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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 计时双基练56 双曲线 理 北师大版


计时双基练五十六
x2 y2

双曲线
x2 y2

A 组 基础必做 1.若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 - =1 与曲线 - =1 的( 25 9-k 25-k 9 A.离心率相等 C.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 D.焦距相等 )

解析 由 0<k<9, 易知两

曲线均为双曲线且焦点都在 x 轴上, 由 25+9-k= 25-k+9, 得两双曲线的焦距相等。 答案 D

x2 y2 2.(2016?河北省高三年级三市第二次联考)已知双曲线 - 2=1(b>0)的离心率等于 4 b
3 b,则该双曲线的焦距为( 3 A.2 5 C.6 ) B.2 6 D.8

c 3 2 2 解析 设双曲线的焦距为 2c,由已知得 = b, 又 c =4+b , 解得 c=4,则焦距为 8。 2 3
答案 D 3. (2015?四川卷)过双曲线 x - =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线, 交该双曲线的两 3 条渐近线于 A,B 两点,则|AB|=( A. 4 3 3 ) B.2 3 D.4 3
2 2

y2

C.6

解析 双曲线 x - =1 的两条渐近线方程为 y=± 3x,右焦点为 F(2,0)如图所示。 3

y2

根据题意,由?

?y= 3x, ?x=2,

得 A(2,2 3)。

同理可得 B(2,-2 3)。 所以|AB|=4 3,故选 D。
1

答案 D 4.已知双曲线 2- 2=1 与直线 y=2x 有交点,则双曲线离心率的取值范围为( A.(1, 5) C.( 5,+∞) 解析 B.(1, 5] D.[ 5,+∞)

x2 y2 a b

)

∵ 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 y = x , 则 由 题 意 得 >2 , ∴ e = =

b a

b a

c a

1+? ? > 1+4= 5。 a 答案 C 5.过双曲线 C: 2- 2=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于点 A,若 以 C 的右焦点为圆心,半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为 ( ) A. - =1 4 12 C. - =1 8 8 解析 设双曲线的右顶点为 B,

?b?2 ? ?

x2 y2 a b

x2

y2

B. - =1 7 9 D. - =1 12 4

x2 y2 x2

x2 y2

y2

则 B(a,0)。 不妨取渐近线 y= x,则 A 点的坐标为(a,b), 从而可知|OA|=c。 ∵由已知可得|OF|=|AF|=c=4, ∴△OAF 的边长是 c 的等边三角形。 又 AB⊥OF,∴|OB|=a=2,|AB|=b=2 3。 故所求的双曲线方程为 - =1。 4 12 答案 A 6.(2016?武汉模拟)P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦点,双曲线

b a

x2

y2

x2 y2 a b

2

5 的离心率是 ,且∠F1PF2=90°,若△F1PF2 的面积是 9,则 a+b 的值等于( 4 A.5 C.7 B.6 D.8

)

c 5 2 2 解析 因为 e= = ,所以可设 a=4k,b=3k,c=5k,其中 k>0,由|PF1| +|PF2| = a 4
100k , 1 2 2 2 |PF1|?|PF2|=9,(|PF1|-|PF2|) =100k -36=64k ,解得 k=1 或 k=-1(舍去), 2 所以 a+b=4k+3k=7。故选 C。 答案 C 7 .(2015?北京卷 ) 已知双曲线 2 - y = 1(a>0) 的一条渐近线为 3 x + y = 0 ,则 a = ________。
2

x2 a

2

x2 2 解析 ∵双曲线 2-y =1 的渐近线方程为 a x x y=± ,即 y± =0。 a a
1 3 又 a>0,∴ = 3,∴a= 。 a 3 答案 3 3

x2 y2 8.(2015?山东卷)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线 a b
与抛物线 C2:x =2py(p>0)交于点 O,A,B。若△OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为 ________。
2

b ? ?y= x, b 解析 双曲线的渐近线为 y=± x。由? a a ? ?x2=2py,

?2bp,2b2p?。 得 A? a ? ? a ?

2

b ? ?y=- x, a 由? 2 ? ?x =2py,

? 2bp 2b p? 得 B?- , 2 ?。 a ? ? a

2

3

∵F?0, ?为△OAB 的垂心,∴kAF?kOB=-1。 ? 2? 2b p p - a2 2 ? b? 即 ??- ?=-1, 2bp ? a? -0
2

?

p?

a

b 5 解得 2= , a 4 c2 9 3 ∴ 2= ,即可得 e= 。 a 4 2
答案 3 2
2 2

2

9. (2015?江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x -y =1 右支上的一个动点。 若点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为________。 解析 直线 x-y+1=0 与双曲线的渐近线 y=x 平行,且两平行线间的距离为 2 。 2

由图形知,双曲线右支上的动点 P 到直线 x-y+1=0 的距离的最小值无限趋近于 要使距离 d 大于 c 恒成立,只需 c≤ 答案 2 2 2 2 即可,故 c 的最大值为 。 2 2

2 , 2

10. 已知双曲线的中心在原点, 焦点 F1, F2 在坐标轴上, 离心率为 2, 且过点(4, - 10)。 (1)求双曲线的方程; → → (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1?MF2=0; (3)在(2)的条件下,求△F1MF2 的面积。 解 (1)∵e= 2,
2 2

∴可设双曲线方程为 x -y =λ (λ ≠0)。 ∵过点 P(4,- 10),∴16-10=λ ,即 λ =6。 ∴双曲线方程为 x -y =6。即 - =1。 6 6
2 2

x2 y2

4

(2)证明:由(1)可知,双曲线中 a=b= 6, ∴c=2 3,∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), ∴kMF1= ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3

m

m

kMF1?kMF2=

=- 。 9-12 3
2 2

m2

m2

∵点 M(3,m)在双曲线上,∴9-m =6,m =3。 故 kMF1?kMF2=-1,∴MF1⊥MF2。 → → ∴MF1?MF2=0。 (3)△F1MF2 的底|F1F2|=4 3,△F1MF2 的边 F1F2 上的高 h=|m|= 3, 1 ∴S△F1MF2= ?|F1F2|?|m|=6。 2 11.设 A,B 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为 4 3, 焦点到渐近线的距离为 3。 (1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y= 3 x-2 与双曲线的右支交于 M, N 两点, 且在双曲线的右支上存在点 D, 3

x2 y2 a b

→ → → 使OM+ON=tOD,求 t 的值及点 D 的坐标。 解 (1)由题意知 a=2 3,

又∵一条渐近线为 y= x,即 bx-ay=0。 ∴由焦点到渐近线的距离为 3,得 ∴b =3,∴双曲线的方程为
2

b a

|bc|

b2+a2

= 3。

- =1。 12 3

x2

y2

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则 x1+x2=tx0,

y1+y2=ty0。
3 x y 将直线方程 y= x-2 代入双曲线方程 - =1 得 3 12 3
2 2

x2-16 3x+84=0,
则 x1+x2=16 3,y1+y2= 3 (x1+x2)-4=12。 3

5

x 4 3 ? ?y = 3 , ∴? x y ? ?12- 3 =1。
0 0 2 0 2 0

∴?

?x0=4 3, ?y0=3。

∴t=4,点 D 的坐标为(4 3,3)。 B 组 培优演练 1.(2015?湖北卷)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时增 加 m(m>0)个单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2,则( A.对任意的 a,b,e1>e2 B.当 a>b 时,e1>e2;当 a<b 时,e1<e2 C.对任意的 a,b,e1<e2 D.当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2 解析 由条件知 e1= 2=1+ 2,e2=1+?
2 2

)

c2 a

b2 a

?b+m?2, ? ?a+m?

当 a>b 时, 当 a<b 时,

b+m b 2 2 > ,∴e1<e2。∴e1<e2。 a+m a b+m b 2 2 < ,∴e1>e2。∴e1>e2。 a+m a

∴当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2。 答案 D

x2 y2 2.(2015?重庆卷)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右顶点为 A,过 F 作 a b AF 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线,两垂线交于点 D。若 D
到直线 BC 的距离小于 a+ a +b ,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( A.(-1,0)∪(0,1) C.(- 2,0)∪(0, 3) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,- 3)∪( 2,+∞)
2 2

)

解析 设双曲线半焦距为 c,则 F(c,0),A(a,0),不妨设点 B 在点 F 的上方,点 C 在点
2 b2? ? b? ? F 的下方,则 B?c, ?,C?c,- ?。 a? ? a? ?

由于 kAC=

? b? 0-?- ? ? a?
a-c

2



b2 a?a-c? ,且 AC⊥BD,则 kBD=- , a?a-c? b2 b2 a a?a-c? (x-c), b2

于是直线 BD 的方程为 y- =-

由双曲线的对称性知 AC 的垂线 BD 与 AB 的垂线 CD 关于 x 轴对称, 所以两垂线的交点 D

6

在 x 轴上,于是 xD=?- ???- +c= a a?a-c?? 从而 D 到直线 BC 的距离为 c-xD=-
2

2 ? b? ? ? ? ?

b2

? ?

b4 +c, a ?a-c?
2

b4 , a ?a-c?

b4 2 2 由已知得- 2 <a+ a +b , a ?a-c?
即-

b4 <a+c, a2?a-c?
4 2 4 2 2

所以 b <a (c-a)(c+a),即 b <a b , 2<1, 从而 0< <1。而双曲线渐近线斜率 k=± , 所以 k∈(-1,0)∪(0,1)。 答案 A

b2 a

b a

b a

x y → → → 3. (2016?苏州模拟)已知 P 为双曲线 C: - =1 上的点, 点 M 满足|OM|=1, 且OM?PM 9 16
→ =0,则当|PM|取得最小值时的点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为________。 → 解析 因为点 M 满足|OM|=1,所以点 M 的轨迹是以原点为圆心,1 为半径的单位圆。 → → 不妨设 P 为双曲线右支上的任一点,因为OM?PM=0,所以 OM⊥PM,所以△OPM 为直角三角 形,且∠OMP=90°,|OP|为该直角三角形的斜边长;因为 P 为双曲线 C: - =1 上的点, 9 16 → 在 Rt△OPM 中,要使直角边|PM|最小,则只需|OP|最小,因为当点 P 为双曲线 C 的右支与 x 12 轴的交点时,|OP|最小,此时 P(3,0),所以此时点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为 。 5 答案 12 5

2

2

x2

y2

4. (2015?甘肃兰州诊断)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0, b>0)的一条渐近线为 y= 3x,

x2 y2 a b

a 3 右焦点 F 到直线 x= 的距离为 。 c 2
(1)求双曲线 C 的方程; (2)斜率为 1 且在 y 轴上的截距大于零的直线 l 与双曲线 C 相交于 B, D 两点, 已知 A(1,0), → → 若DF?BF=1,证明:过 A,B,D 三点的圆与 x 轴相切。

2

b a2 3 解 (1)依题意有 = 3,c- = , a c 2
∵a +b =c ,∴c=2a。
2 2 2

7

∴a=1,c=2,∴b =3。 ∴双曲线 C 的方程为 x - =1。 3 (2)证明:设直线 l 的方程为 y=x+m(m>0),
2

2

y2

B(x1,x1+m),D(x2,x2+m),BD 的中点为 M, y=x+m, ? ? 由? 2 y2 x - =1, ? 3 ?

得 2x -2mx-m -3=0,

2

2

∴x1+x2=m,x1x2=-

m2+3
2



→ → ∵DF?BF=1,即(2-x1)(2-x2)+(x1+m)(x2+m)=1,∴m=0(舍)或 m=2。 7 x1+x2 ∴x1+x2=2,x1x2=- ,M 点的横坐标为 =1。 2 2 → → ∵DA?BA=(1-x1)(1-x2)+(x1+2)(x2+2)=5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0, ∴AD⊥AB。 ∴过 A,B,D 三点的圆以点 M 为圆心,BD 为直径。 ∵M 点的横坐标为 1,∴MA⊥x 轴。 1 ∵|MA|= |BD|, 2 ∴过 A,B,D 三点的圆与 x 轴相切。

8


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