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等差数列(教案+例题+习题) 2


一、等差数列
1、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,?,n} )
的特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 例 1.根据数列前 4 项,写出它的通项公式: (1)1,3,5,7??;

22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 52 ? 1 , , , ; 2 3 4 5 1 1 1 1 (

3) ? , ,? , 。 3*4 4 *5 1* 2 2 *3
(2) 解析: (1) an =2 n ? 1 ; (2) an =

( ?1) n (n ? 1) 2 ? 1 an = ; (3) 。 n( n ? 1) n ?1

点评: 每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系, 这对考 生的归纳推理能力有较高的要求。 如(1)已知 an ?

n (n ? N * ) ,则在数列 {an } 的最大项为__ n ? 156
2



(2)数列 {a n } 的通项为 a n ? ___;

an ,其中 a, b 均为正数,则 a n 与 an?1 的大小关系为 bn ? 1

(3)已知数列 {an } 中, an ? n 2 ? ? n ,且 {an } 是递增数列,求实数 ? 的取值范围;

2、等差数列的判断方法:定义法 an?1 ? an ? d (d为常数) an?1 ? an ? an ? an ?1 (n ? 2) 。 或
例 2.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n2,则{an}是( ) A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 答案:B; 解法一:an= ?

( n ? 1) ( n ? 1) ?S1 ?1 ? an ? ? ? 2 n ? 1 ( n ? 2) ?S n ? S n?1 (n ? 2)

∴an=2n-1(n∈N) 又 an+1-an=2 为常数,

a n ?1 2 n ? 1 ? ≠常数 an 2n ? 1

∴{an}是等差数列,但不是等比数列. 解法二: 如果一个数列的和是一个没有常数项的关于 n 的二次函数, 则这个数列一定是等差 数列。 点评:本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识,以及灵活运用递推式 an=Sn- Sn-1 的推理能力.但不要忽略 a1,解法一紧扣定义,解法二较为灵活。

练一练: {an } 是等差数列, 设 求证: bn= 以 为等差数列。

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? N * 为通项公式的数列 {bn } n

3、等差数列的通项: an ? a1 ? (n ? 1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。 n(a1 ? an ) n(n ? 1) 4、等差数列的前 n 和: Sn ? , Sn ? na1 ? d。 2 2
例 3:等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a2+a4+a15 的值是一个确定的常数,则数列{an} 中也为常数的项是( A.S7 C.S13 解析:设 a2+a4+a15=p(常数), 1 ∴3a1+18d=p,解 a7= p. 3 13×(a1+a13) 13 ∴S13= =13a7= p. 2 3 答案:C 1 例 4.等差数列{an}中,已知 a1= ,a2+a5=4,an=33,则 n 为( 3 A.48 B.49 C.50 D.51 ) ) B.S8 D.S15

1 2 1 2 解析:∵a2+a5=2a1+5d=4,则由 a1= 得 d= ,令 an=33= +(n-1)× ,可解得 n=50. 3 3 3 3 故选 C. 答案:C 如(1)等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? ; ;

(2)首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是______

例 5:设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16=________. 解析:S9=9a5=-9, ∴a5=-1,S16=8(a5+a12)=-72. 答案:-72 a11 例 6:已知数列{an}为等差数列,若 <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn>0 的 a10 n 的最大值为( )

A.11 B.19 C.20 D.21

解析:∵

a11 <-1,且 Sn 有最大值, a10

∴a10>0,a11<0,且 a10+a11<0, 19(a1+a19) ∴S19= =19·10>0, a 2 S20= 20(a1+a20) =10(a10+a11)<0. 2

所以使得 Sn>0 的 n 的最大值为 19,故选 B. 答案:B 如(1)数列 {an } 中, an ? an ?1 ? =_, n = ;
2

1 3 15 (n ? 2, n ? N * ) , an ? ,前 n 项和 Sn ? ? ,则 a1 2 2 2

(2)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n ,求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn .

5、等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?

a?b 。 2 提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 S n ,其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,

即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ? ( 公 差 为 d ); 偶 数 个 数 成 等 差 , 可 设 为 ? ,

a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(公差为 2 d )
6.等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函 数,且斜率为公差 d ;前 n 和 Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数 2 2 2

且常数项为 0. (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 , 则为常数列。 ( 3 ) 当 m ? n ? p ? q 时 , 则 有 am ? an ? a p ? aq , 特 别 地 , 当 m ? n ? 2 p 时 , 则 有

am ? an ? 2a p .
( 4 ) 若 {an } 、 {bn } 是 等 差 数 列 , 则 {kan } 、 {kan ? pbn } ( k 、 p 是 非 零 常 数 ) 、
a {a p ? nq }( p, q ? N * ) 、 n , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n , S ?也成等差数列, {a n } 成等比数列; {an } 而 若

是等比数列,且 an ? 0 ,则 {lg an } 是等差数列. 练一练: 等差数列的前 n 项和为 25, 2n 项和为 100, 前 则它的前 3n 和为 。

(5)在等差数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时, S偶-S奇 ? nd ;项数为奇数 2n ? 1 时,

S奇 ? S偶 ? a中 , S2 n ?1 ? (2n ? 1) ? a中 (这里 a中 即 an ) S奇 : S ;



? )? k k 1 ( :



练一练:项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的 中间项与项数.

( 6 ) 若 等 差 数 列 {an } 、 {bn } 的 前 n 和 分 别 为 An 、 Bn , 且

an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1 练 一 练 : 设{ a n }与 { bn }是两个 等差数列 ,它们 的前 n 项 和分别为 S n 和 Tn , 若 a Sn 3n ? 1 ,那么 n ? ___________; ? bn Tn 4n ? 3
(7)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增等差 数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。 法一: 由不等式组 ?an ? 0 ? 或 ?an ? 0 ? 确 ? ? ? ?
? ?an ?1 ? 0? ? ? a n ?1 ? 0 ?

An ? f ( n) , 则 Bn

定出前多少项为非负(或非正) ;法二:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化 为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N 。上述两种方法是运用了哪种数学思 想?(函数思想) ,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗? 练一练:等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大 值;
*

例 7. (1)设{an} (n∈N*)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则 下列结论错误的是( ) .. A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 (2)等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( A.130 B.170 C.210 D.260 解析: (1)答案:C; 由 S5<S6 得 a1+a2+a3+?+a5<a1+a2+?+a5+a6,∴a6>0, 又 S6=S7,∴a1+a2+?+a6=a1+a2+?+a6+a7,∴a7=0, 由 S7>S8,得 a8<0,而 C 选项 S9>S5,即 a6+a7+a8+a9>0 ? 2(a7+a8)>0, 由题设 a7=0,a8<0,显然 C 选项是错误的。 (2)答案:C



m(m ? 1) ? d ? 30 ?ma1 ? ? 2 解法一:由题意得方程组 ? , 2m( 2m ? 1) ?2ma ? d ? 100 1 ? ? 2
视 m 为已知数,解得 d

?

40 10(m ? 2) , a1 ? , 2 m m2

∴ S 3m

? 3ma1 ?

3ma1 (3m ? 1) 10(m ? 2) 3m(3m ? 1) 40 d ? 3m ? ? 210 。 2 m2 2 m2

解法二:设前 m 项的和为 b1,第 m+1 到 2m 项之和为 b2,第 2m+1 到 3m 项之和为 b3,则 b1,b2,b3 也成等差数列。 于是 b1=30,b2=100-30=70,公差 d=70-30=40。

∴b3=b2+d=70+40=110 ∴前 3m 项之和 S3m=b1+b2+b3=210. 解法三:取 m=1,则 a1=S1=30,a2=S2-S1=70,从而 d=a2-a1=40。 于是 a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。

等差数列课后练习
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内。

x 2 ? x1 ? y 2 ? y1 3 2 4 A. B. C.1 D. 4 3 3 2.在等差数列 ?a n ?中,公差 d =1, a 4 ? a17 =8,则 a 2 ? a 4 ? a6 ? ? ? a 20 =
1.若 a≠b,数列 a,x1,x 2 ,b 和数列 a,y1 ,y2 ,b 都是等差数列,则 A.40 B.45 C.50 D.55 3.等差数列 ?a n ?的前三项为 x ? 1, x ? 1, 2 x ? 3 ,则这个数列的通项公式为 A. an ? 2n ? 1 B. an ? 2n ? 1 C. an ? 2n ? 3 D. an ? 2n ? 5 4.在等差数列 {a n }中a10 ? 0, a11 ? 0, 且a11 ?| a10 | ,则在 Sn 中最大的负数为





( (

) )





A.S17 B.S18 C.S19 D.S20 5.已知等差数列的首项为 31,若此数列从第 16 项开始小于 1,则此数列的公差 d 的取值范 围是 ( )

15 15 , -2] C.(-2, +∞) D.(— ,-2) 7 7 6.在等差数列 {a n } 中,若 S 9 ? 18, S n ? 240 , a n ?4 ? 30 ,则 n 的值为 (
A.(-∞,-2) B.[- A.18 B17. C.16 D.15 7.等差数列 {a n } 中, a1 ? a2 ? ? ? a50 ? 200 , a51 ? a52 ? ? ? a100 ? 2700 , 则a1 等于( A.-20.5 B.-21.5
3

) )

C.-1221
2

D.-20

8.已知某数列前 n 项之和 n 为,且前 n 个偶数项的和为 n (4n ? 3) ,则前 n 个奇数项的和 为 ( ) A. ? 3n (n ? 1)
2

B. n (4n ? 3)
2

C. ? 3n

2

D.

1 3 n 2

9.一个只有有限项的等差数列,它的前 5 项的和为 34,最后 5 项的和为 146 所有项的和为 234,则它的第七项等于 ( ) A.22 B .21 C.19 D.18 10.等差数列 ?an ? 中, an am?1 ? am ? am?1 ? 0 ≠0,若 m >1 且 am?1 ? am ? am?1 ? 0 ,
2 2

S2 m?1 ? 38 ,则m的值是





A. 10 B. 19 C.20 D.38 二、填空题:请把答案填在题中横线上。 11.已知 {a n } 是等差数列,且 a 4 ? a7 ? a10 ? 57, a 4 ? a5 ? a6 ? ? ? a14 ? 77, 若a k ? 13, 则 k= . . .

A C A C ? tan ? 3 tan tan ? 2 2 2 2 13.在等差数列 {a n } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 2a10 ? a12 ?
12.在△ABC 中,A,B,C 成等差数列,则 tan
*

14. S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和, a5 ? 2, an ? 4 ? 30 (n≥5, n ? N ), S n =336,则 n

的值是

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.己知 {a n } 为等差数列, a1 ? 2, a2 ? 3 ,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数 列的数构成一个新的等差数列,求: (1) 原数列的第 12 项是新数列的第几项? (2) 新数列的第 29 项是原数列的第几项?

16.数列 ?a n ?是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负。 (1)求数列公差; (2)求前 n 项和 s n 的最大值; (3)当 s n ? 0 时,求 n 的最大值。

17.设等差数列 {a n } 的前n项的和为 S n ,且 S 4 =-62, S 6 =-75,求: (1) {a n } 的通项公式 a n 及前n项的和 S n ; (2)|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+??+|a 14 |.

18.已知数列 ?a n ?,首项 a 1 =3 且 2a n+1=S n ·S n-1 (n≥2). (1)求证:{

1 }是等差数列,并求公差; (2)求{a n }的通项公式; Sn

(3)数列{an }中是否存在自然数 k0,使得当自然数 k≥k 0 时使不等式 a k>a k+1 对任意大于 等于 k 的自然数都成立,若存在求出最小的 k 值,否则请说明理由.

一、选择题:ABCCB

DABDA

二、填空题:11.8; 12. 3 ; 13.24; 14.21. 三、解答题: 15.分析:应找到原数列的第 n 项是新数列的第几项,即找出新、旧数列的对应关系。 解:设新数列为 ?bn ?, 则b1 ? a1 ? 2, b5 ? a2 ? 3, 根据bn ? b1 ? (n ? 1)d , 有b5 ? b1 ? 4d , 即 3=2+4d,∴ d

?

1 1 n?7 ,∴ bn ? 2 ? (n ? 1) ? ? 4 4 4

(4n ? 3) ? 7 ,∴ a ? b n 4 n ?3 4 即原数列的第 n 项为新数列的第 4n-3 项. (1)当 n=12 时,4n-3=4× 12-3=45,故原数列的第 12 项为新数列的第 45 项; (2)由 4n-3=29,得 n=8,故新数列的第 29 项是原数列的第 8 项。 说明:一般地,在公差为 d 的等差数列每相邻两项之间插入 m 个数,构成一个新的等差数列,则新数 列的公差为 d . 原数列的第 n 项是新数列的第 n+(n-1)m=(m+1)n-m 项. m ?1 又 ? an ? a1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 ?
16.解: (1)?a
1

? 23 ,

a6 ? 0 , a7 ? 0 ,
?

a ? 5d ? 0 ∴ ? 1 ?
(2) s n

? a1 ? 6d ? 0

?

23 23 ?d ?? 5 6

? d 为整数,



d ? ?4 .

? 23n ?
=-2 n
2

n(n ? 1) ? (?4) =23 n ? 2n(n ? 1) 2

? 25n

=- 2(n ?

∴当 n (3) s n

? 6 时 s n 最大=78

25 2 625 ) ? 4 2

? ?2n 2 ? 25n ? 0 时,0 ? n ? 25 ,故 n 最大值为 12.
2

17.分析:通过解方程组易求得首项和公差,再求 an 及 Sn;解答②的关键在于判断项的变化趋势。 解:设等差数列首项为 a1,公差为 d,依题意得 ?4a1 ? 6d ? ?62 ? ?6a1 ? 15 d ? ?75 解得:a1=-20,d=3。

(a1 ? a n )n n(?20 ? 3n ? 23) 3 2 43 ; ? n ? n ? 2 2 2 2 ⑵? a1 ? ?20, d ? 3, ??an ?的项随着n的增大而增大
⑴ a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 23, S n ?
设ak ? 0且ak ?1 ? 0, 得3k ? 23 ? 0, 且3(k ? 1) ? 23 ? 0,? 20 23 ? k ? (k ? Z ), k ? 7, 即第7项之前均为负数 3 3

∴ | a1 | ? | a2

| ? | a3 | ? ?? | a14 |? ?(a1 ? a2 ? ? ? a7 ) ? (a8 ? a9 ? ? ? a14 )

? S14 ? 2S7 ? 147 .
18.分析:证 ? 1 ? 为等差数列,即证 1 ? 1 ? d (d 是常数) 。 ? ? S n S n ?1 ?Sn ? 解:⑴由已知当 n ?

2时
2( S n ? S n ?1 ) 1 1 1 ?1? ? ? ? (n ? 2) S n S n ?1 S n S n ?1 2 ⑵

2an ? S n ? S n ?1得 : 2( S n ? S n ?1 ) ? S n ? S n ?1 (n ? 2). ? ?{

1 1 1 1 1 }是以 ? ? 为首项, 公差d ? ? 的等差数列。 Sn S1 a1 3 2

?

1 1 1 1 5 ? 3n 6 ? ? (n ? 1)d ? ? (n ? 1)(? ) ? , ? Sn ? (n ? 2) Sn S1 3 2 6 5 ? 3n

?3 (n ? 1) 1 18 ? 从而an ? Sn ? Sn ?1 ? (n ? 2),因此an ? ? 18 2 (3n ? 5)(3n ? 8) (n ? 2) ? (3n ? 5)(3n ? 8) ?
2 5 8 ⑶ 令ak ? ak ?1 ? 0, 即(3k ? 2)(3k ? 5)(3k ? 8) ? 0,可得 ? k ? 或k ? 。故只需取k ? 3, 则对 3 3 3 大于或等于3的一切自然数总有ak ? ak ?1成立, 这样的自然数存在最小值3。


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