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椭圆及其标准方程说课稿(自己综合整理的)


《椭圆及其标准方程》的说课稿 椭圆及其标准方程》
尊敬的各位评委、各位老师: 大家好! 我说课的题目《椭圆及其标准方程》,是人教版普通高中课程选修 2-1 第二 章第一节 32 页-36 页的内容。下面我就根据数学课程、数学大纲结合我的设计 对这一堂课做一下介绍。具体分为以下七方面:教材分析、学生情况分析、教学 目标、教法与学法、教学过程设计、板书设计、教学评价。 一、

教材分析 圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容之一。它的许多几何性质在日常生 活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。本节是《圆锥曲线与方程》的第一节 课,主要学习椭圆的定义和标准方程。它是本章也是整个解析几何部分的重要基 础知识,原因如下: 第一,在教材结构上,本节内容起到一个承上启下的重要作用。一方面,前 面学生用坐标法研究了直线和圆,而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入, 另一方面,椭圆、双曲线、抛物线无论是定义、性质、方程还是坐标法运用上都 有很多相似之处,可以这么说学习椭圆就是学习其他圆锥曲线的基础。 第二,对椭圆定义与方程的研究,将曲线与方程对应起来,体现了函数与方 程、数与形结合的重要思想。而这种思想,将贯穿于整个高中阶段的数学学习。 第三,对椭圆定义与方程的探究过程,使学生经历了观察、猜测、实验、推 理、交流、反思等理性思维过程,培养了学生的思维方式,加强了运算能力,提 高了他们提出问题、 分析问题、 解决问题的能力, 为后续知识的学习奠定了基础。 二、学生情况分析 第一,在此之前,学生已学过运用坐标法解决几何问题,学过圆的定义与 标准方程,但掌握不够。 第二,从研究圆到研究椭圆,跨度较大,学生思维上存在一定障碍. 第三,在求椭圆标准方程时,会遇到比较复杂的根式化简问题,而这些在 目前初中代数中都没有详细介绍,初中代数不能完全满足学习本节的需要,可能

会有一部分学生探究学习受阻,教师要适时加以点拨指导。 三、教学目标 根据学生的课程标准的要求和本节课内容的特点,教学目标确定如下: (一)教学目标 1.通过观察、实验、证明等方法的运用,学生能够理解椭圆的定义,掌握椭 1. 圆标准方程的两种形式,并根据条件会求椭圆的标准方程。 2.通过对椭圆的认识及其方程的推导,学生的分析、探究、抽象、概括等逻 2. 辑思维能力得到一定提高,学生用坐标法解决圆锥曲线问题的能力得到加强 3.学生敢于大胆猜想、论证,学生的学习热情得到激发,获得成功的体验。 3. (二)教学重点和难点 1.重点: 感受建立曲线方程的基本过程, 掌握椭圆的标准方程及其推导方法。 1. 2.难点:椭圆标准方程的推导 2.

而这些问题 (椭圆标准方程推导过程中遇到的根式化解的问题, 椭圆标准方程推导过程中遇到的根式化解的问题, 在初中阶段并没有做系统的介绍, 所以这椭圆标准方程的推导也理应 在初中阶段并没有做系统的介绍, 是本节课的难点)。 是本节课的难点)。
四、教法与学法 (一)教法 为了使学生更主动地参加到课堂教学中, 体现以学生为主体的探究性学习和 因材施教的原则,故采用自主探究法。按照“创设情境——自主探究——建立模 型——拓展应用”的模式来组织教学。让学生思考,多多动手、动口和动脑,积 极的参与到课堂的教学中。 (二)学法 丰富学生的学习方式,改进学生的学习理念,是数学教学一直追求的基本理 念,在本教学过程中,让学生经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、

方程的推导化简过程,主动地获取知识。使学生的数学学习活动,不仅仅限于知 识和技能的记忆和模仿,让动手实践、独有思考、合作交流等等都能成为学生学 习数学的重要方式。 (三)教学准备 1.学生准备:一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一张硬纸板。 2.教师准备:用几何画板制作的相关课件等。 五、教学过程的设计 本次教学过程主要包括以下六个环节(图 1):

创设情境, 复习导 ( 一 ) 创设情境 , 复习 导 入

动手实践 ( 二 ) 动手 实践 , 归纳概念

启发引导, ( 三 ) 启发引导 , 推导方程

(四 拓展引申, ( 四 ) 拓展引申 , 对比分析

应用实例, ( 五 ) 应用实例 , 巩固练习

归纳小结, ( 六 ) 归纳小结 , 布置作业

图 1. 教学结构设计 (一)创设情境,复习导入

图 2.天体运行轨迹

首先,提出问题:“前一段时间我们学习了直线和圆的方程,用到了两种方 法,是什么呢?”学生经过回忆,容易得出结论。这时,教师指出:这两种方法 这两种方法 是解析几何中研究曲线与方程常用的方法。 是解析几何中研究曲线与方程常用的方法。 接下来我用课件演示一些天体运行的轨迹图,并提出问题: 这些天体运行 “这些天体运行 的轨迹( 是什么呢? 的轨迹(图 2)是什么呢?”

学生经过观察,很直观地看出是椭圆,从而引出课题。 再次提问: 我们能否求出这些天体运行的轨迹方程呢?学习了本节课的内 “我们能否求出这些天体运行的轨迹方程呢 我们能否求出这些天体运行的轨迹方程呢? 容,就可以解决这个问题。” 就可以解决这个问题。

这样设计的意图是:一方面,通过复习前面学过的有关知识, 这样设计的意图是:一方面,通过复习前面学过的有关知识,唤 的意图是 起学生的记忆, 为本节课学习作好铺垫。 另一方面, 借助多媒体生动、 起学生的记忆, 为本节课学习作好铺垫。 另一方面, 借助多媒体生动、 直观的演示,使学生明确学习椭圆的重要性和必要性。同时, 直观的演示,使学生明确学习椭圆的重要性和必要性。同时,激发他 们探求实际问题的兴趣,使他们主动、积极地参与到教学中来, 们探求实际问题的兴趣,使他们主动、积极地参与到教学中来,为后 面的学习做好准备。 面的学习做好准备。
(二)动手实践,归纳概念 “一石激起千层浪”,一个富有挑战性的问题,将会把学生带入自主探究的 情境中去。此时,学生已经有了浓厚的学习兴趣,我继续提问:“你们还记得前 面我们不用圆规是怎样画出圆的图形的?又是怎样给圆下定义的?” 在学生回答 后,我用课件演示圆的形成过程。 接着,我让学生拿出事先准备好的学具,动手实践。类比画圆的过程,看能 否画出椭圆,并给予指导。待大多数学生都有了结果后,我再用课件演示画椭圆 的过程。提出问题:“在画图的过程中,哪些量发生了变化,哪些量没有变?” 在画图的过程中,哪些量发生了变化,哪些量没有变? 在画图的过程中 让学生根据自己的实验,观察回答:“两定点间的距离没变,绳子的长度没 “两定点间的距离没变, 变,点在运动。” 点在运动。 我继续提问: 你们能根据刚才画椭圆的过程,类比圆的定义,归纳概括出 “你们能根据刚才画椭圆的过程 类比圆的定义, 你们能根据刚才画椭圆的过程, 椭圆的定义吗?” 椭圆的定义吗? 先让学生独立思考一分钟,然后同桌交流,再进行全班交流,将定义进行逐 步完善,最后,老师和学生一起概括出椭圆的定义。满足感性知识上升到理性知 识的认知过程。 椭圆的定义: 椭圆的定义: 平面内与 平面内与两个定点 叫做椭圆。 叫做椭圆。定点 、 、 的距离之和等于常数(大于|F 的距离之和等于常数(大于|F F |)的点的轨迹 和等于常数 、 间的距离叫做椭圆的焦距。 间的距离叫做椭圆的焦距。

叫做椭圆的焦点, 叫做椭圆的焦点,

得到椭圆的定义后,我会引导学生对定义中的关键词进行分析理解,帮助学 生更好地领会椭圆的定义。 此时,可能会有学生提出: 为何‘常数’要大于两定点间的距离呢?等于、 “为何‘常数’要大于两定点间的距离呢?等于、 小于又如何呢? 小于又如何呢?” 我不急于告诉学生答案,先让学生思考并发表自己的见解,最后再用课件演 示进行说明。

这样设计的意图是:以活动为载体,让学生在“ 这样设计的意图是:以活动为载体,让学生在“做”中学数学, 中学数学, 通过画椭圆,经历知识的形成过程,积累感性经验。同时, 通过画椭圆,经历知识的形成过程,积累感性经验。同时,我力求改 的形成过程 变单一、被动的学习方式,让学生成为学习的主人, 变单一、被动的学习方式,让学生成为学习的主人,给他们提供一个 自主探索学习的机会,让他们通过观察、讨论, 自主探索学习的机会,让他们通过观察、讨论,归纳概括出椭圆的定 义,这样既获得了知识,又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力。 这样既获得了知识,又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力。
(三)启发引导,推导方程 提出了问题就要解决问题, 怎么推导椭圆的标准方程呢?让学生运用研究直 线与圆的方程的方法——坐标法,去推导椭圆的方程。本环节我按如下几个步骤 进行: 1.建立直角坐标系,设出动点的坐标 我启发学生类比求圆的方程的建系方法,建立适当的直角坐标系。学生可能 会有如下几种建系方案: 方案 1:以定点 F1 为原点,两定点的连线为 X 轴; 方案 2:以定点 F2 为原点,两定点的连线为 X 轴; 方案 3:以两定点的连线为 X 轴,其垂直平分线为 Y 轴; 方案 4:以两定点的连线为 Y 轴,其垂直平分线为 X 轴。

方案1

方案2

方案3

方案 4

我加以引导:根据建立坐标系的一般原则,使点的坐标、几何量的表达式简 单化,并使得到的方程具有“对称美”“简洁美”的特点,你们会选择哪种方案 呢?经过讨论,大多数学生可能会选择方案 3 或方案 4 来推导椭圆的标准方程, 我表示赞同。按方案 3 建系,引导学生设出动点 M 的坐标及相关常数。 2.写出动点 M 满足的集合 这里我启发学生根据椭圆的定义,写出动点 M 满足的集合,即: P={M |│MF1│+│MF2│| =2a} 如果学生有困难,可以安排进行小组讨论交流。 3.坐标化 引导学生在设点的基础上,将前面得到的关系式用坐标表示出来。这里学生 不会有太大的困难,绝大多数学生都能得到方程:

4.化简 带根式的方程的化简,学生会感到困难,这也是教学的一个难点。特别是由 点适合的条件列出的方程为两个二次根式的和等于一个非零常数的形式, 化简时 要进行两次平方,且方程中字母多,次数高,初中代数中没有做过这样的题目,教 学时,要注意说明这类方程的化简方法。一般来说: ①方程中只有一个二次根式时,需将它单独留在方程的一边,把其它各项移 到另一边,平方一次;②方程中有两个二次根式时,需将它们分散,放在方程的 两边,使其中一边只有一个根式,平方两次。

接着让学生自己动手开始化简。我安排一名程度较好的学生上来板演,以便 点评。待大多数学生都有了结果

之后,我指出:这个方程还不够简洁对称,让学生观察图形:

提出问题:“你们能从图中找出表示 a、c、 “

的线段吗? 的线段吗?”

通过观察,学生容易得出结论,并理解了换元的合理性。这样不仅使方程具 有了对称性,而且使字母 b 也有了明确的几何意义。从而将方程简化为:

告诉学生:可以证明它就是椭圆的方程,我们称它为椭圆的标准方程。 小结: 这样用坐标法推导出了椭圆的标准方程, 小结: 这样用坐标法推导出了椭圆的标准方程, 推导出了椭圆的标准方程 也是求曲线方程的一般方法, 也是求曲线方程的一般方法, 总结步骤为: 2.写出动点满足的集合 3.列式 4.化简 总结步骤为:1。建系设点 2.写出动点满足的集合 3.列式 4.化简

这样设计的意图是: 这样设计的意图是:使学生完全成了学习的主人, 使学生完全成了学习的主人,由被动的接受 变成主动的获取 通过讨论,让学生互相交流,互相学习, 变成主动的获取。通过讨论,让学生互相交流,互相学习,培养他们 讨论 的合作意识和谦虚好学的品质。 在师生互动的过程中, 让学生体会数 的合作意识和谦虚好学的品质。 在师生互动的过程中, 学的严谨,使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练, 学的严谨,使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练,渗透 数形结合的数学思想。并感受椭圆方程、图形的对称美, 数形结合的数学思想。并感受椭圆方程、图形的对称美,获得成功的 喜悦! 喜悦!
(四)拓展引申,对比分析 本环节我首先提出问题: 刚才我们得到了焦点在 X 轴上的椭圆方程,如何 “ 轴上的椭圆方程, 轴上的椭圆的标准方程呢? 推导焦点在 Y 轴上的椭圆的标准方程呢?”

学生可能不假思索地回答:“按方案 4 建系再推一遍”。 按方案 建系再推一遍” 学生 我启发:“可以,还有别的方法吗?” “可以,还有别的方法吗? 学生经过观察思考会发现,只要交换坐标轴就可以了,从而得到了焦点在 Y 轴上的椭圆的标准方程: 椭圆的定义 分 图 类 像 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 接下来,我 通过表格的形 式,让学生对两 种方程进行对 比分析,强化对 标准方程 焦点坐标 a. b .c 关系 椭圆方程的理 解。

这样设计的意图是:通过填表,进行对比总结, 这样设计的意图是:通过填表,进行对比总结,不仅使学生加深 了对椭圆定义和标准方程的理解, 有助于教学目标的实现, 而且使学 了对椭圆定义和标准方程的理解, 有助于教学目标的实现, 生体会和学习类比的思想方法, 为后边双曲线、 抛物线及其它知识的 生体会和学习类比的思想方法, 为后边双曲线、 学习打下基础。 学习打下基础。
(五)应用实例,巩固练习 学会了知识就要运用知识。为了让学生更好的了解今天讲课的内容,我以 课件例题为载体,和他们一起,带着他们完成将新知识纳入到已有知识的过程。 例题: 【例 1】根据椭圆的标准方程,判断焦点的位置,并求其坐标(口答): 例

(1)

; (2)

; (3)

.

【例 2】求适合下列条件的椭圆的标准方程: 例

(1)已知椭圆的焦点坐标是 F1(-4,0)、F2(4,0),椭圆上任一点到 F1、 F2 的距离之和为 10,求椭圆的标准方程。 (2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),并且 椭圆经过点( ̄ , )。

强化提高——嫦娥奔月】 强化提高——嫦娥奔月 ——嫦娥奔月 2007 年 10 月 24 日中国“嫦娥”一号卫星成功实现第 一次近月制动,卫星进入距月球表面近月点高度约 210 公 里,远月点高度约 8600 公里,且以月球的球心为一个焦点 的椭圆形轨道。已知月球半径约 3475 公里,试求“嫦娥” 一号卫星运行的轨迹方程。

这样设计的意图是: 从基础入手,通过练习, 这样设计的意图是:例 1、例 2 从基础入手,通过练习,使学生 更好地理解椭圆标准方程的两种形式, 各个量之间的关系, 掌握求椭 更好地理解椭圆标准方程的两种形式, 各个量之间的关系, 圆标准方程的方法。设计“嫦娥奔月” 目的在于联系现实, 圆标准方程的方法。设计“嫦娥奔月”题,目的在于联系现实,逐层 深入,由易到难,不仅激发了学生的学习兴趣和探究精神, 深入,由易到难,不仅激发了学生的学习兴趣和探究精神,而且使他 们深刻地体会到数学来源于生活,又服务于生活实际,学以致用。 们深刻地体会到数学来源于生活,又服务于生活实际,学以致用。
(六)归纳小结,布置作业 到这里,本节课的主要内容就学习完了,适时的组织和指导学生归纳知识、 技能和有关规律,有助于更好的学习与运用,发挥知识系统的整体应用,并为后 续学习打好基础。所以在课的最后我会让学生自己归纳总结,这节课学到了什么 知识?掌握了什么方法?还有什么问题?然后,我再概括。 1.归纳小结 (1)两种类型的椭圆方程的比较(注意板书内容) (2)总结判断焦点位置的方法。(看大小) (3)求曲线方程的方法:坐标法及其步骤 2.布置作业

(1)必做题:教材 P42 1,2,3 必做题:
2 2 2 2 (2)选做题: (2)选做题:求与圆(x-2) +y =1 外切,且与圆(x+2) +y =49 内切的动 选做题

圆圆心的轨迹方程。

这样设计的意图是:归纳小结由学生来完成, 这样设计的意图是:归纳小结由学生来完成,使他们及时发现并 纠正自己学习中存在的问题, 培养学生学习的主动性和良好的学习习 纠正自己学习中存在的问题, 惯。作业由易到难,分必做题和选做题,体现分层教学的思想,提高 作业由易到难,分必做题和选做题,体现分层教学的思想, 学生的学习积极性, 使各层次的学生都找到各自的学习区, 进一步促 学生的学习积极性, 使各层次的学生都找到各自的学习区, 进教学目标的实现。 进教学目标的实现。

六、板书设计 §2.1 椭圆及其标 准方程 三、填表 一、复习引入: 二、椭圆的定义: 1、定义 2、标准方程: 标准方程 焦点坐标 a. b .c 关 系 六、布置作业 四、典例 例1 例2 五、小结 分 图 类 像 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 强化提高

力求重点突出,整齐美观。 力求重点突出,整齐美观。

七、教学评价: 教学评价: 本堂课教学过程设计总共包括六个环节,环环相扣、层层递进,符合学生的 认知规律。 (一)创设情境,复习引入:环节自学生已掌握的圆的知识入手,唤起学生 的记忆,为本节课学习作好铺垫。另一方面,借助多媒体生动、直观的演示,激 发他们探求实际问题的兴趣,使他们主动、积极地参与到教学中来,为后面的学 习做好准备。 (二)动手实践,引入新课:以活动为载体,让学生在“做”中学数学,通 过画椭圆,经历知识的形成过程,积累感性经验。改变学生单一、被动的学习方 式,给他们提供一个自主探索学习的机会,让他们通过观察、讨论,归纳概括出 椭圆的定义,这样既获得了知识,又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力。 (三)启发引导,推导方程:教育学家波利亚说得好:“学习任何知识的最 佳途径即是由自己去发现,因为这种发现,理解最深刻,也最容易掌握其中的内 在规律、性质和联系。”因此,在推导出椭圆的标准方程的过程中,我尽力把学 习主动权交给学生,让学生在自主探索中学到知识,掌握方法,提高能力。 (四)拓展引申,对比分析:老师利用表格,和同学一起归纳总结关于 X 轴的椭圆标准方程,并适时拓展引申,在老师的引导下,学生归纳出关于 Y 轴的 椭圆标准方程,使学生体会和学习类比的思想方法,为后边双曲线、抛物线及其 它知识的学习打下基础。 (五)范例教学,巩固练习:例题从基础入手,并设计“嫦娥奔月”题,目 的在于联系现实,让学生在生活中找数学,用数学知识解决生活中的实际问题, 体现了数学的发现和创造过程,巩固新学知识的同时,加深了学生对数学本质的 理解,激发了他们学习数学的兴趣。 (六)归纳小结,布置作业:归纳小结由学生来完成,使他们及时发现并纠 正自己学习中存在的问题,培养学生学习的主动性和良好的学习习惯。作业由易 到难,分必做题和选做题,体现分层教学的思想,提高学生的学习积极性,使各 层次的学生都找到各自的学习区,进一步促进教学目标的实现。 这就是我对本节课的设计和说明,希望各位评委老师批评指正!谢谢!


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