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贵州省遵义四中2014届高三上学期第三次月考 理科数学 Word版含答案


贵州省遵义市第四中学 2013-2014 学年度高三第一学期第三次月考试卷

理科数学
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、 选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M ? x ? x ? 1? ? 4, x ? R , N ? ??1,0,1, 2,3? ,则 M ? N ? ( )
2

?

?

A. ?0,1, 2? C. ??1, 0, 2,3?

B. ??1, 0,1, 2? D.

?0,1, 2,3?

2. 设复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 2i ,则 z ? ( ) A. ?1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i ) 3. 已知命题 p :0 ? 3x ?1 ? 8 ,命题 q : log2 x ? 1 ,则 p 是 q 的( A.充分必要条件 C.既不充分也不必要条件

B.必要而不充分条件 D.充分而不必要条件 )

4. 已知 ?a n ?为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为(
3 3 1 1 B. ? C. D. 2 2 2 2 i 5 阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 的值为( A.3 B.4 C.5 D.6

A. ?



6.向量 a 、 b 的夹角为 60? ,且 a ? 1 , b ? 2 ,则 2a ? b 等于( A.1 B. 2 C.2 D.4

?? ?

??

?? ?

??

?? ? ??

)

7.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A, B, C 3 门由于上课时间相同,至多选 1 门。若学校规定每位学生选修 4 门,则每位学生不同的选修方案共有 ( ) A.15 种 B. 60 种 C. 150 种 D. 75 种 8.函数 f ( x) ? Asin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,? ? 0,|? |?

2 ? 分图象如图所示,将 f ( x) 的图象向右平移 个长度单位, 3 所得图象对应的函数解析式为( ) A. f ( x) ? sin 2 x B. f ( x) ? ? sin 2x ? 2? C. f ( x) ? sin(2x ? ) D. f ( x) ? sin(2x ? ) 3 3
9. 已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ? (0,π ),则 tan ? ( A. ?
2 2

? )的部

y
π 3 7π 12

x

O
-1



B. ? 1

C.

2 2

D. 1 )

10.直线 y ? kx 是曲线 y ? ln x 的切线,则 k 的值是 ( A. e B. ?e C.

1 1 D. ? e e 11. 函数错误!未找到引用源。的图像因酷似汉字的“囧”字,而被称为“囧函 数” 。则方程错误!未找到引用源。的实数根的个数为( ) A.1 B.3 C.2 D.4
12.已知双曲线 E 的中心为原点,P(3,0) 是 E 的焦点, 过 F 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点, 且 AB 的中点为 N (?12, ?15) ,则 E 的方程式为(


x2 y 2 ? ?1 D. 5 4

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 B. ? ?1 A. 3 6 4 5

x2 y 2 ? ?1 C. 6 3

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。第 22 题~第 24 题为 选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.

?0 (? x

1

2

? 1)dx ?

?? ? 14、已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin x, 则f ? ? ? ? ?4?

15.如图 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上, AD ? AC ,
sin ?BAC ? 2 2 , AB ? 3 2 , AD ? 3 ,则 BD 的长 3

为______________

16 .一个四面体所有棱长都为 2 , 四个顶点在同一球面上,则此球表面积 为 。

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)
?? 在 ?ABC 中,已知角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c .向量 m ? (cos B, cos C ),

?? ? ? n ? (b, 2a ? c), 且向量 m 与 n 共线.
(Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)若 b ? 3 ,求 ?ABC 的面积的最大值. 18. (本小题满分 12 分)
2 n ?1 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ? ? 2 an ?

n n ? N ?? . ? 2

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ? 2nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n . 19.(本小题满分 12 分) 某社区举办防控甲型 H7N9 流感知识有奖问答比赛,甲、乙、丙三人同时回 答一道卫生知识题, 三人回答正确与错误互不影响。已知甲回答这题正确的概率 是 ,甲、丙两人都回答错误的概率是
3 4 1 1 ,乙、丙两人都回答正确的概率是 . 12 4

(I)求乙、丙两人各自回答这道题正确的概率; (II)用 ? 表示回答该题正确的人数,求 ? 的分布列和数学期望 E? .

20. (本题满分 12 分) 如图所示的长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,
O 为 AC 与 BD 的交点, BB1 ? 2 , M 是线段 B1 D1 的中点. (Ⅰ)求证: BM // 平面 D1 AC ;

(Ⅱ)求证: D1O ? 平面 AB1C ; (Ⅲ)求二面角 B ? AB1 ? C 的大小.

第 20 题图

21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? x ? (1)若 x ?

a2 ? 3 ,g ( x) ? x ? ln x ,其中 a ? 0 。 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 。 x

1 是函数 y ? F ( x) 的极值点,求实数 a 的值; 2 5 恒成立, 求 2

(2) 若函数 y ? F ( x) ( x ? ?0, 3? ) 的图象上任意一点处切线的斜率 k ? 实数 a 的取值范围;

(3)若函数 y ? f ( x) 在 ?1, 2? 上有两个零点,求实数 a 的取值范围。 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一 题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB为? O直径,直线CD与 ? O相切于E.AD垂直于CD于D, BC垂直于
CD于C,EF 垂直AB于F,连接AE, BE.证明:

(I) ?FEB ? ?CEB; (II) EF 2 ? AD ? BC. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。 已知 直线 l 上两点 M , N 的极坐标分别为 (2, 0), (
? ? x ? 2 ? 2 cos ? (? 为参数) ? ? ? y ? ? 3 ? 2 sin ?
2 3 ? , ) ,圆 C 的参数方程为 3 2

(I)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (II)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 3 (I) 求不等式f ? x ? ? 4的解集; (II)求函数 y ? f ( x) 的最小值

遵义四中 2014 届高三数学第三次月考数学理科试题答案 一.选择题: 题 号 答 案 A A B A B C D C B C B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二.填空题: 13
2 3

14 0

15

3

16

3?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 17

18 解:(Ⅰ) (Ⅱ)

an ?

1 2n

Sn ? 2 ? (n ? 2)( 1 )n
2
1 , ··················1 分 12

19.解: (I)记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件 A、B、C, 则 P( A) ? ,且 P( A) ? P(C ) ?
3 4

P( B) ? P(C ) ?

1 , 4

························2 分
1 , ····················3 分 12

即 [1 ? P( A)] ? [1 ? P(C)] =
P( B) ? P(C ) ?
? P( B) ? P(C ) ?

1 , 4

························4 分

3 , ··························5 分 8

2 ,···························6 分 3

(II) ? 的可能取值为 0、1、2、3. 则 P(? ? 0) ? P( A ? B ? C ) ? ? ? ?
1 1 5 4 3 8 5 , ················7 分 96

P(? ? 1) ? P( A ? B ? C ) ? ( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ?

7 , ············8 分 24
15 , ············9 分 32

P(? ? 2) ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ?

P(? ? 3) ? P( A ? B ? C ) ?

3 , ···················· 10 分 16

?? 的分布列为

?
P

0
5 96

1
7 24

2
15 32

3
3 16

························· 11 分 ∴ ? 的数学期望 E? = 0 ?
5 7 15 3 43 . ·········· 12 分 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 96 34 32 16 24

20. 解: (1)连接 D1O,如图, ∵O、M 分别是 BD、B1D1 的中点,BD1D1B 是矩形, ∴四边形 D1OBM 是平行四边形, ∴D1O∥BM. ∵D1O?平面 D1AC,BM?平面 D1AC,∴BM∥平面 D1AC. (2) 连接 OB1,∵正方形 ABCD 的边长为 2,BB1= 2 , ∴B1D1=2 2 ,OB1=2,D1O=2, 则 OB12+D1O2=B1D12,∴OB1⊥D1O. ∵在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC⊥BD,AC⊥D1D, ∴AC⊥平面 BDD1B1,又 D1O?平面 BDD1B1, ∴AC⊥D1O,又 AC∩OB1=O,

∴D1O⊥平面 AB1C. (Ⅲ)在平面 ABB1 中过点 B 作 BE⊥AB1 于 E,连接 EC, ∵CB⊥AB,CB⊥BB1, ∴CB⊥平面 ABB1,又 AB1?平面 ABB1, ∴CB⊥AB1,又 BE⊥AB1,且 CB∩BE=B, ∴AB1⊥平面 EBC,而 EC?平面 EBC, ∴AB1⊥EC. ∴∠BEC 是二面角 B-AB1-C 的平面角. 在 Rt△BEC 中,BE= 2 ∴tan∠BEC=
3

3 3

,BC=2

,∠BEC=60°,

∴二面角 B-AB1-C 的大小为 60°. 21.解: F ( x) ? 2 x ?
a2 ? ln x ? 3 x a2 1 F ' ( x) ? 2 ? 2 ? x x

(1) F ' ( ) ? 4 ? 4a 2 ? 0 且 a ? 0
?a ? 1

1 2

对任意的 x ? ?0, 3? 恒成立

? 2a 2 ? ? x 2 ? 2 x 对任意的 x ? ?0, 3? 恒成立

? 2a 2 ? (? x 2 ? 2 x) max

而当 x ? 1 时, ? x 2 ? 2 x ? ?( x ? 1) 2 ? 1 取最大值为 1,
? 2a 2 ? 1 ,且 a ? 0 ,? a ?

2 2

(3) f ' ( x) ? 1 ?

a 2 ( x ? a)( x ? a) ? ,且 a ? 0 x2 x2

f ' ( x) ? 0 ? x ? ? a ; f ' ( x) ? 0 ? x ? a 或 x ? ?a ; f ' ( x) ? 0 ? ? a ? x ? a

而在 (?a, a) 上递减。 当 1 ? x ? 2 时 ? y ? f ( x) 在 (??, ? a) 和 (a, ? ?) 上递增; i) 0 ? a ? 1 ,则 y ? f ( x) 在 ?1, 2? 上递增, y ? f ( x) 在 ?1, 2? 上不可能有两个零 点。

ii) 1 ? a ? 2 ,则 y ? f ( x) 在 ?1, a ? 上递减,而在 ?a, 2? 上递增。
? y ? f ( x) 在 ?1, 2? 上有极小值(也就是最小值) f (a) ? 2a ? 3

而 f (1) ? a 2 ? 2,f (2) ?
? f (1) ? 0 ? ? ? f ( 2) ? 0 ? f (a) ? 0 ?

a2 ?1 2

? 2 ?a?

3 2

? 2 ?a?

3 时, y ? f ( x) 在 ?1, 2? 上有两个零点。 2

iii)a ? 2 , 则 y ? f ( x) 在 ?1, 2? 上递减,y ? f ( x) 在 ?1, 2? 上不可能有两个零点。 综上所述: 2 ? a ? 22 .略
3 2

23(1)

y?

3 x 3

(2)相交

24 (1) x x ? ?8或 ? 2 (2) ?

?

?

7 2


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