f (x) , 2 2 2 2 2 ∴f (x+2)=9﹣f (x+1) ,化简可得 f (x+2)=9﹣[9﹣f (x)]=f (x) . 再由 函数 y=f(x)满足对任意的 x∈R,f(x)≥0,可得 f(x+2)=f(x) ,故函数是周期为 2 的周期函数. ∴
2

=f(336﹣ )=f(﹣ ) . =9﹣f ( ) ,
2

又 f (﹣ )=9﹣

再由当 x∈[0,1]时,有 f(x)=2﹣|4x﹣2|,可得 f( )=2﹣|4× ﹣2|=2, 故 f (﹣ )=9﹣f ( )=9﹣4=5,故 f(﹣ )= 故 =f(﹣ )= ,
2 2



故答案为 . 点评:本题主要考查了抽象函数的求值,同时考查了函数的周期性,属于中档题.

11. 椭圆

(a>b>0) 的左焦点为 F, 直线 x=m 与椭圆相交于 A, B 两点, 若△ FAB

的周长最大时,△ FAB 的面积为 ab,则椭圆的离心率为



考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:先画出图象,结合图象以及椭圆的定义求出△ FAB 的周长的表达式,进而求出何时 周长最大,即可求出椭圆的离心率. 解答: 解:设椭圆的右焦点 E.如图: 由椭圆的定义得:△ FAB 的周长为:AB+AF+BF=AB+(2a﹣AE)+(2a﹣BE)=4a+AB﹣ AE﹣BE; ∵AE+BE≥AB; ∴AB﹣AE﹣BE≤0,当 AB 过点 E 时取等号; ∴△FAB 的周长:AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a; ∴△FAB 的周长的最大值是 4a; 此时,△ FAB 的面积为 ×2c× ∴a =2bc,平方得, 4 2 2 2 a =4(a ﹣c )c
2

=ab,

即 4e ﹣4e +1=0 ∴e= . .

4

2

故答案为:

点评: 本题主要考查椭圆的简单性质. 在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问 题中,圆锥曲线的定义往往是解题的突破口.

12.定义运算 a⊕b=

,则关于非零实数 x 的不等式(x+ )⊕4≥8(x⊕ )的

解集为



考点:函数单调性的性质. 专题:新定义;不等式的解法及应用. 分析: 根据定义先写出 ⊕4、 x⊕ 的表达式, 再按照 x 的范围把不等式 (x+ ) ⊕4≥8

(x⊕ )等价转化为不等式组,解出即可得到答案. 解答: 解:当 x>0 时, ≥4,令 x﹣ = >0 得﹣1<x<0 或 x>1,

令 x﹣ <0 得 x<﹣1 或 0<x<1,

由定义知,

⊕4=

,x⊕ =



所以(x+ )⊕4≥8(x⊕ )? ?0<x≤ 或 x≥2 或﹣1≤x<0 或 x<﹣1,







所以不等式的解集为: (﹣∞,0)∪(0, ]∪[2,+∞) , 故答案为: : (﹣∞,0)∪(0, ]∪[2,+∞) . 点评:本题考查不等式的解法,考查学生对题目的阅读理解能力,属中档题,解决本题的关 键是正确理解符号“⊕”的意义. 13.若点 G 为△ ABC 的重心,且 AG⊥BG,则 sinC 的最大值为 .

考点:三角形五心. 专题:计算题;解三角形. 分析:以 AB 所在直线为 x 轴,AB 中点为原点建立直角坐标系,设 AB=2,点 C 的坐标为 (x,y) ,可得 G( , ) .根据 AG⊥BG 建立 x、y 的关系式,化简整理得 x +y =9,得到 点 C 在以原点为圆心,半径为 3 的圆上运动(x 轴上两点除外) .运动点 C 并加以观察可得 当 C 点在 y 轴时,∠C 达到最大值,且 sinC 同时达到最大值,由此结合三角函数公式即可 算出 sinC 的最大值. 解答: 解:设 AB 中点为 O,连接 AO,可得重心 G 在 CO 上且 以 AB 所在直线为 x 轴,AB 中点为原点建立如图所示直角坐标系 设 AB=2,则 A(﹣1,0) ,B(1,0) , 设 C(x,y) ,可得 G( , ) ∵AG⊥BG,∴点 G 在以 AB 为直径的圆上运动(A、B 两点除外) 由此可得( ) +( ) =1,整理得 x +y =9 因此,点 C 在以原点为圆心,半径为 3 的圆上运动(x 轴上两点除外) 在点 C 的运动中观察∠C 的变化,可得当 C 点在 y 轴时,∠C 达到最大值 而且 sinC 同时达到最大值.
2 2 2 2 2 2

=

此时 tan = ,可得 sinC=

=

故选:

点评:本题给出三角形的重心 G 对 A、B 的张角为直角,求角 C 的正弦最大值,着重考查 了三角形重心的性质、圆的标准方程和三角恒等变换等知识,属于中档题.

14.若实数 a、b、c、d 满足

,则(a﹣c) +(b﹣d) 的最小值为

2

2



考点:函数最值的应用. 专题:综合题;函数的性质及应用. 分析:由 = =1 可知点 P(a,b)是曲线 y=x ﹣2lnx 上的点,Q(c,d)是
2 2

直线 y=3x﹣4 上的点,由导数的几何意义可知,过曲线 y=x ﹣2lnx 上的点 P(a,b)且与线 2 2 2 y=3x﹣4 平行时,|PQ| =(a﹣c) +(b﹣d) 有最小值. 解答: 解:∵ =
2

=1,

∴点 P(a,b)是曲线 f(x)=x ﹣2lnx(x>0)上的点,Q(c,d)是直线 y=3x﹣4 上的点, 2 2 2 ∴|PQ| =(a﹣c) +(b﹣d) . 2 2 要使|PQ| 最小,当且仅当过曲线 y=x ﹣2lnx 上的点 P(a,b)且与线 y=3x﹣4 平行时. ∵f′(x)=2x﹣ = (x>0) ,

由 f′(x)>0 得,x>1;由 f′(x)<0 得 0<x<1. ∴当 x=1 时,f(x)取得极小值,为 1. 作图如下:

∵f′(x)|x=a=2a﹣ ,直线 y=3x﹣4 的斜率 k=3, ∴2a﹣ =3, ∴a=2 或 a=﹣ (由于 a>0,故舍去) . ∴b=2 ﹣2ln2=4﹣2ln2. 设点 P(2,4﹣2ln2)到直线 y=3x﹣4 的距离为 d,则 d=
2 2

=



∵|PQ| ≥d =

2

2



∴(a﹣c) +(b﹣d) 的最小值为

2

2



故答案为:


2

点评:本题考查函数最值的应用,分析得到点 P(a,b)是曲线 y=x ﹣2lnx 上的点,Q(c, 2 2 2 d)是直线 y=3x﹣4 上的点,|PQ| =(a﹣c) +(b﹣d) 是关键,也是难点,考查理解题意 与等价转化思想的综合应用,考查导数的几何意义及点到直线间的距离,属于难题. 二、填空题(本大题共 6 小题,计 90 分.) 15.已知函数 f(x)=4sinxcos(x+ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值. )+

考点:两角和与差的正弦函数.

专题:三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)利用三角恒等变换进行化简,得到 f(x)=2sin(2x+ 周期性可求得 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)x∈ 在区间 解答: 解: (Ⅰ) = … = 所以 (Ⅱ)因为 所以 (x)min=﹣1, 当 ,即 时,f(x)min=2,… ) … ,所以 … ,即 时,f … ?2x+ ∈[﹣ , ],利用正弦函数的单调性质即可求得 f(x) ) ,再利用正弦函数的

上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值.

,所以﹣1≤f(x)≤2,当

点评:本题考查两角和的正弦与余弦,考查三角恒等变换的应用,化简 f(x)=2sin(2x+ 是关键,着重考查正弦函数的单调性与闭区间上的最值,属于中档题.

16.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2,E 为的 PC 中点. (1)求证:PA∥平面 BDE; (2)求证:平面 PBC⊥平面 PDC.

考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1)连接 AC 交 BD 于 O,连接 EO,PO,证明 PA∥EO,利用直线与平面平行的判 定定理证明 PA∥平面 BDE.

(2)在△ PAC 中,推出∠APC=90°,求出 PC,然后证明 BE⊥DE,BE⊥PC,得到 BE⊥面 PDC,利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 PBC⊥平面 PDC. 解答: 证明(1)连接 AC 交 BD 于 O,连接 EO,PO ∵四边形 ABCD 是菱形,∴O 是 AC 中点,… 又 E 为 PC 中点.∴PA∥EO… 又 EO?面 BDE,PA?面 BDE∴PA∥平面 BDE… (2)在△ PAC 中,易得 ∴∠APC=90°,∴ … ∴在△ PDC 中可求得 ,同理在△ PBC 中可求得 ∴在△ BDE 中可得∠BED=90°,即 BE⊥DE… 又 PB=BC,E 为 PC 中点,∴BE⊥PC… BE⊥面 PDC,又 BE?面 PBC ∴平面 PBC⊥平面 PDC…

点评: 本题考查直线与平面平行的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用, 考查空 间想象能力以及逻辑推理能力. 17.如图,在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在 l 上设立了 A、B 两个报名点,满足 A、B、C 中任意两点间的距离为 10 千米.公司拟按以下思路运作: 先将 A、B 两处游客分别乘车集中到 AB 之间的中转点 D 处(点 D 异于 A、B 两点) ,然后 乘同一艘游轮前往 C 岛.据统计,每批游客 A 处需发车 2 辆,B 处需发车 4 辆,每辆汽车 每千米耗费 2 元,游轮每千米耗费 12 元.设∠CDA=α,每批游客从各自报名点到 C 岛所需 运输成本为 S 元. (1)写出 S 关于 α 的函数表达式,并指出 α 的取值范围; (2)问中转点 D 距离 A 处多远时,S 最小?

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;根据实际问题选择函数类型;正弦定理的应用. 专题:导数的综合应用.

分析: (1)在△ ACD 中,求出相关的角.利用正弦定理,求出 , 表示出所需运输成本为 S 元关于 α 的函数表达式. (2)利用函数表达式,求出函数的导数,通过导数的符号,求解函数的最值. 解答: 解: (1) 由题在△ ACD 中, 由正弦定理知 ,得 .



∴ … (2) ,令 S′=0,得

=



当 此时

时,S′<0;当

时,S′>0,∴当 , 千米时,运输成本 S 最小…

时 S 取得最小值…

∴中转点 C 距 A 处

点评:本题考查函数的解析式的求法,函数的导数的应用,考查分析问题解决问题的能力.

18. (16 分)如图,圆 O 与离心率为

的椭圆 T:

=1(a>b>0)相切于点 M(0,

1) . (1)求椭圆 T 与圆 O 的方程; (2)过点 M 引两条互相垂直的两直线 l1、l2 与两曲线分别交于点 A、C 与点 B、D(均不 重合) . 2 2 ①若 P 为椭圆上任一点,记点 P 到两直线的距离分别为 d1、d2,求 d1 +d2 的最大值; ②若 3 ,求 l1 与 l2 的方程.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆的离心率以及经过的特殊点,求出 a、b、c,即可求出椭圆方程,圆的 方程.由题意知: (2)设 P(x0,y0) ,利用 l1⊥l2,得到 出 的最大值以及点的坐标. ,通过﹣1≤y0≤1 求

(3)设 l1 的方程为 y=kx+1,联立方程解得

;解得

,然后求出 B,D,求出

中的向量,利用等

式得

,推出 k,然后求出直线方程.

解答: 解: (1)由题意知: 椭圆 C 的方程为 与圆 O 的方程 x +y =1…
2 2

解得

可知:

(2)设 P(x0,y0)因为 l1⊥l2,则 所以 因为﹣1≤y0≤1 所以当 时 取得最大值为 ,… ,此时点

,因为



(3)设 l1 的方程为 y=kx+1,由

解得





解得



把 A,C 中的 k 置换成

可得





所以











解得



所以 l1 的方程为 或 l1 的方程为

,l2 的方程为 ,l2 的方程为 …(16 分)

点评:本题考查直线与椭圆方程的综合应用,直线方程的求法,椭圆方程的求法,考查转化 思想以及计算能力. 19. (16 分)设函数 fn(x)=﹣x +3ax+b(n∈N ,a,b∈R) . (1)若 a=b=1,求 f3(x)在[0,2]上的最大值和最小值; (2)若对任意 x1,x2∈[﹣1,1],都有|f3(x1)﹣f3(x2)|≤1,求 a 的取值范围; (3)若|f4(x)|在[﹣1,1]上的最大值为 ,求 a,b 的值.
n *

考点:函数的最值及其几何意义. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)求出 以及导数,判断导函数的符号,即可求解函数 的最大值,最小值. (2)通过对任意 x1,x2 有|f3(x1)﹣f3(x2)|≤1,求出 在 内为减函数,f3(x)在 ,即可求出 a 的取值范围. (3)利用|f4(x)|在[﹣1,1]上的最大值为 ,推出 ,求出 解答: 解(1) ∴在(0,1)内, ∴ ,在(1,2) ,∴得到 b,然后求出 a. … , ,求出导数,通过 f3(x) 内为增函数,推出

∴在(0,1)内, 为减函数, 又∵f(2)=﹣1<f(0)=1, ∴函数

为增函数,在(1,2)内

的最大值为 f3(1)=3,最小值为 f3(2)=﹣1…

(2)∵对任意 x1,x2 有|f3(x1)﹣f3(x2)|≤1,∴|f3(1)﹣f3(﹣1)|≤1 从而有|6a﹣2|≤1∴ 又 … ∴f3(x)在 内为增函数,只需 内为减函数,f3(x)在 ,则

∴a 的取值范围是



(3)由|f4(x)|在[﹣1,1]上的最大值为 ,可得 知: ①加②得 将 ①, ,又∵ ∴ ②,



,∴



代入①②,得 0≤a≤0∴a=0…(16 分)

点评:本题考查函数的导数的综合应用,函数的最值,单调性的判断与应用,考查分析问题 解决问题的能力转化思想的应用. 20. (16 分)设 Sn 是各项均为非零实数的数列{an}的前 n 项和,给出如下两个命题:命题 p: {an}是等差数列;命题 q:等式 对任意的 n(n∈N )恒
*

成立,其中 k,b 是常数. (1)若 p 是 q 的充分条件,求 k,b 的值; (2)对于(1)中的 k 与 b,问 p 是否为 q 的必要条件,请说明理由; 2 2 (3) 若 p 为真命题, 对于给定的正整数 n (n>1) 和正数 M, 数列{an}满足条件 a1 +an+1 ≤M, 试求 Sn 的最大值. 考点:数列与三角函数的综合;复合命题的真假;数列的求和;数列与函数的综合. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)设{an}的公差为 d,原等式可化为 b=0. ,利用恒成立求出 k=1,

(2)当 k=1,b=0 时,假设 p 是否为 q 的必要条件,即“若 ①对于任意的 n(n∈N )恒成立,则{an}为等差数 列”.通过当 n≥2 时,以及 n=2 时,推出{an}为等差数列,得到 p 是否为 q 的必要条件. (3)利用 ,可设 a1=rcosθ, an+1=rsinθ,其中 .设{an}的公差为 d,则
*

an+1﹣a1=nd=rsinθ﹣rcosθ,求出公差,推出 利用基本不等式求解 Sn 的最大 值. 解答: 解: (1)设{an}的公差为 d,则原等式可化为 ,所以 即(k﹣1)n+b=0 对于 n∈N 恒成立,所以 k=1,b=0.… (2)当 k=1,b=0 时,假设 p 是否为 q 的必要条件,即“若 ①对于任意的 n (n∈N ) 恒成立, 则{an}为等差数列”. …
* *



当 n≥2 时,

②,由①﹣②得,

,即 nan﹣(n﹣1)an+1=a1③. 当 n=2 时,a1+a3=2a2,即 a1、a2、a3 成等差数列, 当 n≥3 时, (n﹣1)an﹣1﹣(n﹣2)an=a1④,即 2an=an﹣1+an+1.所以{an}为等差数列,即 p 是否为 q 的必要条件.… (3)由 ,可设 a1=rcosθ,an+1=rsinθ,其中 . ,

设{an}的公差为 d,则 an+1﹣a1=nd=rsinθ﹣rcosθ,所以 所以 ,

,所以 Sn 的最大值为 …(16 分) 点评:本题考查数列与函数相结合,基本不等式的应用,恒成立问题的应用,考查分析问题 解决问题的能力,转化思想的应用.

数学附加题部分 21. (选修 4﹣2:矩阵与变换) 求曲线 2x ﹣2xy+1=0 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程,其中 .
2



考点:几种特殊的矩阵变换. 分析:由已知中 , .可得 MN,P(x′,y′)是曲线 2x ﹣2xy+1=0 上任
2

意一点,点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P′(x,y) ,则有 = 可得变换后的曲线方程. 解答: 解:∵ ∴MN= =
2

=

, 得到 x′=x, y′=x+ , 代入曲线 2x ﹣2xy+1=0

2

, ,…



设 P(x′,y′)是曲线 2x ﹣2xy+1=0 上任意一点,点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P′ (x,y) , 则有 = =

于是 x′=x,y′=x+ .… 代入 2x′ ﹣2x′y′+1=0 得 xy=1, 2 所以曲线 2x ﹣2xy+1=0 在 MN 对应的变换作用下 得到的曲线方程为 xy=1. … 2 所以曲线 2x ﹣2xy+1=0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为 xy=1… 点评:本题考查矩阵的乘法、几种特殊的矩阵变换,其中根据已知中的矩阵 M,N,计算出 MN,是解答的关键. 22. (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) 已知圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) ,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建
2

立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ+ρcosθ=1,求直线 l 截圆 C 所得的弦长. 考点:直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程. 专题:计算题;直线与圆. 分析:通过平方关系式化圆的参数方程为普通方程,化极坐标分为直角坐标方程,利用圆心 到直线的距离,半径,半弦长满足勾股定理,求出半弦长,然后求出弦长即可. 解答: 解:圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) ,

所以圆 C 的方程为 x +(y﹣2) =1;圆的圆心坐标(0,2) ,半径为 1, 直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ+ρcosθ=1, 所以直线 l 的方程为 x+y=1. 圆心到直线的距离为: ,

2

2

圆心到直线的距离,半径,半弦长满足勾股定理, 故所求弦长为 = .…

点评: 本题考查圆的参数方程与直线的极坐标方程与普通方程的互化, 直线与圆的位置关系 的应用,考查计算能力. 23.正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都为 4,D 为的 CC1 中点. (1)求证:AB1⊥平面 A1BD; (2)求二面角 A﹣A1D﹣B 的余弦值.

考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)通过建立如图所示的空间直角坐标系,利用数量积 ? ,即可证明

AB1⊥平面 A1BD; (2)利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角. 解答: (1)证明:取 BC 中点 O,连接 AO,∵△ABC 为正三角形,∴AO⊥BC, ∵在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,平面 ABC⊥平面 BCC1B1,∴AO⊥平面 BCC1B1, 取 B1C1 中点为 O1,以 O 为原点, 直角坐标系, 则 , , 的方向为 x,y,z 轴的正方向,建立空间

. ∴ ∵ ∴ , , , , , . .

∴AB1⊥面 A1BD.

(2)设平面 A1AD 的法向量为

, . ,



,∴

,?



令 z=1,得

为平面 A1AD 的一个法向量,由(1)知 AB1⊥面 A1BD,



为平面 A1AD 的法向量,



由图可以看出:二面角 A﹣A1D﹣B 是锐角. ∴二面角 A﹣A1D﹣B 的余弦值为 .

点评:熟练掌握:通过建立如图所示的空间直角坐标系的方法,利用数量积与垂直的关系证 明线面垂直;利用两个平面的法向量的夹角得到二面角. 24.已知数列{an}满足 a1=2, (1)证明:an>n(n≥3) ; (2)证明: . .

考点:数学归纳法;数列递推式. 专题:证明题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)直接利用数学归纳法的证明步骤直接证明 an>n(n≥3)即可; (2)利用(1)证明的结果,通过类比推理证明 解答: 证明: (1)①因为 a1=2,a2=2,所以 ②假设 n=k(k≥3)时不等式成立,即 ak>k(k≥3) ; 那么,当 n=k+1 时,因为 , . .

所以,

.这就是说 n=k+1 时,不等式也成立,

由①②数学归纳法知,当 n≥3 时 an>n.… (2)由(1)知, 所以 所以 .所以 , 以此类推, 得 ,得 , ,即 , , 问题得证. …

点评:本题考查数学归纳法的证明方法的应用,类比推理的应用,考查数学归纳法的证明步 骤逻辑推理能力的考查.


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