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对一道联考题的解法探究


?

辅 教导学 ?  

数 学通 讯 —— 2 O 1 2年 第 4期 ( 上半 月)  

2 7  

对 一 道 联 考题 的解 法 探 究 
聂文喜  
( 湖 北 省 广 水 市 第 一 中学 , 4 3 2 7 0 0 )  

题目   ( 湖

北省 部分 重点 中学 2 0 1 2届高 三第 


次 联考 理科第 8题 ) 设 A为圆X 。 +Y 。 一 8上动 
一  

令 £ 一 1 2 —8   o s  , 则 c o s LO AB 一  
4√ 2 t  

点, B( 2 , 0 ) , 0为原 点 , 那 么  O AB 的最大值 为 
(   )  

(   +  ≥  × 2   譬 ,  
当且仅 当 t =4 时等号成 立 , 故  O AB的最 大 
解法 4 ( 正弦定 理 )   在 △O A B 中, 由正 弦定 

( A) 9 0 。 .  

( B) 6 0 。 .   ( C) 4 5 。 .   ( D) 3 0 。 .  

此 题作 为 一 道选 择题 , 题 目的表述 简 洁 明 了 ,  

值为 4 5 。 .  

初 看很 平淡 , 但 细 细 品味 , 却 感 到 韵 味 十足 , 本 题  求  O AB 的关 键是 求  O AB 的某种 三角 函数 值 
及 用变 量来 表 示 这 个 函数 值 , 用 什 么 函数 ( 正弦、  

理得 
. 

=五   O B   ,
2   5  4 2.  

. 

余 弦、 正切 ) , 用 什么 变量 ( 边长 、 角度、 坐标 ) , 这 正 
是值得 我们 思考 的问题.  
思路 一 、 合 情 推 理 

一 五 历   一 面 
?

’  



. s i n  ̄ O A B :  ̄ / 2 " s i n  ̄ O B A . ≤ 5 4   ,  

解法 1   当A B   j - X轴 时 , / k O AB 为等腰 直角 

三角 形 ,  O AB 一 4 5 。 , 当A在O B 的 中垂线上 时 ,  
点 A 的坐标 为 A( 1 ,   ) , 易知  O AB < 4 5 。 , 故 猜  想正确 结果 为 ( C ) .  
思路 二 、 边 元 变 量 

故  O AB 的最大 值为 4 5 。 .  
解法5 ( 到 角公 式 )   设 A( Z 4  ̄ c o s  , 2 4  ̄ s i n   ,  

不妨设 点 A在 x轴上 方 , 则 0∈ ( O ,  ) ,  
t a n   B 一  一  s i n   0
,  

解法 2 ( 余 弦定理 )   设A B—t , 则t ∈[ 2  


2 , 2   +2 ] , 在 AO AB 中 , 由余 弦定 理得 


令 

一  s i n   0



则 /(  =  

‘ ( √ ‘ ‘ ‘ 2 — — 一 — — — — C — — O ’ S ’     。 。 。 一● 。    

s  一1  

。 0   LO AB 一 

一 

2?2   42?t  

一  4   42 t  

. . ? , (   ) 在 ( o , 詈 ) 上 单 调 递 增 , 在 ( 詈 , 兀 ) 上 单  
调递减, 所P . 2 E f ( o ) ]   =厂 ( 军) 一1 , 从而LO A B  
的最大值 为 4 5 。 .  
思路 四、 坐 标 变 量 

。 + ÷ ) ≥ 南× 2  一 5 4   ,  
当且 仅 当 t 一2 时等 号成立 , 故  O AB 的最 大  值为 4 5 。 .  
思路 三 、 角 度 变 量 

,  

解 法6 ( 到角公 式 )   不妨 设点 A在 轴 上方 ,  
O S   0 , 2  

解法 3 ( 余 弦定 理 )   设 A( 2  

设 A( x,  ) , 则 Y> 0 , 一2   <  < 2   ,  
t a n   B 一  一 

s i n  ) , 不妨设 点 A 在  轴 上方 , 则  ∈ ( O , 7 c ) .  
c o s LO AB 一 

一 一



2 y Y 一   8- -— 2 X 一 — 4- —x 一 — 




 
’  



8+ ( 2  

o s  一 2 )  + ( 2  

i n   。 一4  

2 ×2 √   ×√( 2   o s  。 一2 )   +( 2  s i n  。  
1 6— 8   c OS   0  

令  ( z )一 百  ̄ / 8 -X 2


则 

,  ( z)一一 

2 8  

数 学通 讯 —— 2 O 1 2年 第 4期 ( 上半月)  

? 辅 教 导学 ?  

‘ . .

, (   ) 在( 一2 5, 4 2 ) 上单调递增, 在( 2 , 2 4 5 )  
一 厂 ( 2 )一 1 ,从 而 

当且仅当  再
成立 ,  

=— 兰

上 单 调 递 减  . [ 厂 (  ) ]  
O AB 的最 大值 为 4 5 。 .  

 ̄ / 3一  

, 即X一2 时等号  

点评

t a n /O AB   再y 一 

,  

故 /O AB 的最大值 为 4 5 。 .   解法 8 ( 向量 公式 )   设 A( x,  ) , 则 一2 √ 2< 

设A   ( 一z,  ) , M( -4 , O ) , 则t a n LO AB = k m, , 利  用 数 形结 合知 , 当 MA 为 圆z   +y 。 一 8的切线 时 ,  

z< 2   , - A 6= ( - 一z , 一  ) ,   一( 2 一X , 一  ) ,  

- A - 6?   一z   +y z 一2 x 一8 —2 x ,   l - A 6 -   1 . I  育l 一   2 5? 4  
.  


忌 m, 取得最 大值 1 , 从而  O AB 的最大值 为 4 5 。 .  

= 可
, 

解法 7 ( 余 弦定理 )   设 A( x,  ) , 则 一2 √  < 

? .  ̄ / j  =石 :4   - A 6. -  

,  

z< 2   5, 4  
c o s   B 一 

?

.c0S  



 

墨 ±!  二  2 : ±   二   2 ×2   5? 4   = = _ 万盯  
二  一  二 

下 同解法 7 .  



 

4   ? ̄ / j  二石   2   ?  

( 收稿 日期 : 2 0 1 1 —1 1 —2 8 )  

2 √ 2   c   + 志  ̄ / 3 一     ≥   z   ?  
分 割 区间来 解 题 , 也 是 一 种好 方法 !  
甘志国  
( 湖 北 省 十堰 市 东 风 高 级 中 学 甘 志 国工 作 室 ,4 4 2 0 0 1 )  

高考题 1 ( 2 0 1 0 ? 福建 ? 理? 1 5 ) 已知 定义域  为( O , +。 。 ) 的 函数. , (  ) 满足: ( 1 ) 对 任意 X∈ ( O ,  
+。 。 ) , 恒有 f ( 2 x )一 2 f ( x ) 成立; ( 2 )当 z   E ( 1 ,  





当 z∈ ( 2   , 2  ] ( 忌∈ N) 时 函数 厂 (  )的解 析 

式 均 可求 出 ; 再 由条件 ( 1 ) 知 当  ∈ (  , 1 ] 时 函数 
厂 (   )的解 析 式 可 求 出 , 再 由条件 ( 1 )知 当  E   (  ,   1]时 函数 , ( z )的解 析式也 可求 出
E ( 两 1
,  

2 ]时 , - 厂 ( z )一 2 . 一  . 给 出如下 结论 :  
① 对任意 t l ' q , E   Z , 有 f ( 2   )一 0 ;  

, …



当 

② 函数 , ( z )的值 域 为[ O , +C × 3 ) ;   ③ 存在  ∈ Z, 使得 f ( 2  + 1 )一 9 ;   ④“ 函数 (  ) 在 区间 ( a, 6 ) 上单 调递减 ” 的充  要 条件是 “ 存在 k∈ Z, 使得( 口 , 6 )   ( 2   , 2 川) ” .  
其 中所 有 正 确 结 论 的 序 号 是  案: ①② ④ )   .( 答 

1] ( z   E   N ) 时 函数 ( z ) 的解 析式 均可求 

出. 所以, 对 任意 . E( O , +c o ) , 函数 , ( z ) 的解析  式 均可求 出. 进而可 判断 四个 选项 的真假 .   解  可 把 区间( O , +。 。 ) 分 割成 :  

分析 

由条 件 ( 2 )知 当 X   E( 1 , 2 3时 函数 

( o , + 。 o ) 一? u (  ,   ] u … u (   , ÷ ]  
U( 去, 1 ]U ( 1 , 2 1   U( 2 , 2 。 ]U ( 2 。 , 2 。 ]U … U  
( 2   , 2   ]I   J ….  

, (  ) 的解 析 式 已知 : 再 由条 件 ( 1 )知 当 X   E( 2 ,  

2   ] 时 函数 ( z ) 的解析 式可 求 出 , 再 由条件 ( 1 ) 知  当z   E( 2 。 , 2 。 ]时函数 厂 (  )的解 析 式 也可 求 出 ,  


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