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人教A版选修2-1第三章第七课时导学案3.1空间向量及其运算(习题课)(修改稿)


§3.1 空间向量及其运算(习题课)
学习目标
1. 熟练掌握空间向量的加法,减法,向量的数乘运算,向量的数量积运算及其坐标表示; 2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式,并能熟练 用这些公式解决有关问题.

学习过程
一、课前准备 (阅读课本 P84-99) 复习: 1. 具有 和 的量叫向量,

记作 ; 2. 向量的加法和减法的运算法则有 3.实数 λ 与向量 a 的积是一个 (1)|λ a |= . ; ; (2)当 λ>0 时,λ a 与 a 方向 当 λ<0 时,λ a 与 a 方向 当 λ=0 时,λ a = . 4. 向量加法和数乘向量运算律: 交换律: a + b = 结合律:( a + b )+ c = 数乘分配律:λ( a + b )= 5.① 表示空间向量的 线向量,也叫平行向量. 所在的直线互相 或 , 则这些向量叫共 量,记作

叫向量的模; 叫单位向量. 法则和 法则.

叫零向量,

,其长度和方向规定如下:

②空间向量共线定理:对空间任意两个向量 a , b ( b ? 0 ) , a ∥ b 的充要条件是存在 唯一实数 ? ,使得 ; ③ 推论: l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,对空间的任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是 6. 空间向量共面: ①共面向量:

同一平面的向量.

②定理:对空间两个不共线向量 a , b ,向量 p 与向量 a , b 共面的充要条件是存 在 , 使得 . ③推论:空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C 共面的充要条件是: 存在 ,使 或对空间任意一点 O,有 7. 向量的数量积: a · b = .

8. 单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互相 叫做单位正交基底,通常用{ i , j , k }表示.

,长度都为

,则这个基底

9.空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a ,且设 i , j , k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量,则存在有序实数组 {x, y, z} ,使得 a = x i +y j +z k ,则称 有序实数组 {x, y, z} 为向量 a 的坐标,记着 p = 10. 设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB = 11. 向量的直角坐标运算: 设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴ a +b = ⑶ λa = ; ; ⑵ a -b = ⑷ a ·b = ; . .

※ 动手试试
1.在下列命题中:①若 a 、 b 共线,则 a 、 b 所在的直线平行; ②若 a 、 b 所在的直线 是异面直线,则 a 、 b 一定不共面; ③若 a 、 b 、 c 三向量两两共面,则 a 、 b 、 c 三 向量一定也共面; ④已知三向量 a 、 b 、 c ,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为

p =x a +y b +z c .其中正确命题的个数为( A.0 B. 1 C. 2

) D. 3 )

2.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A 、 D1C 、 A1C1 是( A.有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量

3.已知 a =(2,-1,3) , b =(-1,4,-2) , c =(7,5,λ ) ,若 a 、 b 、 c 三向 量共面,则实数 λ=( ) 62 63 64 65 A. B. C. D. 7 7 7 7 4.若 a 、 b 均为非零向量,则 a · b =| a || b |是 a 与 b 共线的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 )

5.已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,-3,7) ,C(0,5,1) ,则 BC 边上 的中线长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6. a =3 i +2 j ? k , b = i ? j +2 k 则 5 a ·3 b =( A.-15 B.-5 C.-3 ) D.-1

※ 典型例题
例 1 如图, 空间四边形 OABC 中, 点 M 在 OA 上, 且 OM=2MA, OA = a , OB = b 、 OC = c , 点 N 为 BC 的中点,则 MN = .

变式:如图,平行六面体 ABCD ? A' B'C ' D' 中, AB = a , AD = b 、 AA' = c ,,点 P, M , N 分 CQ 4 ? ,用基底 a 、 b 、 c 表示下列向量: 别是 CA' , CD' , C ' D' 的中点,点 Q 在 CA' 上,且 QA' 1 ⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .

例 2 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ?ABC ? 90?, CB ? 1, CA ? 2, AA1 ? 6 ,点 M 是 CC1 的中点,求证: AM ? BA1 .

变式: 正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱长为 2, 底面边长为 1, 点 M 是 BC 的中点, 在直线 CC1 上求一点 N,使得 MN ? AB1

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA = a , CB = b , CC1 = c , 则 A1 B =( A. a + b ? c C. ? a + b + c A. m ∥ n C. m ⊥ n , B. a ? b + c D. ? a + b ? c ) B. m 与 n 不平行也不垂直 D.以上情况都可能. )

2. m ⊥ a , m ⊥ b ,向量 n ? ? a ? ?b(?、? ? R且?、? ? 0) ,则(

3. 已知 a + b + c = 0 ,| a |=2,| b |=3,| c |= 19 ,则向量 a 与 b 之间的夹角< a , b >为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 4. 已知 a =(1,1,0), b = ( ? 1 ,0,2)且 k a ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 的值是( ) 1 3 7 A. 1 B. C. D. 5 5 5 5. 若 A (m+1,n-1,3) ,B (2m , n , m-2n ) ,C (m+3, n-3,9)三点共线,则 m+n=

课后作业
如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E , F , G 分别是 DD1 , BD, BB1 的中点. ⑴ 求证: EF ? CF ; ⑵ 求 EF 与 CG 所成角的余弦; ⑶ 求 CE 的长.


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