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安徽省马鞍山二中2015届高三上学期期中考试 数学理 Word版含答案


马鞍山市第二中学 2014—2015 学年度第一学期期中素质测试 高三年级 数学(理科)试题

一、选择题: (本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的) .

1.若集合 A ? x y ? 1 ? x 2 , x ? R , B ? y y ? x 2 , x ? R

,则 A ? B ? ( A. x ? 1 ? x ? 1 2. 若复数 z ? A.2

?

?

?

B. x x ? 0

?

?

?

?

) D. ?

?
C. 4

C. x 0 ? x ? 1

?

?


a ?i |a ? 2i | 等于( (a ? R, i是虚数单位) 是纯虚数,则 1 ? 2i

B. 2 2

D.8

3. 已知定义域在[-1,1]上的函数 y=f(x)的值域为[-2,0],则函数 y=f(cos ( ) A.[-1,1] 4.若 sin(

x )的值域为

B.[―3,―1]

C.[-2,0]

D.不能确定

1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) 的值( ) 6 3 3 7 7 4 2 A. ? B. C. ? 9 9 9

?

D.

4 2 9

5.已知一个等比数列的前三项的积为 3,最后三项的积为 9,且所有项的积为 243,则该数列 的项数为( A.9 ) B.10 C.11 D.12

6.若函数 y ? f ? 2 x ? 的图象有对称轴 x ? 1 ,则函数 y ? f ? x ? 1? 图象的对称轴方程是( ) A. x ? 0 B. x ?

1 2

C. x ? 1

D. x ? 2 )

7.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 1 ? A.

tan A 2 c ? ,则角 A 的大小为( tan B b

? 5? 或 6 6

B.

? 6

C.

? 2? 或 3 3

D.

? 3


8.已知平面上不共线的四点 O, A, B, C. 且满足 OA ? 3OB ? 2OC ? 0, 那么

S ?OAB ?( S ?OBC
D.2

A.

1 3

B.3

C.

1 2

?1 2 ? ( x ? 5 x),0 ? x ? 3 9、 函数 f ( x) ? ? 6 , ?m, n ? ?0,5?, m ? n, 使得 f ( x) 在定义域 ?m, n? 上的值 ? ?10 ? 2 x,3 ? x ? 5
域为 ?m, n ? ,则这样的实数对 (m, n) 共有( A.2 B.3 )个. C.4 D.5

1 1 10.已知 ?、? 是三次函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 2bx ( a , b ? R )的两个极值点,且 ? ? (0,1) , 3 2

? ? (1,2) ,则
?1 ? A. ? ,1? ?4 ?

b?2 的取值范围是( a ?1
?1 ? B. ? ,1? ?2 ?


? 1 1? C. ? ? , ? ? 2 4? ? 1 1? D. ? ? , ? ? 2 2?

二.填空题:(本大题共 5 小题, 每小题 5 分,共 25 分) 11.已 知 等 差 数 列 {an } 满 足 a3 ? a7 ? 10 , 则 该 数 列 的 前 9 项 和 S9 ? 。

12.已知 a =(1,2) , b =(1,1) ,且向量 a 与 a +m b 的夹角为锐角,则 m 的取值范围为 。 13 .已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? m cos 2 x 的图象关于直线 x ? 是 。 14. (14)给出下列四个结论: ① 命题 " ?x ? R, x 2 ? x ? 0" 的否定是 " ?x ? R, x 2 ? x ? 0" ; ② “若 am2 ? bm2 ,则 a ? b ”的逆命题为真;
l 2 的充要条件是 ③ 已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 , l 2 : x ? by ? 2 ? 0 ,则 l1 ⊥

?
8

对称,则 f(x) 的对称中心坐标

a ? ?2 ; b ④ 对于任意实数 x,有 f (? x) ? ? f ( x), g (? x) ? g ( x) 且 x>0 时, f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 ,则 x<0

时, f ?( x) ? g ?( x) . 其中正确结论的序号是

(填上所有正确结论的序号) 。

3 x ? ? x 2 ? 2 的根的个数为 15. 方程 2

个。

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本题满分 12 分) 已知全集 U ? R, A ? x log2 (3 ? x) ? 2 , B ? ? x (Ⅰ)求集合 A 和 B ; (Ⅱ)若 ?CU A? ? B ? CU A ,求实数 a 的取值范围.

?

?

?

? a ? 1.a ? R? ? x?2 ?

17. (本题共 12 分) 已知向量 a ? (2 cos x,2 sin x) ,向量 b ? ( 3 cos x,? cos x) ,函数 f ( x) ? a ? b ? 3 . (Ⅰ )求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ )求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅲ )求函数 f ( x) 在区间 [
? ? ? ?

, ] 上的值域. 12 12

? 7?

18.(本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? (1 ? x) 2 ?2 ln( 1 ? x) . (Ⅰ )若对任意的 x ? [0,1] ,不等式 f ( x) ? m ? 0 都成立,求实数 m 的最小值; (Ⅱ ) 若关于 x 的方程 f ( x) ? x 2 ? x ? a 在区间 [0, 2] 上恰有两个不等实根, 求实数 a 的取值 范围.

19.(本题满分 12 分) 已知 a、b、c 是△ABC 三边长,关于 x 的方程 ax2 ? 2 c 2 ? b 2 x ? b ? 0(a ? c ? b) 的两根 之差的平方等于 4,△ABC 的面积 S ? 10 3, c ? 7. (1)求 ? C; (2)求 a、b 的值.

20. (本题共 13 分) 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/小时) 的函数解析式可以表示为:y ?

1 3 x3 ? x ? 8(0 ? x ? 120). 已知甲、 128000 80

乙两地相距 100 千米。 (I)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

21. (本题满分 14 分) 设数列 ?a n ? 满足 a1 ? 0,4an?1 ? 4an ? 2 4an ? 1 ? 1 ,令 bn ? 4a n ? 1 . (Ⅰ )试证明数列 ?b n ? 是等差数列,并求数列 ?b n ? 的通项公式; (Ⅱ )令 Tn ?

b1 ? b3 ? b5 ? ?? b2n ?1 , 是否存在实数 a , 使得不等式 Tn bn ? 1 ? 2 log2 (a ? 1) b2 ? b4 ? b6 ? ?? a2n
n ?1 n



一切 n ? N * 都成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. (Ⅲ )比较 bn b 与 bn?1b 的大小.

马鞍山市第二中学 2014—2015 学年度第一学期期中素质测试 高三数学(理科)参考答案
一、选择题: 题号 1 答案 C 二、填空题: (11)45 , 2 B 3 C 4 A 5 B , 6 C (13) ? 7 D 8 D 9 C , 10 A

(12) m ? ? 且m ? 0

5 3

? k? ? ? ? ,0 ?(k ? z ) ? 2 8 ?

(14)① ④, (15)4 个, 三、解答题: (16) (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知得: log2 (3 ? x) ? log2 4 ? ? 解得 ? 1 ? x ? 3, ? A ? {x | ?1 ? x ? 3}.

?3 ? x ? 4 ?3 ? x ? 0,

当a ? 0时, B ? ?? 2, a ? 2? 当a ? 0时, B ? ? 当a ? 0时, B ? ?a ? 2,?2? (Ⅱ)由 ?CU A? ? B ? CU A 得 B ? CU A?CU A ? ?x x ? ?1或x ? 3? 当a ? 0时, 均 满 足 条 件 ; 当a ? 0时, 有a ? 2 ? ?1, a ? 1 综 合 :所 求 a的 取 值 范 围 是 a ? 1.
(17) (本题满分 12 分) 解: (I) f ( x) ? 2 3 cos 2 x ? 2 sin x cos x ? 3 ? ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 2 c o s 2x (? ) 6 ( ? ?(sin 2 x ? 3 cos 2 x) ? ?2 sin(2 x ? 所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ?

?

(Ⅲ )?

2? ? ?. 2 5? 11? ? (II)由 2k? ? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 2? 得: k? ? ? x ? k? ? 6 12 12 5? 11? 所以函数的单调递增区间是: [k? ? , k? ? ], (k ? Z ) 12 12 ? 7? ? ? ? 7? ?
12 ? ? 4? 即 ? 2x ? ? 3 6 3 12 ?x? ,? 2 ? 12 ? 6 ? 2x ? 6 ? 2? 12 ? 6

3

),

? 1 ? ?2 ? f ( x) ? 1. ? ?1 ? c o s 2x (? ) ? , 6 2 ? 7? 故函数 f ( x) 在区间 [ , ] 上的值域为[-2,1]. 12 12

(18) (本题满分 12 分) 解: (I)设 f ( x) 在 [ 0,1] 的最大值为 f ( x) max ,依题意有 f ( x) max ? m ,
2 2x 2 ? 4x ? , 1? x 1? x 当 x ? [0,1] 时 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 在 [ 0,1] 为增函数, f ( x) max ? f (1) ? 4 ? 2 ln 2 , 于是 m ? 4 ? 2 ln 2 , ? f ?( x) ? 2(1 ? x) ?

即实数 m 的最小值为 4 ? 2 ln 2
1 ? x) ? a 在 [0,2] 上恰有两个相异实根, (II)由 f ( x) ? x 2 ? x ? a 得: (1 ? x) ? 2 ln( x ?1 1 ? x) ,则 g ?( x) ? 令 g ( x) ? (1 ? x) ? 2 ln( , x ?1 当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,当 ?1 ? x ? 1时, g ?( x) ? 0 故 g ( x) 在 [ 0,1] 上是减函数,在 (1,2] 上是增函数, 又 g (0) ? 1, g (2) ? 3 ? 2 ln 3 ? 3 ? 2 ln e ? 1 ,即 g (0) ? g (2) , 故应有 g (1) ? a ? g (2) ,
? 2 ? 2 ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3 ,即 a ? (ln

e2 e3 , ln ) 4 9

(19) (本题满分 12 分) 解: (1)设 x1 , x2为方程ax2 ? 2 c 2 ? b 2 x ? b ? 0 的两根. 则

2 c2 ? b2 , x1 ? x2 ? a

x1 ? x 2 ?

?b . a

? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab .

4(c 2 ? b 2 ) 4b ? ?4. a a2

a2 ? b2 ? c2 又 cosC ? , 2ab
(2)由 S ?

? cos C ?

1 , 2


??C ? 60? .

1 ab sin C ? 10 3 , ? ab ? 40 . 2
2 2 2

由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cosC , 即 c ? (a ? b) ? 2ab(1 ? cos60?) ,
2 2

1 ? 7 2 ? (a ? b) 2 ? 2 ? 40 ? (1 ? ) , 2
? a ? b ? 13 .
② 由①、②,得

a ? 8 ,b ? 5 .
100 ? 2.5 小时, 40

(20) (本题满分 13 分) 解: (I)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 要耗没 (

1 3 ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 (升) 。 128000 80

答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升。

(II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了

100 小时,设耗油量为 h( x) 升, x 1 3 100 1 2 800 15 x3 ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 依题意得 h( x) ? ( 128000 80 x 1280 x 4 3 3 x 800 x ? 80 h '( x) ? ? ? (0 ? x ? 120). 640 x 2 640 x 2 令 h '( x) ? 0, 得 x ? 80. 当 x ? (0,80) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 当 x ? (80,120) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。 ? 当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25. 因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值。

答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少 为 11.25 升。 (21) (本题满分 14 分) 解:(Ⅰ )证明:由已知得 4an?1 ? 1 ? 4an ? 1 ? 2 4an ? 1 ? 1 , 所以 bn?12 ? bn 2 ? 2bn ? 1 ,即 bn?1 ? bn ? 1 (Ⅱ )令 cn ? Tn bn ? 1 ,由 Tn ? 所以数列 ?b n ? 为等差数列,又 b1 ? 1 ,通所以项公式为 bn ? n(n ? N * )

b1 ? b3 ? b5 ? ?? b2 n?1 得: b2 ? b4 ? b6 ? ?? a2n
n?2 n ?1

1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) n?2 c n ?1 2 ? 4 ? 6 ? ?? (2n ? 2) 2n ? 1 = ? ? 1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) 2n ? 2 cn n ?1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
? (n ? 2)(2n ? 1) 2 (n ? 1)(2n ? 2)
2

?

4n 3 ? 12n 2 ? 9n ? 2 4n 3 ? 12n 2 ? 12n ? 4

?1

所以,数列 ?c n ? 为单调递减数列, 若不等式 Tn bn ? 1 ? 2 log2 (a ? 1) 对一切 n ? N * 都成立,只需 解得 a ? 2 ? 1 ,所以 a 的取值范围为 ( 2 ? 1,??) . (Ⅲ ) 问 题 可 转 化 为 比较 n n ?1 与 (n ? 1) n 的 大 小 , 即 比 较 (n ? 1) ln n 与 n ln(n ? 1) 的 大 小 . 设 函 数
1 ? ln x ln x ,所以 f ?( x) ? . x x2 当 0 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? e 时, f ?( x) ? 0 .所以 f ( x) 在 (0, e) 上为增函数;
f ( x) ?

2 ? 2 log2 (a ? 1) , 2

在 (e,??) 上为减函数.当 n ? 1,2 时,显然有 n n ?1 < (n ? 1) n ,当 n ? 3 时, f (n) ? f (n ? 1) ,即 n ? 1) ln n ln( , ? n n ?1 所以 (n ? 1) ln n ? n ln(n ? 1) ,即 ln n n?1 ? ln(n ? 1) n ,所以 n n ?1 > (n ? 1) n . 综上:当 n ? 1,2 时, n n ?1 < (n ? 1) n ,即 bn bn ?1 < bn ?1bn ; 当 n ? 3 时, n n ?1 > (n ? 1) n 即 bn bn ?1 >与 bn ?1bn

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