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山东省大教育联盟2016届高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年山东省大教育联盟高三(上)期末数学试卷(理 科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.若 z(1+i)=(1﹣i)2(i 为虚数单位) ,则 z=( ) A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i 2.已知集合 ,则 A∩B=( )

A.{x|x≤3} B.{x|﹣2≤x≤3} C.{x|1<x≤3} D.{x|﹣2≤x<1} 3.已知函数 y=f(|x|)在[﹣1,1]上的图象如图甲所示,则 y=f(x)在[﹣1,1]上的图象 可能是图乙中的( )

A.①② B.①③ C.②③ D.②④ x 4.命题 p:函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)在 R 上为增函数;命题 q:垂直于同一平面的两 个平面互相平行;则下列命题正确的是( ) A.p∨q B.p∨(¬q) C. D. (¬p)∧q (¬p)∧(¬q) 5.已知(x+a)2(x﹣1)3 的展开式中 x4 的系数为 1,则 A.1﹣cos1 B.1﹣cos2 C.cos2﹣1 D.cos1﹣1 6.在△ABC 中, A. B. C. D. ,则∠ABC=( ) ( )

7.三棱锥的三视图中俯视图是等腰直角三角形,三棱锥的外接球的体积记为 V1,俯视图绕 斜边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为 V2,则 =( )

A.

B.

C.12

D.
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8.若直线 l 被圆 C:x2+y2=2 所截的弦长不小于 2,下列方程表示的曲线中与直线 l 一定有 公共点的是( ) A.y=x2 B. (x﹣1)2+y2=1C.x2﹣y2=1 D. 9.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若 ,则输出的 S 的值为( )

A.0

B.671.5 C.671 D.672 和双曲线 的离心 )

10.已知 m>0,n>0(m≠n) ,椭圆

率分别为 e1,e2,若将 m,n 的值都增加 k(k>0) ,则 e1,e2 的大小的变化情况是( A.e1 减小,e2 可能减小或增大 B.e1 增大,e2 减小 C.e1 与 e2 同时减小或增大 D.e1 减小,e2 增大

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.某市期末统考数学成绩 ξ 挖服从正态分布 N,若 P(ξ<120=0.8) ,则 P 的值 为 . 12.在△ABC 中, ,若 x=A 是函数 f(x)=sinx+cosx 的一个极值点, 则△ABC 的面积为 . 13.已知 a>0,a≠1,函数 则实数 a= . 在 R 上是单调函数,且 f(a)=5a﹣2,

14.已知 x,y 满足

若 z=x+y 的最大值为 ,则常数 m=



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15.设 f(x)与 g(x)是定义在区间 M 上的两个函数,若? x0∈M,使得|f(x0)﹣g(x0) |≤1,则称 f(x)与 g(x)是 M 上的“亲近函数”,M 称为“亲近区间”;若? x∈M,都有|f (x)﹣g(x)|>1,则称 f(x)与 g(x)是 M 上的“疏远函数”,M 称为“疏远区间”.给出 下列命题: ① 是(﹣∞,+∞)上的“亲近函数”;

②f(x)=x2﹣3x+4 与 g(x)=2x﹣3 的一个“疏远区间”可以是[2,3]; ③“ ”是“ 与 g(x)=x2+a+e2(e 是自然对数的底数)是[1,+∞)

上的‘疏远函数’”的充分条件. 其中所有真命题的序号为



三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.已知函数 =f(x) 的图象与直线 y=1 的两个相邻交点的距离为 π. (I)求 ω 的值; (Ⅱ)函数 f(x)的图象先向左平移 个单位,再将所有点的横坐标扩大到原来的二倍,

得到 g(x)的图象,试求函数 y=g(x) (x∈[0,π])的最大值,最小值. 17. AB=BC=2, 如图所示, 正方形 BCDE 所在的平面与平面 ABC 互相垂直, 其中∠ABC=120°, F,G 分别为 CE,AB 的中点. (Ⅰ)求证:FG∥平面 ADE; (Ⅱ)求二面角 B﹣AC﹣E 的余弦值.

18.已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 (其中 n,k∈N*) ,



,求数列{bn}的前 n 项

和 Tn(n≥3) . 19.中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作,获得了安哥拉深海油田区块的开采权,集 团在某些区块随机初步勘探了部分口井,取得了地质资料.进入全面勘探时期后,集团按网 络点来布置井位进行全面勘探. 由于勘探一口井的费用很高, 如果新设计的井位与原有井位

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重合或接近,便利用旧井的地质资料,不必打这口新井.以节约勘探费用.若口井勘探初期 数据资料见如表: 1 2 3 4 5 6 井号 I 坐标(x,y) (km) (2,30) (4,40) (5,60) (6,50) (8,70) (1,y) 2 4 5 6 8 10 钻探深度(km) 40 70 110 90 160 205 出油量(L) (Ⅰ)1~6 号旧井位置线性分布,借助前 5 组数据求得回归直线方程为 y=6.5x+a,求 a,并 估计 y 的预报值; (Ⅱ)现准备勘探新井 7(1,25) ,若通过 1、3、5、7 号井计算出的 的值与(I)中 b,

a 的值差不超过 10%,则使用位置最迫近的已有旧井 6(1,y) ,否则在新位置打开,请判断 可否使用旧井?





(Ⅲ)设口井出油量与勘探深度的比值 k 不低于 20 的勘探并称为优质井,那么在原有 6 口 井中任意勘探 4 口井,求勘探优质井数 X 的分布列与数学期望. 20.已知椭圆 Γ: 的离心率为 ,若 Γ 与圆 E: =1

相交于 M,N 两点,且圆 E 在 Γ 内的弧长为 π. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)过 Γ 的中心作两条直线 AC,BD 交 Γ 于 A,C 和 B,D 四点,设直线 AC 的斜率为 k1, BD 的斜率为 k2,且 k1k2= (1)求直线 AB 的斜率; (2)求四边形 ABCD 面积的最大值. 21.已知函数 f(x)=xlnx+a,g(x)= x2+ax,其中 a∈R. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与曲线 y=g(x)也相切,求 a 的值; (Ⅱ)? x>1,f(x)+ <g(x)恒成立,求 a 的取值范围.

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2015-2016 学年山东省大教育联盟高三(上)期末数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.若 z(1+i)=(1﹣i)2(i 为虚数单位) ,则 z=( ) A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:由 z(1+i)=(1﹣i)2,得 i, 故选:B. =1﹣

2.已知集合 A.{x|x≤3} B.{x|﹣2≤x≤3}

,则 A∩B=( C.{x|1<x≤3} D.{x|﹣2≤x<1}



【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 与 B 的不等式的解集分别确定出 A 与 B,找出两集合的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得:log2(x﹣1)≤1=log22,即 0<x﹣1≤2, 解得:1<x≤3,即 A={x|1<x≤3}, 由 B 中不等式变形得: (x﹣3) (x+2)≤0, 解得:﹣2≤x≤3,即 B={x|﹣2≤x≤3}, 则 A∩B={x|1<x≤3}, 故选:C. 3.已知函数 y=f(|x|)在[﹣1,1]上的图象如图甲所示,则 y=f(x)在[﹣1,1]上的图象 可能是图乙中的( )

A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 【考点】函数的图象. 【分析】由|x|=x(x≥0)知图甲与图乙中的图象在 y 轴右侧的图象相同,从而解得. 【解答】解:∵当 x≥0 时,函数 y=f(|x|)与函数 y=f(x)的图象相同, 即图甲与图乙中的图象在 y 轴右侧的图象相同,
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∴图乙中的①③均有可能, 故选 B. 4.命题 p:函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)在 R 上为增函数;命题 q:垂直于同一平面的两 个平面互相平行;则下列命题正确的是( ) A.p∨q B.p∨(¬q) C. D. (¬p)∧q (¬p)∧(¬q) 【考点】复合命题的真假. 【分析】命题 p:函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1) ,只有当 a>1 时,函数 f(x)在 R 上为增 函数;命题 q:垂直于同一平面的两个平面互相平行或相交,即可判断出真假.再利用复合 命题真假的判定方法即可得出. 【解答】解:命题 p:函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1) ,只有当 a>1 时,函数 f(x)在 R 上 为增函数,因此是假命题; 命题 q:垂直于同一平面的两个平面互相平行或相交,因此是假命题. 则下列命题只有(¬p)∧(¬q)是真命题. 故选:D. 5.已知(x+a)2(x﹣1)3 的展开式中 x4 的系数为 1,则 A.1﹣cos1 B.1﹣cos2 C.cos2﹣1 D.cos1﹣1 【考点】二项式系数的性质. 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中 x4 的系数,列方程求出 a,代入定积分求 出值即可. 【解答】解: (x+a)2(x﹣1)3 的展开式中 x4 的系数,由(x+a)2 的 2 次项与(x﹣1)3 的 2 次项相乘, (x+a)2 的 1 次项与(x﹣1)3 的 3 次项相乘,再相加得到, 所以(x+a)2(x﹣1)3 的展开式中 x4 的系数为 1×(﹣3)+2a×1=1,解得 a=2; ∴ 故选:B. ﹣cosx =1﹣cos2.





6.在△ABC 中, A. B. C. D.

,则∠ABC=(



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由题意画出图形,利用已知条件求出∠BAC= 【解答】解:如图, ,可得∠ABC= .

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∵ ∴ = = 则∠BAC= ∴∠ABC= 故选:C. , . = =



,解得 cos∠BAC=0,

7.三棱锥的三视图中俯视图是等腰直角三角形,三棱锥的外接球的体积记为 V1,俯视图绕 斜边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为 V2,则 =( )

A.

B.

C.12

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】判断三视图复原的几何体的形状,底面为等腰直角三角形,一条侧棱垂直底面的一 个顶点,结合数据求出外接球的半径,由此能求出结果. 【解答】解:三视图复原的几何体如图,

它是底面为等腰直角三角形,一条侧棱垂直底面的一个顶点, 它的外接球,就是扩展为长方体的外接球, 外接球的直径是 2 , 该几何体的外接球的体积 V1= π( )3= π.

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V2=2×( ×12×π×1)= π, ∴V1:V2= 故选:B. 8.若直线 l 被圆 C:x2+y2=2 所截的弦长不小于 2,下列方程表示的曲线中与直线 l 一定有 公共点的是( ) A.y=x2 B. (x﹣1)2+y2=1C.x2﹣y2=1 D. 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】由题意知可以得到原点到直线的距离小于等于 1,即直线上有一点到原点的距离小 于等于 1,在四个选项中只有这个点一定在椭圆内或椭圆上,得到结果. 【解答】解:∵直线 l 被圆 C:x2+y2=2 所截的弦长不小于 2, ∴原点到直线的距离小于等于 1, ∴直线上有一点到原点的距离小于等于 1, 在四个选项中只有这个点一定在椭圆内或椭圆上, ∴l 与椭圆一定有公共点 故选 D. π: π=4 .

9.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若

,则输出的 S 的值为(



A.0

B.671.5 C.671 D.672

【考点】程序框图. 【分析】 模拟执行程序框图, 可得程序框图的功能是计算并输出 S=cos +…+cos 的值,根据三角函数取值的周期性即可计算得解.
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+cos

+cos

【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求 S=cos 值, ∵cos +cos +cos +…+cos

+cos

+cos

+…+cos



=0,k∈Z,

∵2016=6×336, ∴输出 S=0. 故选:A.

10.已知 m>0,n>0(m≠n) ,椭圆

和双曲线

的离心 )

率分别为 e1,e2,若将 m,n 的值都增加 k(k>0) ,则 e1,e2 的大小的变化情况是( A.e1 减小,e2 可能减小或增大 B.e1 增大,e2 减小 C.e1 与 e2 同时减小或增大 D.e1 减小,e2 增大 【考点】圆锥曲线的共同特征. 【分析】利用离心率公式,即可得出结论. m>n, e1′2﹣e12= 【解答】 解: ∴e1 减小; m<n 结论也成立; e1′2﹣e12=1+ 故选:A. ﹣1﹣ =﹣ ,∴e2 可能减小或增大. ﹣1+ =

<0, ∴e1′<e1,

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.某市期末统考数学成绩 ξ 挖服从正态分布 N,若 P(ξ<120=0.8) ,则 P 的值为 0.3 . 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】根据随机变量 ξ 服从正态分布 N,看出这组数据对应的正态曲线的对称轴 x=106, 根据正态曲线的特点,得到 P(ξ≥120) ,即可得到结果. 【解答】解:∵随机变量 X 服从正态分布 N, ∴μ=106,得对称轴是 x=106. ∵P(ξ<120)=0.8, ∴P(ξ≥120)=1﹣P(ξ<120)=0.2, ∴P=0.5﹣0.2=0.3. 故答案为:0.3. 12.在△ABC 中, 则△ABC 的面积为 . ,若 x=A 是函数 f(x)=sinx+cosx 的一个极值点,

【考点】利用导数研究函数的极值.

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【分析】分别求出 A、B、C 的值,得到三角形 ABC 是等腰直角三角形,从而求出三角形 的面积即可. 【解答】解:∵x=A 是函数 f(x)=sinx+cosx 的一个极值点, ∴f′(A)=cosA﹣sinA=0, ∴A= 由 sinC= 解得:B= ,∴B+C= , ﹣B)= sinB,

sinB,得:sin( ,∴C= ,

∴△ABC 是等腰直角三角形, ∴S△ ABC= ?BC?AC= , 故答案为: .

13.已知 a>0,a≠1,函数

在 R 上是单调函数,且 f(a)=5a﹣2,

则实数 a= 2 . 【考点】函数单调性的性质. 【分析】根据二次函数,指数函数,以及分段函数的单调性便可得出 a>1,而由 f(a)=5a ﹣2 可以得到 2a2=5a﹣2,解出该方程,取 a>1 的值便可得出实数 a 的值. 【解答】解:f(x)在 R 上为单调函数,且 f(x)在[0,+∞)上单调递增; ∴f(x)在(﹣∞,0)上单调递增; ∴a>1,且 2?02=a0﹣1; 又 f(a)=2a2=5a﹣2; 解得 a=2,或 (舍去) ; ∴实数 a=2. 故答案为:2.

14.已知 x,y 满足

若 z=x+y 的最大值为 ,则常数 m=

2 .

【考点】简单线性规划. 【分析】作出可行域,平移直线 y=﹣x 分类讨论可得 m 的方程,解方程可得.

【解答】解:作出

所对应的可行域(如图△ABC) ,

变形目标函数可得 y=﹣x+z,平移直线 y=﹣x 可知,

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若当直线经过点 A( z 取最大值,故 若当直线经过点 B( z 取最大值,故 故答案为:2 + +



)时直线截距最大,

= ,解得 m= (与题意不符,舍去) ; , )时直线截距最大,

= ,解得 m=2

15.设 f(x)与 g(x)是定义在区间 M 上的两个函数,若? x0∈M,使得|f(x0)﹣g(x0) |≤1,则称 f(x)与 g(x)是 M 上的“亲近函数”,M 称为“亲近区间”;若? x∈M,都有|f (x)﹣g(x)|>1,则称 f(x)与 g(x)是 M 上的“疏远函数”,M 称为“疏远区间”.给出 下列命题: ① 是(﹣∞,+∞)上的“亲近函数”;

②f(x)=x2﹣3x+4 与 g(x)=2x﹣3 的一个“疏远区间”可以是[2,3]; ③“ ”是“ 与 g(x)=x2+a+e2(e 是自然对数的底数)是[1,+∞)

上的‘疏远函数’”的充分条件. 其中所有真命题的序号为 ①③ . 【考点】函数的值;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】①? x∈R,|f(x)﹣g(x)|= 出结论. ②? x∈[2,3],则|f(x)﹣g(x)|= 出结论. ≤ =1,即可判断 =|1﹣ |= ≤1,即可判断

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③令 u(x)=

,v(x)=x2﹣2ex+e2+a.利用导数研究函数 u(x)的单调性极值与最值

可得:函数 u(x)取得最大值,u(e)= .对于函数 v(x) ,v(x)=(x﹣e)2+a≥a,利 用|f(x)﹣g(x)|=|u(x)﹣v(x)|≥|a﹣ |,即可得出判断出结论. 【解答】解:①? x∈R,|f(x)﹣g(x)|= ∴f(x)与 g(x)是 R 上的“亲近函数”,是真命题. ②? x∈[2,3],则|f(x)﹣g(x)|=|x2﹣3x+4﹣(2x﹣3)|= =1, ∴f(x)=x2﹣3x+4 与 g(x)=2x﹣3 的是[2,3]的上的“亲近函数”,而[2,3]不是 f(x)与 g(x)的一个“疏远区间”,是假命题. ③令 u(x)= ,v(x)=x2﹣2ex+e2+a. ≤ =|1﹣ |= ≤1,

对于函数 u(x) (x>0) ,u′(x)=

,可知:x>e 时,u′(x)<0,此时函数 u(x)

单调递减;0<x<e 时,u′(x)>0,此时函数 u(x)单调递增. ∴当 x=e 时,函数 u(x)取得最大值,u(e)= . 对于函数 v(x) ,v(x)=(x﹣e)2+a≥a, ∴|f(x)﹣g(x)|=|u(x)﹣v(x)|≥|a﹣ |, 当 ∴“ 时,|f(x)﹣g(x)|≥|a﹣ |>1+ ”是“ >1,

与 g(x)=x2+a+e2(e 是自然对数的底数)是[1,+∞)

上的‘疏远函数’”的充分条件,是真命题. 综上可得:真命题为 ①③. 故答案为:①③. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.已知函数 =f(x) 的图象与直线 y=1 的两个相邻交点的距离为 π. (I)求 ω 的值; (Ⅱ)函数 f(x)的图象先向左平移 个单位,再将所有点的横坐标扩大到原来的二倍,

得到 g(x)的图象,试求函数 y=g(x) (x∈[0,π])的最大值,最小值. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
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【分析】 (I)首先,借助于两角和与差的正弦、余弦公式化简,然后,借助于周期公式,即 可确定 ω 的值. (Ⅱ) 利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得 g(x)=sin(x+ ∈[ , π]得 x+ ) , 由 x∈[0,

],利用正弦函数的图象即可解得函数 y=g(x)在 x∈[0,π]上的最大值及最

小值. 【解答】解: (I)∵

=2sin(ωx﹣ =2sin(ωx﹣ =( =

)cos(ωx﹣ )cosωx+

+

)+

sinωx﹣cosωx)cosωx+ sin2ωx﹣ ) , +

=sin(2ωx﹣

∵f(x)的图象与直线 y=1 的两个相邻交点的距离为 π. ∴ =π,解得:ω=1. ) , )﹣ ]=sin

(Ⅱ)由(I)可得:f(x)=sin(2x﹣ 函数 f(x)的图象先向左平移 (2x+ ) ,

个单位,可得函数解析式为:y=sin[2(x+

再将所有点的横坐标扩大到原来的二倍,得到函数 g(x)=sin(x+ ∵x∈[0,π], ∴x+ ∈[ , ],

) ,

∴g(x)=sin(x+ 为﹣ .

)∈[﹣ ,1],故函数 y=g(x) (x∈[0,π])的最大值为 1,最小值

17. AB=BC=2, 如图所示, 正方形 BCDE 所在的平面与平面 ABC 互相垂直, 其中∠ABC=120°, F,G 分别为 CE,AB 的中点. (Ⅰ)求证:FG∥平面 ADE; (Ⅱ)求二面角 B﹣AC﹣E 的余弦值.

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【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ)取 BE 中点 H,连结 HF、HG,则 HF∥BC,HG∥AE,从而平面 GHF∥平 AED 面 ,由此能证明 FG∥平面 ADE. (Ⅱ)以 B 为原点,在平面 ABC 中过 B 作 BC 的垂线为 x 轴,BC 为 y 轴,BE 为 z 轴,建 立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角 B﹣AC﹣E 的余弦值. 【解答】证明: (Ⅰ)取 BE 中点 H,连结 HF、HG, ∵F,G 分别为 CE,AB 的中点, ∴HF∥BC,HG∥AE, ∵GH∩HF=H,AE∩DE=E,GH、HF? 平面 GHF,AE、DE? 平面 AED, ∴平面 GHF∥平面 AED, ∵FG? 平面 GHF,∴FG∥平面 ADE. 解: (Ⅱ)∵正方形 BCDE 所在的平面与平面 ABC 互相垂直,∠ABC=120°,AB=BC=2, ∴以 B 为原点,在平面 ABC 中过 B 作 BC 的垂线为 x 轴,BC 为 y 轴,BE 为 z 轴,建立空 间直角坐标系, A( ,﹣1,0) ,C(0,2,0) ,E(0,0,2) , =( ,﹣3,0) , =(0,﹣2,2) , 设平面 CAE 的法向量 =(x,y,z) , 则 ,取 x= ,得 =( ,1,1) ,

又平面 ABC 的法向量 =(0,0,1) , 设二面角 B﹣AC﹣E 的平面角为 θ, 则 cosθ= = = .

∴二面角 B﹣AC﹣E 的余弦值为



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18.已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 (其中 n,k∈N*) ,



,求数列{bn}的前 n 项

和 Tn(n≥3) . 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (Ⅰ)结合公式 即可; (Ⅱ)分类讨论求 bn 的值,从而利用拆项求和法求其前 n 项和. 【解答】解: (Ⅰ)∵ ∴4a1=(a1+1)2, ∴a1=1, 当 n≥2 时,4Sn﹣1=(an﹣1+1)2, 故 4an=(an+1)2﹣(an﹣1+1)2, 故(an﹣1)2=(an﹣1+1)2, 故 an﹣1=an﹣1+1,或 an﹣1=﹣an﹣1﹣1, 故 an=an﹣1+2,或 an=﹣an﹣1(舍去) , 故数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列, 故 an=2n﹣1; (Ⅱ)∵ , , , ,分 n=1 与 n>1 讨论,从而求通项公式

∴b1=f(6)=f(3)=a3=5, b2=f(8)=f(4)=f(2)=f(1)=a1=1, 当 n≥3 时,

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=f(2n﹣1+2) =f(2n﹣2+1)=2(2n﹣2+1)﹣1=2n﹣1+1, 故当 n≥3 时, Tn=5+1+(4+1)+(8+1)+…+(2n﹣1+1) =5+n﹣1+4+8+…+2n﹣1 =5+n﹣1+ =n+2n. 19.中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作,获得了安哥拉深海油田区块的开采权,集 团在某些区块随机初步勘探了部分口井,取得了地质资料.进入全面勘探时期后,集团按网 络点来布置井位进行全面勘探. 由于勘探一口井的费用很高, 如果新设计的井位与原有井位 重合或接近,便利用旧井的地质资料,不必打这口新井.以节约勘探费用.若口井勘探初期 数据资料见如表: 1 2 3 4 5 6 井号 I 坐标(x,y) (km) (2,30) (4,40) (5,60) (6,50) (8,70) (1,y) 2 4 5 6 8 10 钻探深度(km) 40 70 110 90 160 205 出油量(L) (Ⅰ)1~6 号旧井位置线性分布,借助前 5 组数据求得回归直线方程为 y=6.5x+a,求 a,并 估计 y 的预报值; (Ⅱ)现准备勘探新井 7(1,25) ,若通过 1、3、5、7 号井计算出的 的值与(I)中 b,

a 的值差不超过 10%,则使用位置最迫近的已有旧井 6(1,y) ,否则在新位置打开,请判断 可否使用旧井?





(Ⅲ)设口井出油量与勘探深度的比值 k 不低于 20 的勘探并称为优质井,那么在原有 6 口 井中任意勘探 4 口井,求勘探优质井数 X 的分布列与数学期望. 【考点】线性回归方程;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (Ⅰ)利用前 5 组数据得到 , ,由回归直线方程必过平衡点( , ) ,求 a,并 估计 y 的预报值. (Ⅱ)利用 ≈5%, ≈8%,均不超过 10%,由此能求出结果.

(Ⅲ)由题意勘察优质井数 X 的可能取值为 2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列和 EX. 【解答】解: (Ⅰ)利用前 5 组数据得到 = (2+4+5+6+8)=5, =50, ∵y=6.5x+a, ∴a=50﹣6.5×5=17.5,
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= (30+40+60+50+70)

∴回归直线方程为 y=6.5x+17.5, 当 x=1 时,y=6.5+17.5=24, ∴y 的预报值为 24. (Ⅱ)∵ =4, =46.25, =94, =945,

∴b=

≈6.83,

∴a=46.25﹣6.83×4=18.93, 即 b=6.83,a=18.93,b=6.85,a=17.5, ≈5%, ≈8%,均不超过

10%, ∴使用位置最接近的已有旧井 6(1,24) . (Ⅲ)由题意,1、3、5、6 这 4 口井是优质井,2,4 这两口井是非优质井, ∴勘察优质井数 X 的可能取值为 2,3,4, P(X=2)= = ,P(X=3)= = ,P(X=4)= = ,

∴X 的分布列为: X P EX=2× +3× +4×

2

3

4

= .

20.已知椭圆 Γ:

的离心率为

,若 Γ 与圆 E:

=1

相交于 M,N 两点,且圆 E 在 Γ 内的弧长为 π. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)过 Γ 的中心作两条直线 AC,BD 交 Γ 于 A,C 和 B,D 四点,设直线 AC 的斜率为 k1, BD 的斜率为 k2,且 k1k2= (1)求直线 AB 的斜率; (2)求四边形 ABCD 面积的最大值. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)推导出 M(1, ) ,N(1,﹣ ) ,由此利用待定系数法能求出 a=2,b=1.

(Ⅱ) (1)由(Ⅰ)得椭圆方程为

=1,设直线 AB 方程为 y=kx+m,代入椭圆方程,

得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件能求出 k.

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(2)利用弦长公式求出|AB|,利用点到直线的距离公式求出 O 到直线 AB 的距离,由此能 求出四边形 ABCD 面积的最大值. 【解答】解: (Ⅰ)∵椭圆 Γ: 的离心率为 ,

Γ 与圆 E: ∴该弧所对的圆心角为 ∴M(1,

=1 相交于 M,N 两点,且圆 E 在 Γ 内的弧长为 π, ,∴圆心 E 在该弧的右方, ) ,

) ,N(1,﹣



,解得 a=2,b=1.

(Ⅱ) (1)由(Ⅰ)得椭圆方程为

=1,

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 方程为 y=kx+m, 联立 ,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,

△=(8km)2﹣4(1+4k2) (4m2﹣4)=16(1+4k2﹣m2)>0, , ,

y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=

=



∵k1k2= ,∴ ∴4k2=1,解得 k=

,即 4y1y2=x1x2, .

(2)|AB|=

?

=

?



O 到直线 AB 的距离 d= S 平行四边形 ABCD=4S△ ABO =2|AB|d=2 ?



?

=4|m|

≤4,

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当且仅当 m2=1,面积有最大值为 4. 21.已知函数 f(x)=xlnx+a,g(x)= x2+ax,其中 a∈R. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与曲线 y=g(x)也相切,求 a 的值; (Ⅱ)? x>1,f(x)+ <g(x)恒成立,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (Ⅰ)求出 f(x)的导数,计算 f(1) ,f′(1) ,代入切线方程即可; (Ⅱ)问题转 =xlnx+a+ ﹣ x2﹣ax, 化为 xlnx+a+ ﹣ x2﹣ax<0 在 (1, +∞) 恒成立, 令h (x) (x>1) , 求出 h(x)的导数,通过讨论 a 的范围,确定函数的单调性,求出 a 的范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)f′(x)=lnx+1, f(1)=a,f′(1)=1, ∴f(x)在(1,f(1) )处的切线方程是: y﹣a=(x﹣1) ,整理得:x﹣y+a﹣1=0;



得:

x2+(a﹣1)x﹣a+1=0, ∴△=(a﹣1)2﹣4? (﹣a+1)=0, 解得:a=±1; (Ⅱ)? x>1,f(x)+ <g(x)恒成立, 即 xlnx+a+ ﹣ x2﹣ax<0 在(1,+∞)恒成立, 令 h(x)=xlnx+a+ ﹣ x2﹣ax, (x>1) , h′(x)=lnx﹣x+1﹣a,h″(x)= ﹣1, ∴h′(x)在(1,+∞)递减,且 h′(1)=﹣a, ①a<0 时,存在 x0∈(1,+∞) ,使得 h′(x0)=0, 此时 h′(x)在(1,x0)上恒大于 0, ∵h(1)=0, ∴h(x)在(1,x0)上恒大于 h(1)不合题意; ②a>0 时,h′(x)恒小于 0,h(x)<h(1)=0 成立; ③a=0 时,同②,h(x)在(1,+∞)递减, ∴h(x)<h(1)=0, 综上:a≥0.

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2016 年 7 月 30 日

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