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专题三第一讲 空间点直线、平面之间的位置关系


专题三 第一讲
知识梳理 1.四个公理 公理 1:如果一条直线上的

立体几何

空间点、直线、平面之间的位置关系

在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过 这个公共点的 公理 3:经过 推论 1 经过一条直线和 推论 2 经过 推论 3 经过 . 的三点,有且只有一个平面. 有且只有一个平面; ,有且只有一个平面; ,有且只有一个平面. .

公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类

?平行 ?共面直线? ? ?相交 ? ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点

(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′ 所成的 叫做异面直线 a,b 所成的角(或夹角).

? π? ②范围:?0, ?. 2? ?
3.直线与平面的位置关系有 4.平面与平面的位置关系有 5.定理 (1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等. (2)过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面 α ,β 有一条公共直线 a,就说平面 α ,β 相交,并记作 α ∩β =a.( ) ) )
1

三种情况. 、 两种情况.

(2)两个平面 α ,β 有一个公共点 A,就说 α ,β 相交于过 A 点的任意一条直线.( (3)两个平面 α ,β 有一个公共点 A,就说 α ,β 相交于 A 点,并记作 α ∩β =A.(

(4)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( (5)经过两条相交直线,有且只有一个平面.( 考点自测 1.下列命题正确的个数为________. ①梯形可以确定一个平面;

) )

②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. 2.若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论 一定正确的是________. ①l1⊥l4; ②l1∥l4; ③l1 与 l4 既不垂直也不平行; ④l1 与 l4 的位置关系不确定. 3.(教材改编)如图所示,已知在长方体 ABCD-EFGH 中,AB=2 3,AD =2 3,AE=2,则 BC 和 EG 所成角的大小是______,AE 和 BG 所成角的 大小是_____________________________. 1 4.已知空间四边形 ABCD 中,M、N 分别为 AB、CD 的中点,则下列判断:①MN≥ (AC+BD); 2 1 1 1 ②MN> (AC+BD);③MN= (AC+BD);④MN< (AC+BD). 2 2 2 其中正确的是________. 典型例题 题型一 平面基本性质的应用 例 1 如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中 点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点.

思维升华 公理 1 是判断一条直线是否在某个平面的依据;公理 2 是证明三线共点或三点共 线的依据;公理 3 及其推论是判断或证明点、线共面的依据.

2

如图,平面 ABEF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 与四边形

ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD 且 BC= AD, BE∥AF 且 BE= AF,G、H 分别为 FA、FD 的中点.
(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? 1 2

1 2

题型二 判断空间两直线的位置关系 例2 (1)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的中点,

则下列判断错误的是________. ①MN 与 CC1 垂直; ②MN 与 AC 垂直; ③MN 与 BD 平行; ④MN 与 A1B1 平行. (2)在图中,G、N、M、H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中 点,则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)

思维点拨 (1)连结 B1C,B1D1,则点 M 点是 B1C 的中点,证明 MN∥B1D1;(2)先判断直线 GH、

MN 是否共面,若不共面,再利用异面直线的判定定理判定.
思维升华 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线, 可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面 平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质 来解决. 如图,已知不共面的三条直线 a、b、c 相交于点 P,A∈a,

B∈a,C∈b,D∈c,求证:AD 与 BC 是异面直线.

3

题型三 求两条异面直线所成的角 例 3 空间四边形 ABCD 中,AB=CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30°,E、F 分 别为 BC、AD 的中点,求 EF 与 AB 所成角的大小.

思维升华 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法, 平移的方法一般有三种类型: 利用图 中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移. (2)求异面直线所成的角的三步曲: 即“一作、 二证、 三求”. 其中空间选点任意, 但要灵活, 经常选择“端点、中点、等分点”,通过作三角形的中位线,平行四边形等进行平移,作出 异面直线所成的角,转化为解三角形问题,进而求解. (1)已知正四面体(各面均为正三角形)ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为________. (2)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成角的 大小为________.

方法与技巧 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面, 再证其余直线或点也 在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共 点,根据公理 2 可知这些点在交线上,因此共线. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问 题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往可 以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.

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课后作业 1. 在下列命题中,不是公理的是________. ①平行于同一个平面的两个平面相互平行; ②过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面; ③如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内; ④如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面.下列说法正确的是________(填序号). ①若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n; ②若 m⊥α ,n? α ,则 m⊥n; ③若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α ; ④若 m∥α ,m⊥n,则 n⊥α . 3.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2和 a,且长为 a 的棱与长为 2的棱异面,则 a 的取值范围是________. 4.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成角 的大小为________. 5.设 P 表示一个点,a、b 表示两条直线,α 、β 表示两个平面,给出下列四个命题,其中 正确的命题是________. ①P∈a,P∈α ? a? α ; ②a∩b=P,b? β ? a? β ; ③a∥b,a? α ,P∈b,P∈α ? b? α ; ④α ∩β =b,P∈α ,P∈β ? P∈b. 6.如图所示,平面 α ,β ,γ 两两相交,a,b,c 为三条交线,且 a∥b,则 a 与 c,b 与 c 的位置关系是________.

7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB∥CD,正方体的六个面所 在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 m,n,那么 m+n=________.

8.若两条异面直线所成的角为 60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连结正 方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有________对.
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9. 如图, 空间四边形 ABCD 中, E、 F、 G 分别在 AB、 BC、 CD 上, 且满足 AE∶EB=CF∶FB=2∶1,

CG∶GD=3∶1,过 E、F、G 的平面交 AD 于点 H.
(1)求 AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD 三线共点.

10.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小.

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