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3-1-1 变化率问题与导数的概念


基础巩固强化 一、选择题 1.在函数变化率的定义中,自变量的增量 Δx 满足( A.Δx<0 C.Δx=0 [答案] D [解析] 自变量的增量 Δx 可正、可负,但不可为 0. 2 2.已知函数 y=x,当 x 由 2 变为 1.5 时,函数的增量为( A.1 1 C.3 [答案] C 2 2 1 [解析] Δy=1.5-2=3. Δy 3 .函数 f(x) = 2x2 - 1 在区间 (1,1 + Δx) 上的平均变化率 Δx 等于 ( ) A.4 C.4+2(Δx)2 [答案] B [解析] 因为 Δy=[2(1+Δx)2-1]-(2×12-1)=4Δ+2(Δx)2,所 B.4+2Δx D.4x B.2 3 D.2 ) B.Δx>0 D.Δx≠0 ) Δy 以Δx=4+2Δx,故选 B. 4.已知函数 y=f(x),下列说法错误的是( A.Δy=f(x0+Δx)-f(x0)叫函数增量 ) Δy f?x0+Δx?-f?x0? B.Δx= 叫函数在[x0,x0+Δx]上的平均变化率 Δx C.f(x)在点 x0 处的导数记为 y′ D.f(x)在点 x0 处的导数记为 f′(x0) [答案] C [解析] f(x)在点 x0 处的导数应记为 y′|x=x0. 5.质点 M 的运动规律为 s=4t+4t2,则质点 M 在 t=t0 时的速度 为( ) A.4+4t0 C.8t0+4 [答案] C [解析] Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=4Δt2+4Δt+8t0Δt, Δs Δt =4Δt+4+8t0, Δs lim Δt = lim (4Δt+4+8t0)=4+8t0. Δt→0 B.0 D.4t0+4t2 0 Δt→0 1 6.函数 y=x+x在 x=1 处的导数是( A.2 C.1 [答案] D [解析] Δy=(Δx+1)+ Δy 1 = 1 - , Δx Δx+1 ? 1 ? Δy lim Δx= lim ?1-Δx+1?=1-1=0, ? ? Δx→0 ) 5 B.2 D.0 -Δx 1 -1-1=Δx+ , Δx+1 Δx+1 Δx→0 1 ∴函数 y=x+x 在 x=1 处的导数为 0. 二、填空题 7.已知函数 f(x)=2x-3,则 f′(5)=________. [答案] 2 [解析] ∵Δy=f(5+Δx)-f(5) =[2(5+Δx)-3]-(2×5-3)=2Δx, Δy ∴Δx=2, Δy ∴f′(5)= lim Δx=2. Δx→0 8.若 f′(x0)=2,则lim k→0 f?x0-k?-f?x0? 的值为________. 2k [答案] -1 [解析] lim k→0 f?x0-k?-f?x0? 2k f?x0-k?-f?x0? 1 =-2lim -k k→0 1 1 =-2f′(x0)=-2×2=-1. 9.一球沿斜面自由滚下,其运动方程是 S=t2(S 的单位:m,t 的单位:s),则小球在 t=5 时的瞬时速度为______. [答案] 10m/s [解析] 10(m/s). 三、解答题 v = S′|t = 5 = lim Δt→0 S?5+Δt?-S?5? = lim (10 + Δt) = Δt Δt→0 10. 一作直线运动的物体, 其位移 s 与时间 t 的关系是 s=3t-t2, 求此物体在 t=2 时的瞬时速度. [解析] 由于 Δs=3(2+Δt)-(2+Δt)2-(3×2-22) =3Δt-4Δt-Δt2=-Δt-Δt2, 2 Δs -Δt

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