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湖北省宜昌市葛洲坝中学学高二数学下学期期中试题文-精


宜昌市葛洲坝中学 2015-2016 学年第二学期高二年级期中考试试卷数学 (文 科) 试 题
考试时间:2016 年 4 月 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1、命题“ ?x ? R, x2 ? 5x ? 6 ”的否定是(
2 A、 ?x ? R, x ? 5x ? 6

/>
) C、

B、 ?x ? R, x ? 5x ? 6
2

?x0 ? R, x02 ? 5x0 ? 6

D、 )

?x0 ? R, x02 ? 5x0 ? 6

2.已知 i 是虚数单位,复数 2i ? z ? ?1 ? i ? , 则 z 的共轭复数是( A、 ?1 ? i B、 1 ? i C、 ?1 ? i D、 1 ? i

3、已知两点 M1(﹣1,0,2) ,M2(0,3,﹣1) ,此两点间的距离为( ) A、 4、 B、 11 C、19 D、11 19 已知 l,m,n 是不同的直线, ? , ? , ? 是不重合的平面,下列命题中正确的个数为(



①若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? ;②若 ? ? ? , ? ? ? 则 ? ? ? ③若 m ?? , m ? ? ,则 ? ? ? ;④ l ?? , m ? ? ,则 l ? m . A、1 B、2 C、3 D、4

5、 " a ? 1 " 是“直线 l1: (a+2)x+(a﹣2)y=1 与直线 l2: (a﹣2)x+(3a﹣4)y=2 相互垂直”的
2





A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 6、某工厂利用随机数表对生产的 700 个零件进行抽样测试,先将 700 个零件进行编号 001,002,?, 699,700.从中抽取 70 个样本,下图提供随机数表的第 4 行到第 6 行,若从表中第 5 行第 6 列开始向 右读取数据,则得到的第 5 个样本编号是( 33 21 18 34 29 84 42 12 53 31 32 56 78 08 43 B、328 ) 35 78 90 56 42 23 68 96 08 04 45 77 89 23 45 A、607

78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07

67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 C、007 D、253

7、某数学兴趣小组有 3 名男生和 2 名女生,从中任选出 2 名同学参加数学竞赛,那么对立的两个事 件是( ) A、恰有 1 名男生与恰有 2 名女生 C、至少有 1 名男生与至少有 1 名女生 B、至少有 1 名男生与全是男生 D、至少有 1 名 男生与全是女生 )
1

8、如图所示的程序框图,若输出 S 的值为 127,则判断框中的条件可以 是(

A、 n ? 5?

B、 n ? 6?

C、 n ? 5?

D、 n ? 6?

(第 8 题图) 9、如图,圆 C 内切于扇形 AOB , ?AOB ? 的点的个数估计值为( A、100 B、200 ) C、400 D、450

(第 9 题图)

?
3

,若向扇形 AOB 内随机投掷 600 个点,则落入圆内

10、某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中侧视图是两个全等的正方形.则此几何体的表面 积是( A、90 cm
2

) B、129 cm
2

C、132 cm

2

D、138 cm

2

(第 10 题)

(第 11 题图)

C 右支上存在点 P ,使得 11 、如图, F1 , F2 为双曲线 C 的左右焦点,且 F 1F 2 ? 2 ,若双曲线
1 设直线 PF2 与 y 轴交于点 A , 且 ?APF1 的内切圆半径为 , 则双曲线的离心率为 ( PF1 ? PF2 , 2
A、2
'



B、4

C、 3

D、 2 3
'

12、设函数 f ( x) 是奇函 数 f ( x)( x ? R) 的导函数, f (?1) ? 0 ,当 x ? 0 时, xf ( x) ? f ( x) ? 0 , 则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是( A、 (??, ?1) ? (0,1) B、 (?1, 0) ? (1, ??) ) C 、 (??, ?1) ? (?1,0) 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 D、 (0,1) ? (1, ??)

13、在直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程是

? 2? 2 cos ? {x y ? 2 sin ?

( ? ? [0,2? ],? 为参数),若以 O .

为极点,x 轴正半轴为极轴,则曲线 C 的极坐标方程是 14、若圆心在 x 轴上、半径为

的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+y=0 相切,则圆 O 的方程
2




3

15 、 已 知 函 数 f ? x ? ? ax ? x ? 1 的 图 像 在 点 1, f ?1? 的 处 的 切 线 过 点 ? 2, 7 ? , 则

?

?

a?
数为_

.

16、将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左到右的第 3 个 __.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和验算步骤. 17、 (本大题 10 分)已知命题 p:方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实根, 命题 q:关于 x 的不等式 x ﹣2(m+1)x+m(m+1)>0 对任意的实数 x 恒成立,若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数 m 的取值范围.
2 2

x ? 5? t (t 为参数) 18、 (本大题 12 分)已知直线 l : ? .以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为 ? 2 ? ?y ? ? ? 3? 1 t 2

?

3

极轴建立极坐标系,曲线 C 的坐标方程 为 ? ? 2 cos ? . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 M 的直角坐标为 (5, 3) ,直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|?|MB|的值.

19、 (本大题 12 分)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由 测量表得如下频数分布表: 质量指标值分组 频数 [75,85) 6 [85,95) 26 [95,105) 38 [105,115) 22 [115,125) 8

(1) 在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图; (2) 估计这种产品质量指标值的平均数及方差 (同 一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ; (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这 种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定?

(第 20 题图)

(第 19 题图)

3

20、 (本大题 12 分) 如图, 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O , 且 AO ? 平面 BB1C1C .
0 (1)证 明: B1C ? AB; (2)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60 , BC ? 2 , 求 B1 到平面 ABC 的距离.

21、 (本大题 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ? a ? R? . (1)求 f ? x ? 的单调区间; (2)设 g ? x ? ? x ? 2x ? 2 ,若对任意 x1 ? ? 0, ??? ,均存在 x2 ??0,1? ,
2

使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求 a 的取值范围. 22、 (本大题 12 分)已知圆 M : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1,圆 N : ( x ?1)2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切并 且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C . (1)求 C 的方程;(2) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A , B 两点,当圆

P 的半径最长时,求 | AB | .

4

高二期中考试文科数学答案 1-12 CDAAACDBCDAA 13 ? ? 4 cos ?

14

? x ? 2?

2

? y2 ? 2

15 a=1

16

? n ? n ? 1? ? 2, n为偶数 ? ? 2 an ? ? ? n ? n ? 1? ? 3, n为奇数 ? ? 2

17、m>2 或﹣2≤m<﹣1 解:命题 p:方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实根,∴△=m ﹣4>0,解得 m>2 或 m<﹣2. 命题 q:关于 x 的不等式 x ﹣2(m+1)x+m(m+1)>0 对任意的实数 x 恒成立,∴△=4(m+1) ﹣4m (m+1)<0,解得 m <﹣1. 若“p∨q”为真, “p∧q”为假, 则 p 与 q 必然一真一假, ∴ 或 ,
2 2 2 2

解得 m>2 或﹣2≤m<﹣1. ∴实数 m 的取值范围是 m>2 或﹣2≤m<﹣1 18、 (1) ( x ?1) ? y ? 1 ; (2)18.
2 2

试题解析: ( 1 )∵ ? ? 2 cos? ,∴ ? ? 2 ? cos? ,∴ x ? y ? 2 x ,故它的直角坐标方程为
2 2 2

? 3 x ? 5? t ? ? 2 ? 3 2 3 ?y ? 3 ? 1 t y? x? 2 2 ( x ?1) ? y ? 1(2)直线 l : ? ? 2 (t 为参数) 3 3 ,(5, 3) 在 ,普通方程为
直线 l 上, 过 点 M 作 圆 的 切 线 , 切 点 为 T , 则 | MT | ? (5 ?1) ? 3 ?1 ? 18 , 由 切 割 线 定 理 , 可 得
2 2

| MT |2 ?| MA | ? | MB |? 18 .
19、 (1)见解析; (2)100; (3)不能认为. 试题解析: (1)

5

(2)质量指标值的样本平均数为

x ? 80 ? 0.06 ? 90 ? 0.26 ? 100 ? 0.38 ? 110 ? 0.22 ? 120 ? 0.08 ? 100 .
质量指标值的样本方差为

s2 ? (?20)2 ? 0.06 ? (?10)2 ? 0.26 ? 0 ? 0.38 ? 102 ? 0.22 ? 202 ? 0.08 ? 104
(3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38 ? 0.22 ? 0.08 ? 0.68 , 由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至 少要占全部产品 80%”的规定.

2 21 20、(1)详见解析; (2) 7 .
(1)连结 ∵侧面

BC1 ,则 BC1 与 B1C 交于 O, BB1C1C ,∴ B1C ? AO

BB1C1C 为菱形,∴ B1C ? BC1 ,

∵ AO ? 平面

又∵ BC1 ? AO ? O , ∴

B1C ? 平面 ABO , B1C ? AB
?

由于 AB ? 平面 ABO ∴

(2) 设点 B1 到平面 ABC 的距离为 h,

? 1, CBB1 为等边三角形, ∵侧面 BB1C1C 为菱形, ?CBB1 ? 60 , BC∴△
∴ BC ? BB1 ? B1C ? 2 , BO ? 3 ∵ AC ? AB1 ,

? OA ?

1 B1C ? 1, AC ? 2 , 2

? Rt?AOB中,AB ? AO2 ? BO2 ? 2,
6

? 等腰?ABC中,S ?ABC ?

1 14 7 ? 2? ? 2 2 2 ,



VB1 ? ACB ? VA?CBB1
?h ? 2 21 7

1 7 1 1 ? ? ? h ? ? ? 2 ? 3 ?1 3 2 3 2 ,
2 21 ∴点 B1 到平 面 ABC 的距离为 7 .

21、 (Ⅰ)曲线 y=f(x)在 x=1 处切线的切线方程为 3x﹣y﹣1=0. (Ⅱ)函数 f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .

(Ⅲ)



解: (Ⅰ)由已知

,f'(1)=2+1=3,所以斜率 k=3,

又切点(1,2) ,所以切线方程为 y﹣2=3(x﹣1) ) ,即 3x﹣y﹣1=0 故曲线 y=f(x)在 x=1 处切线的切线方程为 3x﹣y﹣1=0. (Ⅱ) ①当 a≥0 时,由于 x>0,故 ax+1>0,f'(x)>0, 所以 f(x)的单调递增 区间为(0,+∞) . ②当 a<0 时,由 f'(x)=0,得 .

在区间

上,f'(x)>0,在区间

上,f'(x)<0,

所以,函数 f(x)的单调递增区间为

,单调递减区间为
2



(Ⅲ)由已知,转化为 f(x)max<g(x)max.g(x )=(x﹣1) +1,x∈[0,1],所以 g(x)max=2 由(Ⅱ)知,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为 R,故不符合题意. (或者举出反例:存在 f(e )=ae +3>2,故不符合题意. ) 当 a<0 时,f(x)在 上单调递增,在 上单调递减,
3 3

故 f(x)的极大值即为最大值,



7

所以 2>﹣1﹣ln(﹣a) ,解 得



22、 (1)依题意,圆 M 的圆心,圆 N 的圆心 N (1, 0) ,故

PM ? PN ? 4 ? 2

,由椭圆定理可知,曲

x2 y 2 ? ? 1( x ? 2) 3 线 C 是以 M、N 为左右焦点的椭圆(左顶点除外) ,其方程为 4 ;
(2)对于曲线 C 上任意一点 P ( x, y ) ,由于
2

PM ? PN ? 2R? ? 2
2

(R 为圆 P 的半径) ,所以 R=2,

所以当圆 P 的半径最长时,其方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ; 若直线 l 垂直于 x 轴,易得

AB ? 2 3



QP
若直线 l 不垂直于 x 轴, 设 l 与 x 轴的交点为 Q, 则

QM

?

R r1

y ? k ( x ? 4) ; , 解得 Q(?4, 0) , 故直线 l:

3k
有 l 与圆 M 相切得 1 ? k
2

?1
,解得

k ??

2 2 2 k? y? x? 2 4 时,直线 4 ;当 4 ,联立直线与

AB ?
椭圆的方程解得

18 18 2 AB ? k ?? 7 ;同理,当 7 . 4 时,

8


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