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高一数学竞赛辅导材料


福建省高一数学竞赛辅导材料(平几部份)
一、圆的有关知识

1、圆是到定点的距离等于定长的点的集合;圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合;
圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合.

2、到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆. 3、不在同一直线上的三点确定一个圆.
4、圆是以圆心

为对称中心的中心对称图形.以直径为对称轴的轴对称图形.

5、半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
6、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.同弧所对的圆周角相等.

7、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等. 8、弦切角概念:顶点在圆上,一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角. 9、弦切角定理:弦切角等于它所夹的孤所对的圆周角.它是圆中证明角相等的重要定理之一. 10、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论:①平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③圆的两条平行弦所夹的弧相等 ④平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

11、相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等 12、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段
长的比例中项.

13、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平
分两条切线的夹角.

14、切线的判定和性质:①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;
②圆的切线垂直于经过切点的半径; ③经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点; ④经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

15、圆的内接四边形的对角互补;圆的外切四边形的两组对边的和相等.
16、圆的周长公式:C=2π r=π d; 圆的面积公式:S 圆=π r?

n? r ?| ? | r ; 弧长计算公式:L= 180

n? r 2 1 ? lr 扇形面积公式:S 扇形= 360 2
A

二、例题剖析 2006.15. 如图所示, O 为△ABC 的外接圆, ,AT 分别为中线和角平分线, 圆 AM 过点 B 和点 C 的圆 O 的切线相交于点 P, 连接 AP, BC 和圆 O 分别相交于 与 点 D、E。求证:点 T 是三角形 AME 的内心.

O B C

M

T E

D

P

2007.15. 如图,在四边形 OBAC 中 BO ? CO ,AB=AC=4,求四边形 OBAC 面积的最大值. 解法一:四个同样的四边形拼成一个八边形,当它是正八边形时面积最大为 8 ? 8 2 解法二: S max ?
2

1 l 1 1 l ? ? ? 4 ? 4sin ? ? l 2 ? 8sin ? 2 2 2 4

O

C

又 l ? 16 ? 16 ? 2 ? 4 ? 4cos ?

? Smax ? 8 ? 8sin ? ? 8cos ? =8+8 2 sin(? ? ) 4 ? 8?8 2

?

B

A

2007.16.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是弧 AB 的中点,在 AB 及其延长线上分别取点 D、E,使 BD=BE, 直线 CD、CE 分别交圆 O 于点 F、G.

AF AG ? (1)求证: ; DF EG
(2)在直径 AB 上是否存在点 D,使得 FG 与 AB 垂直. 若能,请写出作法;若不能,请说明理由. 提示: (1)证明△ECB∽△EAG 及△BCD∽△FAD (2)反证法,推得 B 在 FG 上是不可能能的。

C

G E A O D B

F

2008.15、如图,在△ABC 中,P、Q 分别是边 AB、AC 上的点,且使 得∠APC =∠AQB。分别过点 P、Q 作 AB、AC 的垂线,两垂线交于 E 点,且 PE、QE 分别与 BQ、CP 交于 S、R。 (1)证明:AE⊥BC; (2)证明:SR // BC。 证明: (1)△APC∽△AQB→AP:AQ=AC:AB→△APQ∽△ACB→∠APQ=∠ACB ∵A、P、E、Q 四点共圆∴∠APQ=∠AEQ,故∠ACB=∠AEQ (2)△POS∽△QOR、△POB∽△QOC→OS:OB=OR:OC→SR∥BC

2009.13

2011.

证明:连接 IA、AC,则 IA、IC 为∠BAC、∠ACB 的平分线, ∵AD=AC,∴△AID≌△AI,∠ADI=∠ACI 又∵AE 为切线∴∠CAE=∠ABC ∴∠ACB+∠BAE=180 , 。 。 ∴2∠ACI+180 -∠ADI-∠AED=180 , ∴∠ADI=∠AAED ∴AE=AD


2012.16


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